彈性力學(xué)作業(yè)習(xí)題

1、HOMEWORK OF THEORETICAL ELASTICITY1.DATE:2001-9-201. 設(shè)地震震中距你居住的地方直線距離為，地層的彈性常數(shù)和密度均為已知。假設(shè)你在縱波到達秒后驚醒。問你在橫波到達之前還有多少時間跑到安全地區(qū)？試根據(jù)，來進行具體估算。2. 假定體積不可壓縮，位移與很小，。在一定區(qū)域內(nèi)已知，其中，為常數(shù)，且，求。3. 給定位移分量，此處為一個很小的常數(shù)。求應(yīng)變分量及旋轉(zhuǎn)分量。4. 證明其中為轉(zhuǎn)動矢量。5. 設(shè)位移場為，其中為遠(yuǎn)小于1的常數(shù)。確定在點的小應(yīng)變張量分量，轉(zhuǎn)動張量分量和轉(zhuǎn)知矢量分量。6. 試分析以下應(yīng)變狀態(tài)能否存在。（1），（2），（3），其中為遠(yuǎn)小于1

2、的常數(shù)。2.DATE:2001-9-171. 證明對坐標(biāo)變換，無論為何值均有，2. 利用課堂上給出的各向同性張量表達式，推導(dǎo)各向同性材料的廣義虎克定律。并寫為以楊氏模量E和泊松比來表示的分量表達式。寫出在Voigt記號下的6個Cauchy關(guān)系等式。3. 證明，對各向同性彈性體，若主應(yīng)為，則相應(yīng)的主應(yīng)變。4. 證明在各向同性彈性體中，應(yīng)力張量的主方向與應(yīng)變張量的主方向一致。5. 各向同性彈性體承受單向拉伸（），試確定只產(chǎn)生剪應(yīng)變的截面位置，并求該截面上的正應(yīng)力（?。?。6. 試推導(dǎo)體積應(yīng)變余能密度及畸變應(yīng)變余能密度公式：3.DATE:2001-9-261. 下面應(yīng)力場是否為無體力時彈性體中可能存在

3、的應(yīng)力場？如果是，它們在什么條件下存在？（1）；（2）；（3），。其中及均為常數(shù)。2. 設(shè)有任意形狀的等厚度薄板，體力可以不計，在除上、下表面之外的全部邊界上，受有均勻壓力。驗證及能滿足平衡微分方程、協(xié)調(diào)方程及邊界條件，因而就是正確的解答。3.應(yīng)力函數(shù)一般形式 和對應(yīng)的Beltrami-Michell方程導(dǎo)出在Maxwell應(yīng)力函數(shù)下（，其余為零），書中的(4.7)，(4.8)式。考慮由面積不可壓縮的平行疊層組成的層合板，其層界面以軸為法向，寫出該層合板的約束應(yīng)力表達式.4.DATE:2001-9-281.若在域V內(nèi)應(yīng)力場與體力相平衡，V的邊界S均為力邊界，作用在其上有面力，為S上的單位外法向

4、量。若，為已知，而為待求，求證問題只有在，滿足下列條件時才有解且2. 對各向同性彈性體，若體力為零，試證明3. 將橡皮方塊放在與它同樣體積的鐵盒內(nèi)，在上面用鐵蓋封閉，在鐵蓋上面作用均勻壓力（圖5-6）。假設(shè)鐵盒與鐵蓋可以視為剛體，在橡皮與鐵之間沒有摩擦。試用位移法求橡皮塊中的位移、應(yīng)變與應(yīng)力。圖5-64. 圖5-8所示矩形薄板，一對邊均勻受拉，另一對邊均勻受壓。由疊加原理求板的應(yīng)務(wù)和位移。圖5-85. 一矩形截面構(gòu)件受沿軸向的簡單拉伸及繞、軸的彎矩作用，如圖5-9所示。不計體力。六個應(yīng)力分量為試用平衡方程和B-M方程求的函數(shù)形式。并利用端面邊界條件確定積分常數(shù)。（為端部橫截面面積，、軸分別為截

5、面的對稱軸。截面對、軸的慣性矩分別為，設(shè)坐標(biāo)原點處無平移和轉(zhuǎn)動）6. 在一半平面的邊界處，作用有自平衡的面力。試說明(通過求解)該面力引起的應(yīng)力場在表面以下呈指數(shù)衰減，并以及論證在這一問題上圣維南原理適用。5.DATE:2001-10-21. 課堂上用猜測的方法，并引用唯一性定理，得到了簡單拉伸問題的位移場。請利用已得的應(yīng)變表達式和六個應(yīng)變位移關(guān)系來嚴(yán)格地導(dǎo)出這一位移場。2. 考慮純彎曲問題，在不變彎矩作用下柱體的軸線（即材力中所說的撓度曲線應(yīng)為一段圓?。６鶕?jù)課堂上的推導(dǎo)，橫向撓度均正比于，即為拋物線。試解釋產(chǎn)生這一不同的原因?？紤]由端面反對稱自平衡的面力分布而導(dǎo)致的對矩形梁彎曲問題的修正

6、解。求出制約該修正解衰減指數(shù)的特征方程。6.DATE:2001-10-91半徑為的圓截面桿兩端作用扭矩。試寫出此桿的應(yīng)力函數(shù)，并求出剪應(yīng)力分量，最大剪應(yīng)力及位移分量。2. 用位移法導(dǎo)出圓軸扭轉(zhuǎn)的剪應(yīng)力和扭角公式。3. 若柱體扭轉(zhuǎn)時橫截面上應(yīng)力為，證明該柱體截面是圓。C4考慮一個單連通域的橫截面，證明在條件A 和 應(yīng)力函數(shù)可唯一確定。5考慮一個單連通的橫截面，從中切去一個由應(yīng)力函數(shù)等高線所界定的單連通域。試證明：1 新的、雙連通的橫截面所對應(yīng)的應(yīng)力函數(shù)仍為原來的應(yīng)力函數(shù)。2 該環(huán)形域的扭轉(zhuǎn)剛度為原問題的扭轉(zhuǎn)剛度與（挖去的）芯部區(qū)的扭轉(zhuǎn)剛度之差。7.DATE:2001-10-171. （思考題）無

7、窮長板條含半無窮長裂紋，求，裂尖應(yīng)力強度因子。 2. （思考題）試推導(dǎo)這張表中的所有結(jié)果，并與Saint-Venant假設(shè)下的估算結(jié)果相比較。形狀扭轉(zhuǎn)剛度圓橢圓正方形半圓正三角形 ()等腰直角三角形矩形(a>b)N10.140620.228730.263340.280850.291360.298380.3071100.31231000.33121/33. 求裂紋尖端第二項所對應(yīng)的平面位移和剪應(yīng)力。論述該項對于何種邊值問題？8.DATE:2001-10-20考慮無體力的平面問題，此時Airy應(yīng)力函數(shù)滿足雙調(diào)和方程。1.證明對兩個調(diào)和函數(shù)和(即和),可構(gòu)造滿足調(diào)和方程。2.利用應(yīng)力的Airy

8、應(yīng)力函數(shù)表達式（無體力），構(gòu)造以和表達的應(yīng)力式。3.考慮一個半平面問題，且在邊界上僅承受正應(yīng)力，即，證明其所對應(yīng)的解答可寫為 4.由此證明在邊界僅受正應(yīng)力的半平面沿邊界必然有 （A）5.你認(rèn)為上述導(dǎo)致（A）的證明是否嚴(yán)格？有無例外情況？9.DATE:2001-10-311. 書中設(shè)在厚壁管外套以絕對剛性的外套，使管不能發(fā)生軸向位移。厚壁管受均勻內(nèi)壓力（圖7-50），試求厚壁管中的應(yīng)力及位移。圖7-502. 圖7-51所示薄圓環(huán)，在處固定，在處受均勻分布的剪力。以位移法及應(yīng)力函數(shù)法求圓環(huán)中的應(yīng)力和位移。圖7-513.考慮無窮遠(yuǎn)處受均勻剪切的無窮大平面彈性體，平面內(nèi)有一半徑為的剛性體，它與彈性體理

9、想粘合，即，求解該問題的應(yīng)力場，并確定沿孔邊環(huán)向應(yīng)力的最大值及位置。若要保持該剛性體既不移動也不轉(zhuǎn)動，需要在該剛性體施加力或力偶嗎？10.DATE:2001-11-11習(xí)題 1. 圖7-53所示曲梁（二分之一圓環(huán)），其上端周向應(yīng)力的合力為，對坐標(biāo)原點的力矩為零。求曲梁的應(yīng)力。圖7-532. 圖7-54所示橢圓薄板中心有一小圓孔，其半徑為。板的外邊界作用有均勻分布的法向拉應(yīng)力。試求應(yīng)力集中系數(shù)。圖7-543. 在距地面深為處，挖一直徑為的圓形長孔道，孔道與地面平行（圖7-55）。巖石比重為，彈性模量為，泊松比為。試求孔邊最大應(yīng)力（絕對值）的值及發(fā)生的位置。4. 推導(dǎo)以復(fù)勢和表示的最大剪應(yīng)力及主應(yīng)

10、力的表達式。5. 圖8-19所示懸臂薄板，厚度為1，長為，高度為，無體力作用。設(shè)復(fù)勢為圖8-19其中為實數(shù)。求板所受的邊界載荷與所發(fā)生的位移。6. 曲桿如圖8-21所示。在每一端面上受彎矩的作用，桿由半徑為和的圓弧確定，徑向線具有張角。此問題可由形如圖8-21的復(fù)勢解決，試確定常數(shù)和C (A、B、C可以是復(fù)常數(shù))。7. 圖8-22所示圓柱體受內(nèi)壓及外壓作用。試作如下應(yīng)力函數(shù)圖8-22確定其應(yīng)力和位移分量。（考慮平面應(yīng)力情況）8.思考題 求解下列曲梁11.DATE:2001-12-21在Boussnesq解系中，利用解E并取，找出其對應(yīng)的應(yīng)力和位移場。證明由（為錐角）所定義的錐體表面無面力作用。并利用該結(jié)果求一個傳遞扭矩為T的錐體中的應(yīng)力場。10-4 用余虛功原理計算圖10-22中半圓曲梁中點處向上的鉛直位移。圖10-22提示：計算中略去軸力及剪刀的影響。圓環(huán)曲率半徑