研究性學(xué)習(xí)正方體的截面問題

1、研究性學(xué)習(xí)報(bào)告正方體的截面問題課題目的：探索正方體可能的截面形狀，通過(guò)實(shí)踐和圖示來(lái)證明其結(jié)果，列舉特例，拓展空間觀念與全面考慮問題的能力。探究方法：首先通過(guò)猜想，列出預(yù)計(jì)猜想到得截面，其次進(jìn)行畫圖或?qū)嵺`等方法證明猜想的正確與否。再通過(guò)網(wǎng)絡(luò)的資料查詢，尋找未猜想到的情況。階段探究：1.猜想階段：根據(jù)日常經(jīng)驗(yàn)及想象，我們小組做出下列猜想：（1）正方形（2）矩形（3）平行四邊形（4）三角形2.猜想及其他可能的證明：1.正方形： 因?yàn)樵摿Ⅲw幾何圖形是正方體，所以用從任意位置與該正方體上下底面平行的平面進(jìn)行截取可以得到，或者和側(cè)面平行進(jìn)行截取，由下列圖示證明： =由圖示可知，水平方向截取正方體，得到的截

2、面為正方形。 =由圖示可知，豎直方向截取正方體，得到的截面為正方形。2.矩形： 因?yàn)檎叫我矊儆诰匦?，所以?duì)正方形的證明同適用于矩形。其次，當(dāng)長(zhǎng)寬不等的矩形截面的圖示如下： 由上圖所示可知，按不同角度截取正方體可以得到矩形。3.平行四邊形： 當(dāng)平面與正方體的各面都不平行時(shí)，所得截面為平行四邊形，圖示如下： = 由上圖所示可知，當(dāng)截面不與正方體的各面平行時(shí)，所得截面可能為平行四邊形。4.三角形： 根據(jù)一定角度過(guò)正方體的三條棱進(jìn)行截取可以得到三角形的截面，圖示如下:= 由上圖可知，正方體可以截得三角形截面。特別的，當(dāng)截面剛好經(jīng)過(guò)三個(gè)面的對(duì)角線時(shí)，所得的三角形截面為正三角形，圖示如下：=得到：正三棱

3、錐5.猜想之外的截面形狀：（1）菱形： 如下圖所示，當(dāng)A,B為所在棱的中點(diǎn)時(shí)，該截面為菱形： （2）梯形： 如圖所示，當(dāng)按一定角度使截面在正方體的上下底面上所存在的線段長(zhǎng)短有異時(shí)，所得截面可能是梯形：=（3）五邊形： 如圖所示，可以截得五邊形截面： =通過(guò)實(shí)踐及資料查詢可知，無(wú)法得到正五邊形。（4）六邊形： 如圖所示，可以截得六邊形截面：=特別的，當(dāng)平面與正方體各棱的交點(diǎn)為中點(diǎn)時(shí)，截面為正六邊形，如圖所示：拓展探究：1.正方體最大面積的截面三角形2.正方體最大面積的截面四邊形3.最大面積的截面形狀4.截面五邊形、六邊形性質(zhì)1. 正方體最大面積的截面三角形：如該圖所示可證明，由三角面對(duì)角線構(gòu)成的

4、三角形。2. 正方體最大面積的截面四邊形: 通過(guò)猜想及查詢資料可知，正方體截面可能得到的四邊形有：正方形、矩形、梯形、平行四邊形。 根據(jù)四邊形的面積公式：面積=長(zhǎng)*寬 聯(lián)系正方體圖形：得到：當(dāng)由兩條平行的面對(duì)角線和兩對(duì)平行棱構(gòu)成的四邊形的長(zhǎng)最大，又因?yàn)樵诟鱾€(gè)情況下的寬不變。則由猜想得到：“最大面積的截面四邊形：由兩條平行的面對(duì)角線和兩對(duì)平行棱構(gòu)成的四邊形?！?. 最大面積的截面形狀： 正方體的截面可以分為：三角形、正方形、梯形、矩形、平行四邊形、五邊形、六邊形、正六邊形。其中三角形還分為銳角三角型、等邊、等腰三角形。梯形分位非等腰梯形和等腰梯形。 首先比較三角形與五邊形和六邊形，所得這三種截面

5、的情況有一共同特點(diǎn)：不能完整在該截面所在平面在正方體內(nèi)所截的范圍的最大值，有部分空間空出。 因此可以得到：最大面積一定是四邊形。 所以最大面積的截面形狀：即最大截面四邊形（猜想）。初步推斷為如圖所示的矩形：4. 截面五邊形、六邊形性質(zhì) 通過(guò)課本及資料查詢知：截面五邊形：有兩組邊互相平行.截面六邊形：三組對(duì)邊平行的六邊形.正方體的截面圖 達(dá)到水平得到了所需結(jié)論，達(dá)到了驗(yàn)證猜想及針對(duì)于課題進(jìn)行探究及擴(kuò)展探究的要求：結(jié)論如下：可能出現(xiàn)的：銳角三角型、等邊、等腰三角形，正方形、矩形、非矩形的平行四邊形、非等腰梯形 等腰梯形、五邊形、六邊形、正六邊形不可能出現(xiàn)：鈍角三角形、直角三角形、直角梯形、正五邊形、七邊形或更多邊形成就，問題，解決成就：通過(guò)資料進(jìn)行文字探究，擁有三個(gè)階段性探究（1.猜想探究2.思考、查詢探究3.拓展探究）并有相關(guān)圖片文字證明，基本框架完成，基本達(dá)到預(yù)計(jì)目的。問題：1對(duì)圖片的解釋不夠準(zhǔn)確解決：熟讀課本概念，提高語(yǔ)言能力，更清楚的表達(dá)與證明。 2 對(duì)研究性學(xué)習(xí)的理