筆算開方公式

1、 筆算開方公式（豎式）今日入定冥想時(shí)突然想起，中考前數(shù)學(xué)老師教過的手算開平方（下面簡稱“手開方”）公式。只是當(dāng)時(shí)僅僅作為求二次方程判別式的應(yīng)急公式，并沒有仔細(xì)琢磨其正確性以及嚴(yán)格證明。既然今日想起，不妨鉆研一下，卻竟然得出了證明。以下為完整過程，請廣大數(shù)學(xué)愛好者斧正！1.手開方公式舉例：上式意為65536的開平方為256。手開方過程類似于除法計(jì)算。為了方便表述，以下仍稱類似位置的數(shù)為“被除數(shù)”、“除數(shù)”、“商”。以65536為例，其具體計(jì)算過程如下：轉(zhuǎn)載請注明本文出自Step1：將被開方數(shù)(為了形象，表述成“被除數(shù)”，此例中即為65536)從個(gè)位往高位每兩位一斷寫成6,55,35的形式，為了方

2、便表述，以下每一個(gè)“,”稱為一步。Step2：從高位開始計(jì)算開方。例如第一步為6，由于22=4<6<9=32，因此只能商2(這就是和除法不同的地方，“除數(shù)”和“商”的計(jì)算位必須相同)。于是將2寫在根號(hào)上方，計(jì)算開方余項(xiàng)。即高位余項(xiàng)加一步低位，此例中，即為高位余項(xiàng)2和低位一步55，余項(xiàng)即為255。Step3：將Step2得到的第一步開方得數(shù)2乘以20(原理在后面證明)作為第二步除數(shù)的高位。即本步除數(shù)是4x(四十幾)。按照要求，本步的商必須是x。因?yàn)?5×5=225<255<46×6=276，所以本步商5。Step4：按照類似方法，繼續(xù)計(jì)算以后的各步。其

3、中，每一步的除數(shù)高位都是20×已求出的部分商。例如第三步的除數(shù)高位就是25×20=500，所以第三步除數(shù)為50x。本例中，506×6=3036恰好能整除，所以256就是最終計(jì)算結(jié)果。2.字母表示和手開方公式的證明：既然要證明，必須先把公式一般化。簡言之，用字母而不是特殊值來表示計(jì)算過程和結(jié)果。任意正整數(shù)均可表示成轉(zhuǎn)載請注明本文出自則正整數(shù)M開方計(jì)算得到的就是A。根據(jù)手開方公式的思路，應(yīng)該寫成：不失一般性，對A進(jìn)行推廣。前面A表示正整數(shù)，現(xiàn)在A可以表示任意實(shí)數(shù)。因?yàn)橛?jì)算開平方問題上，對于數(shù)值，正負(fù)是無所謂的。因此不妨假設(shè)A為任意正實(shí)數(shù)。即可記(即用科學(xué)計(jì)數(shù)法表示，例如134.87可以表示為1.3487×102=(1+3×0.1+4×0.01+8×0.001+7×0.0001)×102)轉(zhuǎn)載請注明本文出自如此，每一步的開方余項(xiàng)都用該步的“除數(shù)”和“商”表示出來，因此，手開方公式是精確的。再進(jìn)一步推廣，對于更一般的