矩陣在圖像處理方面的應(yīng)用

1、矩陣大作業(yè) 一、 簡(jiǎn)介 矩陣?yán)碚撌菙?shù)學(xué)的一個(gè)重要分支，內(nèi)容十分廣泛，是數(shù)學(xué)和其他學(xué)科（如數(shù)值分析、概率統(tǒng)計(jì)、優(yōu)化理論以及電學(xué)等）的基礎(chǔ)，在科學(xué)與工程計(jì)算方面有著廣泛的應(yīng)用，例如在數(shù)字圖像處理中就運(yùn)用到大量的矩陣知識(shí)。數(shù)字圖像處理(Digital Image Processing)是通過(guò)計(jì)算機(jī)對(duì)圖像進(jìn)行去除噪聲、增強(qiáng)、復(fù)原、分割、提取特征等處理的方法和技術(shù)。而對(duì)于數(shù)字圖像我們都很熟悉，我們從計(jì)算機(jī)上看到的圖片，雷達(dá)圖像，以及人體MRI圖像等等都是數(shù)字圖像。二、 涉及的理論知識(shí)及應(yīng)用矩陣在數(shù)字圖像處理中的應(yīng)用：我們可以將一幅圖像定義為一個(gè)二維的函數(shù)f（x，y），其中x，y表示空間坐標(biāo)，在空間坐標(biāo)（

2、x，y）點(diǎn)上的幅值f表示該點(diǎn)圖像的強(qiáng)度或者灰度。對(duì)于數(shù)字圖像而言，空間坐標(biāo)x、y和幅值f都是有限的、離散的，這樣的話，一幅圖像就可用一個(gè)二維函數(shù)表示。對(duì)于模擬圖像不利于計(jì)算機(jī)進(jìn)行處理，所以要將模擬圖像轉(zhuǎn)換成數(shù)字圖像，主要包括：取樣和量化。取樣就是講x，y坐標(biāo)值離散化，而量化就是將幅度值離散化，這樣取樣和量化的結(jié)果就是一個(gè)矩陣，可以表示為： 更一般的矩陣表達(dá)式為：圖像壓縮的目的是減少圖像遺留在數(shù)據(jù)中的多余信息，使之得到更高效格式存儲(chǔ)和數(shù)據(jù)傳輸，而數(shù)據(jù)可以壓縮的原因就在于數(shù)據(jù)中存在冗余信息。以數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)來(lái)看，這一過(guò)程實(shí)際上就是將二維像素陣列變換為一個(gè)在統(tǒng)計(jì)上無(wú)關(guān)聯(lián)的數(shù)據(jù)集合，圖像壓縮是指以較少的比

3、特有損或無(wú)損地表示原來(lái)的像素矩陣的技術(shù)，也稱圖像編碼。圖像壓縮可以是有損數(shù)據(jù)壓縮也可以是無(wú)損數(shù)據(jù)壓縮。對(duì)于如繪制的技術(shù)圖、圖表或者漫畫(huà)優(yōu)先使用無(wú)損壓縮，這是因?yàn)橛袚p壓縮方法，尤其是在低的位速條件下將會(huì)帶來(lái)壓縮失真。如醫(yī)療圖像或者用于存檔的掃描圖像等這些有價(jià)值的內(nèi)容的壓縮也盡量選擇無(wú)損壓縮方法。有損方法非常適合于自然的圖像，例如一些應(yīng)用中圖像的微小損失是可以接受的（有時(shí)是無(wú)法感知的），這樣就可以大幅度地減小位速。2.矩陣的奇異值分解理論在數(shù)字圖像處理中的應(yīng)用(1)矩陣的奇異值設(shè)，,是的特征值，是的特征值，都是實(shí)數(shù)，假設(shè)；則特征值與之間的關(guān)系為，（i=1,2，,r）則是A的正的奇異值，若A為正規(guī)矩

4、陣，則A的奇異值是A 的 特征向量的模長(zhǎng)。（2）矩陣的奇異值分解（SVD）若，是A的r個(gè)正奇異值，則存在m階酉矩陣U和n階酉矩陣V，滿足 其中，為奇異對(duì)角陣。U滿足為對(duì)角陣，V滿足為對(duì)角陣，U的第i列為A的對(duì)應(yīng)于奇異值的左奇異向量，V的第i列為A的對(duì)應(yīng)于奇異值的右奇異向量，它們的每一列均為單位向量，且各列之間互相正交。奇異值分解是一種基于特征向量的矩陣變換方法，是現(xiàn)代數(shù)值分析的最基本的方法之一（3）奇異值分解的圖像性質(zhì) 每一個(gè)矩陣的奇異值（）是唯一的，它將矩陣數(shù)據(jù)的特征和分布很明顯的算了出來(lái)。矩陣的奇異值分解可以這樣理解：將當(dāng)做一種線性變換，它將m維空間的點(diǎn)映射到了n維的空間。通過(guò)奇異值分解，

5、被分割成3部分，分別為U、和V。A為數(shù)字圖像，可視為二維時(shí)頻信息，可以將A的奇異值分解公式寫(xiě)成其中和分別為U和V的列向量，為A的非零奇異值，因此上述公式所表示的數(shù)字圖像A可以看成是r個(gè)秩為1的子圖的相加的結(jié)果，奇異值為權(quán)系數(shù)。所以也表示時(shí)頻信息，對(duì)應(yīng)的和可分別視為頻率矢量和時(shí)間適量，則數(shù)字圖像A中的視頻信息就被分解到一系列由和構(gòu)成的視頻平面中。由矩陣范數(shù)理論，奇異值能與向量2-范數(shù)和矩陣F-范數(shù)相聯(lián)系。若以F-范數(shù)的平方表示圖像的能量，則有矩陣的奇異值分解可得綜上可知，數(shù)字圖像A的紋理和幾何意義上的信息大都集中在U、中，而中的奇異值通常代表了圖像的能量信息。性質(zhì)1：矩陣的奇異值代表了圖像的能量

6、信息，因此具有很高的穩(wěn)定性。設(shè)，,是矩陣A一個(gè)擾動(dòng)矩陣，A和B的非零奇異值分別記為：和，且，是中最大的一個(gè)，則有通過(guò)上面闡述可知，圖像在被小的擾動(dòng)所干擾的時(shí)候擾動(dòng)矩陣的最大奇異值一般情況下都大于圖像矩陣奇異值的變換，因此圖像奇異值的穩(wěn)定性很強(qiáng)；性質(zhì)2：矩陣的奇異值具有比例不變性設(shè)，矩陣A的奇異值為（），矩陣kA的奇異值為（i=1,2，,r），則有。性質(zhì)3：矩陣的奇異值具有旋轉(zhuǎn)不變性設(shè)，矩陣A的奇異值為（），。如果是酉矩陣，則矩陣A的奇異值與矩陣A的奇異值相同。性質(zhì)4：設(shè)，若，則所以可得由上式可以得出，在F-范數(shù)議意義下，是在空間中的將秩最佳逼近。那么，可以根據(jù)需要保留s個(gè)大于某個(gè)閾值而舍棄其余（）個(gè)小于閾值的且保證兩幅圖像在某種意義下的近似，而這就是奇異值特征矢量的降維和數(shù)據(jù)壓縮的理論基礎(chǔ)。三結(jié)論綜上可知，通過(guò)矩陣的奇異值分解來(lái)進(jìn)行圖像壓縮的方法是有效的，具有很好的實(shí)用價(jià)值，除此之外，矩陣知識(shí)在圖像加密、圖像變換中都有大量的應(yīng)用。事實(shí)上