空間解析幾何23358

1、 一、平面方程垂直于某平面的非零矢量稱為該平面的法線矢量，記作。       點法式方程：已知平面過點，且與非零矢量垂直(法矢量)，求平面方程。在平面上任取一點，作矢量，則，所以有此稱為平面的點法式方程。一般式方程：其中：法矢量，截矩式方程：        注:三元一次方程表示一個平面。特殊位置的平面方程：（1）過原點 （）（2）平行于坐標軸平行于x軸（）  過X軸（）平行于y軸（）  過Y軸（）平行于z軸

2、（）  過Z軸（）（3）垂直于坐標軸垂直于x軸（平行于YOZ坐標面）垂直于y軸（平行于XOZ坐標面）垂直于z軸（平行于XOY坐標面）例1 求過點（6，2，-2）且與平面平行的平面方程。解 所求平面方程法矢量為由點法式得        即例2 求過三點的平面方程。   解 作矢量取法矢量       由點法式即。此題也可用下面的方法求解：設平面方程為因平面過、三點，將三

3、點的坐標代入方程，得解出、即可。例3 求過三點的平面方程。例4 過點作垂直于兩平面和的平面，求此平面方程。解 設為所求平面法向量可取由點法式得即例5 求過點（1，-2，1）且與平面都垂直的平面方程。例6 求平面外一點到該平面的距離。解 在平面上任取一點，作矢量        則如：點（1，-1，2）到平面的距離為二、 直線方程平行于某直線L的非零矢量稱為該直線的方向矢量，記為對稱式方程：已知直線L過點且方向矢量，求此直線方程。   &#

4、160;     在直線上任取一點，作矢量則，所以有,此稱為直線的對稱式方程。注：當中有零時，直線仍可寫成對稱式形式如應理解為兩個平面的交線，即。參數式方程：其中為直線上一點。一般式方程：其中例7 求平行于直線且過點 的直線方程。解 所求直線方向矢量所求直線方程為例8 化直線  為對稱式方程。解 令z=-5，解方程組得  ,點在直線上。對稱式方程為三、兩平面、兩直線、平面與直線的交角及平行與垂直的條件兩平面的夾角：指它們的法矢量間的夾角（取銳角）設 ： &

5、#160;  ：   的充要條件：，即的充要條件：，即例9 研究下列各組平面的位置關系（1）與；（2）與；（3）與。解 （1），所以相交，夾角（2）平行，但不重合。（因為點在第一個平面上，但不在第二個平面上）。（3）平行，且重合。例10 設有兩平面，求這兩平面的夾角。解   所以例11 設有兩平面，如果兩平面垂直，則？解  ，兩直線的夾角：指它們的方向矢量間的夾角（取銳角）設： ： 充要條件：，即充要條件：，即例12 求兩條直線與的夾角

6、。解 ，所以平面與直線的夾角：指直線與它在平面上的投影直線間的夾角(取銳角)設平面:直線L：    的充要條件：，即的充要條件：,即例13 求直線與平面  的交點和夾角。解 直線的參數方程為代入平面方程解得 t=-1 ，代入直線的參數方程中得交點(1，2，2）例14 求過平面的交線，且與第二個平面垂直的平面方程。解 法一：設所求平面的法線矢量為，由題意過直線將其化為對稱式令z=2，解得直線過點(-1，-1，2）直線對稱式方程為又因為的法線垂直于的法矢量且垂直于點在所求平面上，由點法式得即法二：設所求平面的方程為即注：這是過兩平面交線的平面束方程。又垂直于平面，由兩平面垂直的充要條件解出，代入上面方程得即例15 求過直線且與平面垂直的平面方程。解 設所求平面方程為即因所求平面方程與垂直，所以所求平面方程為即例16 求過點且與平面都平行的直線方程。解 所求直線為例17 求過點及直線的平面方程。解 點在