用向量法解解析幾何題

1、平面向量與解析幾何例1、橢圓的焦點(diǎn)為FF，點(diǎn)P為其上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)FP F為鈍角時(shí)，點(diǎn)P橫坐標(biāo)的取值范圍是_。解：F1（,0）F2（,0）,設(shè)P（3cos,2sin）為鈍角 =9cos254sin2=5 cos21<0 解得： 點(diǎn)P橫坐標(biāo)的取值范圍是（）例2、已知定點(diǎn)A(-1,0)和B(1,0)，P是圓(x-3)2+(y-4)2=4上的一動(dòng)點(diǎn)，求的最大值和最小值。分析：因?yàn)镺為AB的中點(diǎn)，所以故可利用向量把問題轉(zhuǎn)化為求向量的最值。解：設(shè)已知圓的圓心為C，由已知可得：又由中點(diǎn)公式得PCyxAoB所以 = = =又因?yàn)?點(diǎn)P在圓(x-3)2+(y-4)2=4上, 所以 且 所以即 故所以的最大值

2、為100，最小值為20。例3、O是平面上一定點(diǎn)，A、B、C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足，則P的軌跡一定通過ABC的（ ）（A）外心 （B）內(nèi)心 （C）重心 （D）垂心分析：因?yàn)橥虻膯挝幌蛄?，由向量加法的平行四邊形則知是與ABC的角平分線（射線）同向的一個(gè)向量，又，知P點(diǎn)的軌跡是ABC的角平分線，從而點(diǎn)P的軌跡一定通過ABC的內(nèi)心。反思：根據(jù)本題的結(jié)論，我們不難得到求一個(gè)角的平分線所在的直線方程的步驟；（1） 由頂點(diǎn)坐標(biāo)（含線段端點(diǎn)）或直線方程求得角兩邊的方向向量；（2） 求出角平分線的方向向量（3） 由點(diǎn)斜式或點(diǎn)向式得出角平分線方程。直線的點(diǎn)向式方程：過P（），其方向向量為，其方程為例

3、4、已知常數(shù)，向量，經(jīng)過原點(diǎn)以為方向向量的直線與經(jīng)過定點(diǎn)以為方向向量的直線相交于點(diǎn)，其中試問：是否存在兩個(gè)定點(diǎn)，使得為定值，若存在，求出的坐標(biāo)；若不存在，說明理由（本小題主要考查平面向量的概念和計(jì)算,求軌跡的方法，橢圓的方程和性質(zhì)，利用方程判定曲線的性質(zhì)，曲線與方程的關(guān)系等解析幾何的基本思想和綜合解題能力.）解：根據(jù)題設(shè)條件，首先求出點(diǎn)P坐標(biāo)滿足的方程，據(jù)此再判斷是否存在兩定點(diǎn)，使得點(diǎn)P到兩定點(diǎn)距離的和為定值.， =（，a），=（1，2a）.因此，直線OP和AP的方程分別為 和 .消去參數(shù)，得點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程.整理得 因?yàn)樗缘茫?（i）當(dāng)時(shí)，方程是圓方程，故不存在合乎題意的定點(diǎn)E和F； （i

4、i）當(dāng)時(shí)，方程表示橢圓，焦點(diǎn)和為合乎題意的兩個(gè)定點(diǎn)； （iii）當(dāng)時(shí)，方程也表示橢圓，焦點(diǎn)和為合乎題意的兩個(gè)定點(diǎn).例5橢圓的中心是原點(diǎn)O，它的短軸長為，相應(yīng)于焦點(diǎn)F（c，0）（）的準(zhǔn)線與x軸相交于點(diǎn)A，|OF|=2|FA|，過點(diǎn)A的直線與橢圓相交于P、Q兩點(diǎn). （1）求橢圓的方程及離心率；（2）若，求直線PQ的方程；（3）設(shè)（），過點(diǎn)P且平行于準(zhǔn)線的直線與橢圓相交于另一點(diǎn)M，證明.（1）解：由題意，可設(shè)橢圓的方程為. 由已知得解得所以橢圓的方程為，離心率.（2）解：由（1）可得A（3，0）.設(shè)直線PQ的方程為.由方程組 得依題意，得.設(shè)，則， . 由直線PQ的方程得.于是. ，. 由得，從而.所以直線PQ的方程為或（2）證明：.由已知得方程組 注意，解得因，故.而，所以.三、總結(jié)提煉由于向量具有幾何形式和代數(shù)形式的“雙重身份”，使向量與解析幾何之間有著密切聯(lián)系，而新課程高考則突出了對(duì)向量與解析幾何結(jié)合考查，這就要求我們?cè)谄綍r(shí)的解析幾何教學(xué)與復(fù)習(xí)中，應(yīng)抓住時(shí)機(jī)，有效地滲透向量有關(guān)知識(shí)，樹立應(yīng)用向量的意識(shí)。應(yīng)充分挖掘課本素材，在教學(xué)中從推導(dǎo)有關(guān)公式、定理，例題講解入手，讓學(xué)生去品位、去領(lǐng)悟，在公式、定理的探索、形成中逐漸體會(huì)向量的工具性，逐漸形成應(yīng)用向量的意識(shí)，在教學(xué)中還應(yīng)注重引導(dǎo)學(xué)生