面積比求二面角

1、用“面積比”求二面角來賓市一中 覃衛(wèi)平求二面角是立體幾何計(jì)算題的常見問題，“一作、二證、三求”是立幾計(jì)算題的口訣，即利用定義、三垂線定理、線面垂直等方法先作出二面角的平面角，然后證明所作的角為所求二面角的平面角，最后利用三角形的有關(guān)性質(zhì)解出平面角從而得解。但很多時(shí)候“作”中就出現(xiàn)問題了，平面角的頂點(diǎn)不是棱上的特殊點(diǎn)，這樣就不容易求出相關(guān)直角三角形的邊長(zhǎng)?！懊娣e比”是:若在二面角一個(gè)面內(nèi)面積為S的平面多邊形(多為三角形，三角形的一邊在棱上)在另一個(gè)面內(nèi)的射影的面積為，二面角大小為，則。利用“面積比”的方法往往可以避免了“作”不出或是“作”出了又不好求的尷尬局面。一、已知射影型：已知或通過已知條件

2、找出二面角的一個(gè)面內(nèi)的平面多邊形在另一個(gè)面內(nèi)的射影.PABCDEFO例1.如圖，在三棱錐中，是直角三角形，點(diǎn)D、E、F分別為AC、AB、BC的中點(diǎn).(1) 求證：；(2) 求直線所成的角的正弦值；(3) 求二面角的正切值. (1)(2)解法略(3)設(shè)，連結(jié)易知上的射影，設(shè)二面角為則即二面角的正切值為已知射影型主要特征是，已知二面角的一個(gè)面內(nèi)平面多邊形不在棱上的頂點(diǎn)到另一個(gè)面的垂線，而且其中平面多邊形及其射影是便于計(jì)算面積的特殊多邊形形等腰、直角三角形，倘若“面” 及其射影不是便于計(jì)算面積的特殊多邊形則就選擇其它方法.例2.如圖，已知長(zhǎng)方體與平面所成的角為，點(diǎn)F為的中點(diǎn).(1)求異面直線AE與B

3、F所成的角的余弦值；(2)求平面BDF與平面所成的二面角(銳角)的大小(用反三角函數(shù)表示).解：(1)(略)ABCDEFA1B1C1D1(2)易知，在平面上的射影，與平面所成的角為即，又，,設(shè)平面BDF與平面所成的二面角為則，故所求的二面角大小為.二、未知射影型：從已知條件中未有線面垂直，經(jīng)二面角一個(gè)面內(nèi)平面多邊形不在棱上的頂點(diǎn)作二面角另一個(gè)面的垂線從而得到其射影，化成已知型解決問題.例3如圖，在矩形中，E是BC的中點(diǎn)，把PABCDEFG分別沿、DE折起，使B、C重合于點(diǎn)P.(1)求證：；(2)求異面直線AD與PE的距離；(3)求二面角的大小.(1)(2)略(3)由(1)(2)可知(G為AD的中點(diǎn)) 為等腰直角三角形，作，則F為GE的中點(diǎn)，上的射影， ，設(shè)平面PAE與平面DAE所成的二面角為則，故所求的二面角大小為例4如圖，五面體中，底面ABC為正三角形，四邊形是矩形，D為AC的中點(diǎn)，二面角是直二面角.ABCDFB1C1(1)求證：；(2)求二面角的余弦值.(1)證明：(略)(2)解：作