直線方程的幾種建立方式及其適用范圍

1、直線方程的幾種建立方式及其適用范圍羅村高級中學 黃勉確定在不同條件下的直線方程，是高考試題重點考查的內(nèi)容之一。因此，需要熟練掌握直線方程的各種形式，以及各自的適用范圍，以便在不同的情況下靈活地選用。下面直線方程的幾種建立方式及其適用范圍列出，以供大家參考：一、 點斜式若直線過定點，斜率為，則直線的方程為；它不適用平行于軸（包括軸）的直線，換句話說就是不適用于斜率不存在（即傾斜角為）的直線。當斜率不存在時，直線的方程為：；特別地，當0時，其方程為。例1、 已知直線過點A（1，2）,B()，求直線的方程。分析：因為直線經(jīng)過點B(),且m是一個參數(shù)，因此需要對m進行分情況討論。解：當m1時，直線的傾

2、斜角為，其斜率是不存在的，故此直線的方程為。當m1時，直線的斜率為，又因為直線通過點A（1，2），所以直線的方程為：。例2、 已知直線經(jīng)過點P（3，4），且在兩坐標軸上的截距相等，求直線的方程。 分析：不難看出，直線在經(jīng)過原點和斜率為1的兩種情況下在兩坐標軸上的截距相等。因此，需要對這兩種情況分類討論。解：若直線經(jīng)過原點，則直線的斜率為，從而直線的方程為：，即。若直線不經(jīng)過原點，由于它在兩坐標軸上的截距相等，所以直線的斜率為，從而直線的方程為：即。二、 斜截式若直線的斜率為且在軸上的截距為，則直線的方程為：；它不適用于平行于軸（包括軸斜率）的直線，即不適用于斜率不存在（傾斜角為）的直線。也就是

3、說，斜截式與點斜式的適用范圍是一樣的。例3、 已知直線經(jīng)過點,若直線在兩坐標軸上的截距之和為12，求直線的方程。分析：由于直線在兩坐標軸上的截距之和為12，且經(jīng)過點，因此可建立方程分別求出此直線的斜率和在斜率上的截距，從而利用斜截式建立直線的方程。解：設直線的斜率為，在軸上的截距為，從而直線的方程可設為：；由于直線經(jīng)過點，令0，得解得或，所以所求的直線方程為，即。三、 兩點式若直線經(jīng)過兩點（），則直線的方程為：。它適用于不平行于坐標軸（包括坐標軸）的直線，若將此方程改寫成：，則它適用于任何直線。特別地，當時，直線方程為；當時，直線方程為。例4、 已知直線：，過點引一條直線與分別交于點M，N兩點

4、，若P恰為MN的中點，求直線的方程。分析：由于M，N以P為中點，也就是說M,N關于點P對稱，從而可用求對稱點的問題分別求出點M，N的坐標，利用兩點式建立直線方程。解：設M()，則N點的坐標為（）又點M,N分別在直線，上，解得，從而M,N兩點的坐標分別為M(),N所以直線的方程為：，整理得。四、 截距式若直線在軸上的截距分別為，則直線的方程為：；它不適用于平行于坐標軸（包括坐標軸）的直線和經(jīng)過原點的直線。但若將此直線改寫成，則適用于任何直線。例5、 若直線在兩坐標軸上的截距相等，其截距之和為12,求直線的方程。分析：由于直線在兩坐標軸上的截距相等，且兩截距之和等于12，則其截距不可能為零，從而可

5、求出兩截距的值利用截距式建立直線方程。解：設直線在上的截距分為，則且，從而所以所求的直線方程為整理得。例6、 若直線在x軸上的截距的截距是它y軸上的截距的2倍，且兩截距之和等于12，求直線的方程。分析：同上題一樣，由于直線在x軸上的截距的截距是它y軸上的截距的2倍，且兩截距之和等于12，所以其截距不可能為零，從而可求出兩截距的值利用截距式建立直線方程。解：設直線在上的截距分為，則且解得，所以所求的直線方程為整理得。五、 一般式直線的方程的一般形式為；它適用于任何直線。例7、 過點引一條直線，使A(2,3),B()到它的距離相等，求這條直線的方程。解：設此直線的方程為，直線過點且A(2,3),B()到它的距離相等，從而有，解得A=4B或3ABC=0；A=4B,C=6B或2A=3B,7A=3C直線的方程為，即。例8、 若求過點P（1,2）且與直線平行的直線的方程。分析：由于所求直線與直線平行，所以可用一般式建立所求直線的方程，再用待定系數(shù)法求出C，從而寫出所求的直線方程。解：設所求直線方程為，因為它過點（1,2），將點（1,2）代入直線方程，解得C=8，從而所求的直線方程為：。重點提示：由以上分析可以看出：1