復(fù)雜的雞兔同籠問題

1、復(fù)雜的雞兔同籠問題專題訓(xùn)練一、知識要點和基本方法1雞兔同籠的基本問題是：已知雞、兔總頭數(shù)和總腳數(shù)，求雞、兔各有多少只.（1）解決雞兔同籠問題的方法通常是用假設(shè)法，解題思路是：先假設(shè)籠子里裝的全是雞，根據(jù)雞兔的總數(shù)就可以算出在假設(shè)下共有幾只腳，把這樣得到的腳數(shù)與題中給出的腳數(shù)相比較，看看差多少，每差2只腳就說明有1只兔，將所差的腳數(shù)除以 2,就可以算出共有多少只兔.（2）解決雞兔同籠問題的基本關(guān)系式是：雞數(shù)=（兔腳數(shù)X總頭數(shù)-總腳數(shù)）* （兔腳數(shù)-雞腳數(shù)）兔數(shù)=（總腳數(shù)-雞腳數(shù)X總頭數(shù)）* （兔腳數(shù)-雞腳數(shù)）注意，這兩個基本關(guān)系式不必都用，用其中一個算岀兔數(shù)或雞數(shù)，又知總數(shù)，所以另一個也 就知道

2、了.2.雞兔同籠問題的變型有兩類：（1）將雞、兔的總頭數(shù)和總腳數(shù)中的“兩數(shù)之和"變成“兩數(shù)之差"，這樣得到三種情況： 已知雞、兔頭數(shù)之差和總腳數(shù)，求雞兔各有多少只；已知雞、兔腳數(shù)之差和總頭數(shù)，求雞兔各有多少只； 已知雞、兔頭數(shù)之差和腳數(shù)之差，求雞兔各有多少只.（2）將基本問題中同籠的是雞、兔兩種不同東西，還可以引伸到同籠中不同東西是三種，四 種等等.注意：雞兔同籠問題的兩種變型均可轉(zhuǎn)化成基本問題來解決.二、例題精講例1、在同一個籠子中，有若干只雞和兔，從籠子上看有40個頭，從籠子下數(shù)有130只腳，那么這個籠子中裝有兔、雞各多少只？分析：題目中給岀了雞、兔共有40只，如果把兔

3、子的兩只前腳用繩子捆起來，看作是一只腳，兩只后腳也捆起來，也看成是一只腳，那么兔子就成了2只腳（即把兔子都當(dāng)成兩只腳的雞）雞兔總的腳數(shù)是40X 2=80（只）比題中所說的130只要少130-80=50（只）.現(xiàn)在松開一只兔子腳上的繩子，總的腳數(shù)就會增加2，即80+2=82 再松開一只兔子腳上的繩子，總的腳數(shù)又增加 2,即82+2=84，一直繼續(xù)下去，直至增加到50.因此，兔子數(shù)是50* 2=25（只）.實際上，這就是上述基本關(guān)系式（2）.解：（130- 40 X 2） * （4 -2）=（130- 80） *2 =50*2=25（只）. 40-25=15（只）.答：籠子中有兔子25只，有雞15

4、只.例2、蜘蛛有8條腿，蜻蜓有6條腿和2對翅膀，蟬有6條腿和1對翅膀，現(xiàn)在這三種小蟲共21只，有140條腿和24對翅膀，求每種小蟲各幾只？分析：此題中岀現(xiàn)了 3種昆蟲，不僅有腿的比較，而且又岀現(xiàn)了翅膀，顯然比例1復(fù)雜了解此題的關(guān)鍵就是將3種昆蟲轉(zhuǎn)化為2種昆蟲，這樣解起來就比較容易了.突破口在于：蟬和蜻蜓都有6條腿.解：因為蜻蜓和蟬都有 6條腿，所以從腿的數(shù)目考慮，可以把昆蟲分成“ 8條腿”和“ 6條腿”兩種，利用基本關(guān)系式算岀8條腿的蜘蛛數(shù)=（140- 6X 21） - （8 -6） =（140- 126） -2=14-2=7（只）因此，知道了 6條腿的昆蟲共有21-7=14（只），也就是蜻蜓

5、和蟬共有14只因為蜻蜓和蟬共有 24對翅膀，現(xiàn)在再用一次基本關(guān)系式，得蟬數(shù)=（14 X2 -24） - （2 -1）=（28- 24）-1 =4（只）因此，蜻蜓數(shù)是14-4=10（只）.答：有7只蜘蛛，4只蟬，10只蜻蜓.例3、雞與兔共40只，雞的腳數(shù)比兔的腳數(shù)少70,問雞與兔各多少只 ？解：假設(shè)再補上70只雞腳，也就是再有雞70-2=35（只），則雞與兔的腳數(shù)就相等，兔的腳數(shù) 是雞的腳數(shù)4-2=2（倍）于是雞的只數(shù)是兔的只數(shù)的2倍.因此，兔的只數(shù)是（40+70 - 2） - （2+1）=25（只），雞的只數(shù)是40-25=15（只）. 答：雞15只，兔25只.例4、在一個停車場上，停放的車輛（

6、汽車和三輪摩托車）數(shù)恰好是24.其中每輛汽車有四個輪子，每輛摩托車有三個輪子這些車共有86個輪子那么，三輪摩托車有多少輛？分析：我們可將汽車“看作兔子”，將三輪摩托車“看作雞”，輪子“看作腿”，就可用雞 兔同籠的原理來解此題.解：24輛車如果都算作汽車，那么將有24 X 4=96（個 ）輪子.比現(xiàn)有的86個多10個輪子.每一 輛三輪摩托車比每一輛汽車少一個輪子，故要有10輛三輪摩托車來抵消 10個輪子.答：共有10輛三輪摩托車.公式套用：若用基本關(guān)系式，雞數(shù)=（兔腳數(shù)X總頭數(shù)-總腳數(shù)）-（兔腳數(shù)-雞腳數(shù)）“翻譯”為摩托車車輛數(shù)計算公式 （這里將摩托車看作“雞”）：摩托車數(shù)=（汽車輪子數(shù)X車輛總

7、數(shù) -輪子總數(shù)）-（汽車輪子數(shù) -摩托車輪子數(shù)）， 即有摩托車數(shù)：（4 X2 4- 86） - （4 -3）=10（輛）.三、專題特訓(xùn)1.有一首民謠：“一隊獵手一隊狗，二隊并著一起走，數(shù)頭一共三百六，數(shù)腿一共八百九?！眴柮裰{中有多少個獵手和多少條狗？2 .用1元錢買4分、8分、1角的郵票共15張，問最多可以買1角的郵票多少張？3 .春風(fēng)小學(xué)3名同學(xué)去參加數(shù)學(xué)競賽，共10道題，答對一道題得10分，答錯一道倒扣3分，不做得0分，這3名同學(xué)都做了所有題.小明得了 87分，小紅得了 74分，小華得了 9分.問他們?nèi)艘?共答對了多少題？4 某班同學(xué)外岀春游，買車票99張，共花280元，其中單程每張2元

8、，往返每張4元，問單程票與往返票相差幾張 ？5 某商場為招攬顧客舉辦購物抽獎，獎金有三種：一等獎1000元，二等獎250元，三等獎50元，共有100人中獎，獎金總額為 9500元問其中二等獎有多少名？6 .有一堆硬幣，面值為 1分、2分、5分三種，其中1分硬幣個數(shù)是2分硬幣個數(shù)的11倍，已知 這堆硬幣面值總和是 1元，問5分的硬幣有多少個？7箱子里有紅、白兩種顏色的玻璃球紅球數(shù)是白球數(shù)的3倍多2個每次從箱子里取岀 7只白球，15只紅球若經(jīng)過若干次取球以后，箱子里剩下3只白球，53只紅球那么箱子里原有紅球多少只？8 甲、乙二人射擊，若命中，甲得4分，乙得5分，若不中甲失2分，乙失3分，每人各射1

9、0發(fā)，共命中14發(fā)，結(jié)算分數(shù)時，甲比乙多10分，問甲、乙各中幾發(fā) ？9 姣姣和甜甜兩位同學(xué)進行數(shù)學(xué)比賽，商定算對一題給20分，錯一題扣12分.姣姣和甜甜各算了 10道題，兩人共得208分，姣姣比甜甜多得 64分，問姣姣和甜甜各算對了多少道題?10 某種考試已舉行了 24次，共岀了 426題，每次岀的題數(shù)有 25道，或者16道，或者20道，那 么，其中考25題的有多少次？答案與解析 參考答案1 獵手有275人，狗有85人。2 最多可買1角郵票6張。3 共答對了 20道。解：三人共得87+74+9=170（分），比滿分少300-170=130（分），因此3人共做錯 130- （10+3）=10（道

10、）所以，共答對 30-10=20（題）。4 單程票比往返票多 17張。解：設(shè)99張均為往返票，應(yīng)花99X 4=396（元），比實際多花396-280=116（元）.因一張往返票 比一張單程票多2元，所以單程票116- 2=58（張），往返票有99-58=41（張），兩者相差17張。5 .二等獎13名。設(shè)都是三等獎， 獎金就多下9500- 50 X 100=4500 （元），一個一等獎要增加 1000-50=950 （元）， 一個二等獎要增加 250-50=200 （元）.因此950X一等獎個數(shù)+200X二等獎個數(shù)=4500 （元）.很明顯一等獎個數(shù)是偶數(shù)，2，4，6，.6 X 950>X

11、 950余下的錢就不能被200整除，因此一等獎個數(shù)只能是2.二等獎個數(shù)是（4500 950X 2）- 200= 13 （個）.6 .有5分硬幣7個。設(shè)2分硬幣x個，則1分硬幣11x個；1元=100分，貝U 100 （ 2x + 11x）能被5整除，試驗可知 當(dāng) x = 5時，符合要求。那么， 100 （ 2x + 11x）= 100 65= 35 （分）。35-5= 7 （個）。7 原有紅球數(shù)為158只.解：如果每次紅球取3X 7=21（只），那么最后剩下的紅球數(shù)仍應(yīng)是剩下的白球數(shù)的3倍多2只,即3X 3+2=11（只），比現(xiàn)在少53-11=42（只）這是由于每次多取了 21-15=6（只）紅

12、球所以共取了 42-6=7（次），因此，原有紅球數(shù)為：7X 15+53=158（只）。8 甲中8發(fā)，乙中6發(fā)。解：假設(shè)甲中10發(fā)，乙就中14-10=4（發(fā)）.甲得4X 10=40（分），乙得5X4 -3X 6= 2（分）.比題目條 件“甲比乙多10分”相差（40-2）-10=28（分）,甲少中1發(fā)，少4+2=6（分），乙可增5+3=8（分）.28-（6+8）=2.甲中10-2=8（發(fā)）.乙中14 8= 6 （發(fā)）。9 姣姣算對8道，甜甜算對6道。解：姣姣得分（208 + 64）* 2= 136 （分）；甜甜得分208 136 = 72 （分）；假設(shè)她們都做對 10道題，則每個人的總分各是200分。姣姣差了 200 136 = 64分，姣姣錯了 64*（ 20+ 12）= 2 （道），做對了 10 2= 8 （道）。甜甜差了 200 72= 128分，甜甜錯了 128*（ 20+ 12）= 4 （道），做對了 10 4 = 6 （道）。10.其中考25題的有2次。解：假設(shè)每次都考 25題，則共考25X 24= 6