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1、第四章 琴生不等式一、函數(shù)的凹凸性：定義：設連續(xù)函數(shù)的定義域為 (a，b)，如果對于 (a，b)內(nèi)任意兩數(shù)x1，x2，都有則稱為 (a，b)上的下凸函數(shù)注：1若把式的不等號反向，則稱這樣的為區(qū)間 (a，b)上的上凸函數(shù)（或凹函數(shù)）2下凸函數(shù)的幾何意義：過曲線上的任意兩作弦，則弦的中點必在該曲線的上方（或曲線上）二、琴生不等式：若是區(qū)間 (a，b) 上的凸函數(shù)，則對任意的點x1，x2，xn(a，b)，有取“=”條件：x1 = x2 = = xn證明：注：更一般的情形：設是定義在區(qū)間 (a，b) 上的函數(shù)，如果對于(a，b)上任意兩點x1，x2，有（其中），則稱是(a，b) 上的下凸函數(shù)其推廣形式

2、，即加權的琴生不等式：設，若是區(qū)間 (a，b) 上的下凸函數(shù)，則對任意的x1，x2，xn(a，b)有取“=”條件：說明：以上各不等式反向，即得凹函數(shù)的琴生不等式例1 證明：(1) 在上是上凸函數(shù)(2) 在上是上凸函數(shù)(3) 上是下凸函數(shù) 證明：(1) 對(2) 對即：(3) 當時 （）即：例2 用琴生不等式證明均值不等式，即：證：設，則為上的上凸函數(shù)由琴生不等式：即例3 ，且a + b + c = 3，求證：證明：設，則上的凹函數(shù)由琴生： 例4 定義在 (a，b) 上，在 (a，b) 上恒大于0，且對有求證：當時，有證明：由題：對，有，兩邊取常對：則有即于是：令，則為(a，b) 上的凸函數(shù)由琴生不等式：對，有即 三個重要的不等式強化練習（均值、柯西、排序不等式）1 用柯西不等式證明：若，求證：證：由柯西2 設求證：證明：由柯西： 3 設a1，a2，an是n個互不相等的正整數(shù)證明：證明：設b1，b2，bn是a1，a2，an的一個排序，且b1 < b2 < < bn又由于，由排序不等式 (反序和)(亂序和)另一方面， 由知：其中，ak = bk = k時，取“=”號4 若，求的最小值解：不妨設由

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