大一高數(shù)復(fù)習(xí)資料

1、高等數(shù)學(xué)（本科少學(xué)時(shí)類型）第一章函數(shù)與極限第一節(jié)函數(shù)O函數(shù)基礎(chǔ)（高中函數(shù)部分相關(guān)知識）（）O鄰域（去心鄰域）（）U a, x| x a函數(shù)f x無窮大 lim f xO無窮小與無窮大的相關(guān)定理與推論（）（定理三）假設(shè)f x為有界函數(shù)，g x為無窮小，則 lim f x g x 0（定理四）在自變量的某個(gè)變化過程中，若f x 為無窮大，則f 1 X為無窮??；反之，若f X為無IU a, x 10 x a第二節(jié)數(shù)列的極限O數(shù)列極限的證明（）窮小，且f x 0,則f【題型示例】計(jì)算:1.T f x WlimX X0M 函數(shù)f xx為無窮大X (或X在x x0的任一去心【題型示例】已知數(shù)列xn，證明

2、lim xnaX【證明示例】N語言1由Xna化簡得n g ,N g2.即對0,Ng。當(dāng)nN時(shí)，始終有不等式Xna成立，lim Xnax第三節(jié)函數(shù)的極限O x xo時(shí)函數(shù)極限的證明（）XX0【證明示例】語言1由f XA化簡得0x xgg2.即對0,g，當(dāng)當(dāng)0X X0時(shí),【題型示例】已知函數(shù) f X，證明lim f x A鄰域U x0,內(nèi)是有界的;2. lim g xx X0(lim g x3.由定理可知M ，函數(shù)f x在x D上有界；）0即函數(shù)g x是xX0時(shí)的無窮小;0即函數(shù)時(shí)的無窮??；）limX X0（lim f xX第五節(jié)極限運(yùn)算法則O極限的四則運(yùn)算法則（）（定理一）加減法則（定理二）乘除

3、法則關(guān)于多項(xiàng)式設(shè)：pxq xp X、ma°xb°xnq x商式的極限運(yùn)算1maiX0Xnbn【證明示例】X語言X1由f XA化簡得Xg ,Xg2.即對0, X g，當(dāng)x X時(shí)，始終有不等式fXA成立，O x時(shí)函數(shù)極限的證明（）【題型示例】已知函數(shù) f X，證明lim f x A則有l(wèi)imnmq xt00nmfX。0gX0gX。f XlimgX0,f X)0x X0 g X00gXf X00limx X0 g x（特別地,通常分始終有不等式f x A 成立, lim f x Ax xo lim f x Ax第四節(jié)無窮小與無窮大O無窮小與無窮大的本質(zhì)（）函數(shù)f x無窮小 lim

4、 f x 0-（不定型）時(shí)，0子分母約去公因式即約去可去間斷點(diǎn)便可求解出極 限值，也可以用羅比達(dá)法則求解）【題型示例】求值肌【求解示例】解：因?yàn)橘?x 3式 lim 2 limx 3x2 9 x 3 x 3 x 393，從而可得x 3，所以原x 31 lim x 3x 3【求解示例】解：lim2x 32x 1limx2x 1 22x 1lim2x 12x 12x 12x 12 2x 1lim112x 12x 122x 12x 1222x 1x 3其中x 3為函數(shù)f x 2的可去間斷點(diǎn)x2 9倘若運(yùn)用羅比達(dá)法則求解（詳見第三章第二節(jié)）0x 3 0 x 3解：lim 2 limX 3 X厶 9 L

5、 x 3O連續(xù)函數(shù)穿越定理（定理五）若函數(shù)x2 9lim 丄 1x 3 2x 6（復(fù)合函數(shù)的極限求解）（） f x是定義域上的連續(xù)函數(shù)，那么，lim f x f lim xX 冷x x0【題型示例】求值：虬:?！厩蠼馐纠?3 ：. xm3 ； 3第六節(jié)極限存在準(zhǔn)則及兩個(gè)重要極限O夾迫準(zhǔn)則（P53） （）第一個(gè)重要極限：lim沁 1X 0 xx 0, , sin x x tanx . 2sin xxsin x1sin xxlimx 0limlx 0sin xx（特別地,lim血x xox x0xo)1)O單調(diào)有界收斂準(zhǔn)則（P57)第二個(gè)重要極限:limx（一般地，limlimlim g xf

6、x，其中l(wèi)im f x 0)【題型示例】求值:limx2x2x 12limx 12 x 1 2x 12x 122 2limx2x 12x 1lim1e2x 12x 1lim2x 12x 12x 22x 1e第七節(jié) 無窮小量的階（無窮小的比較）O等價(jià)無窮?。ǎ?.U sinU tanU arcsinU arctanU ln(1 U )1 22. U 1 cosU2（乘除可替，加減不行）【題型示例】求值：lim ln 1 x2 xln 1 x x 0 x2 3x【求解示例】解：因?yàn)閤0,即xlimx 0x In 1x x 30,所以原式In 1 limx2xln 1 xx 03x.1 x x li

7、mlim x11x 0 x x 3x 0 x33x第八節(jié) 函數(shù)的連續(xù)性O(shè)函數(shù)連續(xù)的定義（）lim f x lim f x f x0x x0x x0O間斷點(diǎn)的分類(P67) ()第一類間斷點(diǎn)（左右極第二類間斷點(diǎn)限存在）跳越間斷點(diǎn)（不等）可去間斷點(diǎn)（相等）無窮間斷點(diǎn)（極限為（特別地，可去間斷點(diǎn)能在分式中約去相應(yīng)公因式）【題型示例】設(shè)函數(shù)2x0應(yīng)該怎樣選0擇數(shù)a，使得f x成為在R上的連續(xù)函數(shù)?【求解示例】3.函數(shù)商的求導(dǎo)法則（定理三）1:020 1 ee e1.1:0a 0 a1:0a2.由連續(xù)函數(shù)定義lim f x lim f x f 0 ex 0x 0a e第二節(jié) 函數(shù)的和（差）、積與商的求導(dǎo)

8、法則O函數(shù)和（差）、積與商的求導(dǎo)法則（）1. 線性組合（定理一）：（u v） u v特別地，當(dāng)1時(shí)，有（u v） u v2. 函數(shù)積的求導(dǎo)法則（定理二）：（uv） u v uvu u v uv 2vv第九節(jié) 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)O零點(diǎn)定理（）【題型示例】證明：方程f x g x C至少有一個(gè)根 介于a與b之間【證明示例】第三節(jié)反函數(shù)和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則O反函數(shù)的求導(dǎo)法則（）【題型示例】求函數(shù) f 1 x的導(dǎo)數(shù)【求解示例】由題可得 f x為直接函數(shù)，其在定于域 D1.（建立輔助函數(shù)）函數(shù)閉區(qū)間a,b上連續(xù)；xf x g xC在2./ab 0 （端點(diǎn)異號）3.由零點(diǎn)定理，在開區(qū)間a,b內(nèi)至少有一

9、點(diǎn),使得0 ,即fgC 0 ( 01)4.這等式說明方程 f xg xC在開區(qū)間a,b內(nèi)至少有一個(gè)根第二章導(dǎo)數(shù)與微分第一節(jié)導(dǎo)數(shù)概念ex1x0亠【題型示例】已知函數(shù)f x在x 0ax bx0處可導(dǎo)，求a,b【求解示例】0f0e01e0 121.v f0e 1，f0bf0af0e0 12f 0f 0a 1O高等數(shù)學(xué)中導(dǎo)數(shù)的定義及幾何意義（P83） （）2.由函數(shù)可導(dǎo)定義f 0 f 0 f 0 b 2.a 1,b2【題型示例】求 y f x在x a處的切線與法線方程上單調(diào)、可導(dǎo)，且f x 0 ； /O復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則（） 【題型示例】設(shè)y In earcsi“E【求解示例】解：y 1earcsin

10、 » x212arcsin fx2 1e1arcs in1ex212 2x aarcsi n.fx2 1/ 22x a1 x212x2 a22x1arcs in ! 1 e2, x2 12xarcsi n/x2 1et 22x a.2 x22.x2 a21arcsin 屈1exxaxx1arcs ine2 a第四節(jié)高階導(dǎo)數(shù)O f nxf n1 xn（或陽.n 1d y.n 1dx【題型示例】求函數(shù) yln 1 x的n階導(dǎo)數(shù)()【求解示例】y（或：過y f x圖像上點(diǎn)a, f a處的切線與法線方程）【求解示例】1. y f xy |x a fa2.切線方程：yf af a x a法線方

11、程：yf a1x af a(1)n1(n 1! (1 x)第五節(jié)隱函數(shù)及參數(shù)方程型函數(shù)的導(dǎo)數(shù)O隱函數(shù)的求導(dǎo)（等式兩邊對 x求導(dǎo)）（） 【題型示例】試求：方程y x ey所給定的曲線 C :y y x在點(diǎn)1e,1的切線方程與法線方程【求解示例】由yxey兩邊對x求導(dǎo)即y x ey化簡得y 1 ey y11y 11 e1 e1 x 1 e1 e切線方程：y1法線方程：y11 e x 1 eO參數(shù)方程型函數(shù)的求導(dǎo)2xtd y【題型示例】設(shè)參數(shù)方程，求今ytdxdy2【求解示例】1屯 -2.-4-ddx t dxt第六節(jié)變化率問題舉例及相關(guān)變化率（不作要求）第七節(jié)函數(shù)的微分O基本初等函數(shù)微分公式與微分

12、運(yùn)算法則（）dy f x dx第三章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第一節(jié)中值定理O引理（費(fèi)馬引理）（）O羅爾定理（）【題型示例】現(xiàn)假設(shè)函數(shù)f x在0, 上連續(xù)，在0,上可導(dǎo)，試證明：0,使得f cosf sin 0成立【證明示例】1. （建立輔助函數(shù)）令 x f x sinx顯然函數(shù)x在閉區(qū)間 0, 上連續(xù)，在開區(qū)間0, 上可導(dǎo)；2. 又0 f 0 sinO 0f sin 0即 003.由羅爾定理知0,使得f cos f sin0成立O拉格朗日中值定理（）【題型示例】證明不等式：當(dāng)x 1時(shí)，ex e x【證明示例】1.（建立輔助函數(shù)）令函數(shù) f x ex，則對 x 1,顯然函數(shù) f x在閉區(qū)間1,x上連

13、續(xù)，在開區(qū)間1, x上可導(dǎo)，并且 f xx e ;2 .由拉格朗日中值定理可得，1,x使得等式ex e1x 1 e 成立，F(xiàn)1x1又 e e , e ex 1 e e x e,化簡得ex e x，即證得：當(dāng)x 1 時(shí)，ex e x【題型示例】證明不等式：當(dāng)x 0時(shí)，In 1 x x【證明示例】1.（建立輔助函數(shù)）令函數(shù) f x In 1 x，則對x 0 ,函數(shù)f x在閉區(qū)間0,x上連續(xù)，在開區(qū)間0, 上可導(dǎo)，并且f x11 x ；2 .由拉格朗日中值定理可得，0,x使得等式ln 1 x ln 10 x10成立，化簡得ln 1 xx，又10,x1 f1 , ln 1x 1 xx ,1即證得：當(dāng)x

14、 1時(shí)，ex e x第二節(jié)羅比達(dá)法則O運(yùn)用羅比達(dá)法則進(jìn)行極限運(yùn)算的基本步驟（）1. 等價(jià)無窮小的替換（以簡化運(yùn)算）2判斷極限不定型的所屬類型及是否滿足運(yùn)用羅比達(dá)法則的三個(gè)前提條件A .屬于兩大基本不定型（,）且滿足條件，0f xf x則進(jìn)行運(yùn)算：limlimx a g x x a g x（再進(jìn)行1、2步驟，反復(fù)直到結(jié)果得出）B . 不屬于兩大基本不定型（轉(zhuǎn)化為基本不定型）0 型（轉(zhuǎn)乘為除，構(gòu)造分式）【題型示例】求值：lim x ln xx 0【求解示例】解：lim x In xx 0limx 0In x _ lim -1 L x 0xIn xlimx 01xx1x2 x1lim x 0a x

15、0（一般地，limx 0xIn x0,其中，R)1型（通分構(gòu)造分式，觀察分母）【題型示例】求值:【求解示例】lim丄丄x 0 sin x x解： limx 0 sinxx sinx limx 0 x sinxlimx 0x sinx2x0型（對數(shù)求極限法）【題型示例】求值:【求解示例】解：令y對In y求xtanxtan x,兩邊取對數(shù)得0時(shí)的極限，lim Inx 0In x limx 01tanx0 -2sin x 0 limx 0 xIn x limx.2sinlim 一L x 0 xln ylimx 0tan x Intan xInmH X o -ox sin xximJcosx02x

16、LmoH Xcosx2xsinx limx 01tanx1x2 sec x2xtan2sin xli m:x 0lim In yex 0 e01cosx10,00型（對數(shù)求極限法）【題型示例】求值：lim xx x 0【求解示例】解：設(shè)y xx,兩邊取對數(shù)得：Inyln xxln xln xTx對對數(shù)取x0時(shí)的極限：lim ln yln xLlim0ln x從而可得lim y= lim eln yx 0 ' x 0o運(yùn)用羅比達(dá)法則進(jìn)行極限運(yùn)算的基本思路0（1） 0 ()001lim x 01x1型IJm0 x 0,從而有l(wèi)imx 0lim ln yex 0（對數(shù)求極限法）【題型示例】求

17、值:lim cosx1sinx x通分獲得分式（通常伴有等價(jià)無窮小的替換）取倒數(shù)獲得分式（將乘積形式轉(zhuǎn)化為分式形式）取對數(shù)獲得乘積式（通過對數(shù)運(yùn)算將指數(shù)提前）第三節(jié)泰勒中值定理（不作要求）第四節(jié) 函數(shù)的單調(diào)性和曲線的凹凸性O(shè)連續(xù)函數(shù)單調(diào)性（單調(diào)區(qū)間）（）【題型示例】試確定函數(shù)f x 2x3 9x2 12x 3的單調(diào)區(qū)間【求解示例】1.V函數(shù)f X在其定義域R上連續(xù)，且可導(dǎo) f x 6x2 18x 122令 fx 6x1x20，解得：【求解示例】1解：令y cosx sinx x,兩邊取對數(shù)得ln ylncosxsin x對In y求x0時(shí)的極限，limln y2一moH Xcosx sinx0

18、o In cosx sinx limL x 0limcosx sinxx 0 cosx sinx1,從而可得1 0lim ln yln yx 0lim y= lim e ex 0 x1.（構(gòu)建輔助函數(shù)）設(shè)x In 1 xx11,x223.（三行表）X,111,222,f X00f X/極大值極小值/4.函數(shù)f x的單調(diào)遞增區(qū)間為 ,1 , 2,單調(diào)遞減區(qū)間為 1,2【題型示例】證明：當(dāng) x 0時(shí)，ex x 1 【證明示例】1. （構(gòu)建輔助函數(shù)）設(shè) x ex x 1，（ x 0）2. xex 1 0, （ x 0）x 003. 既證：當(dāng)x 0時(shí)，ex x 1【題型示例】證明：當(dāng) x 0時(shí)，In

19、1 x x 【證明示例】極大值在x 2時(shí)取到，為f 25 ；函數(shù)y 1 3x2 x3在區(qū)間（，0）,（0,1）上凹，在區(qū)間（1,2） ,（2,）上凸；23函數(shù)y 1 3x x的拐點(diǎn)坐標(biāo)為1,3第五節(jié)函數(shù)的極值和最大、最小值O函數(shù)的極值與最值的關(guān)系（）設(shè)函數(shù)f x的定義域?yàn)?D，如果 xM的某個(gè)鄰 域U xmD，使得對 X U Xm ，都適合不等式f X f xM ,我們則稱函數(shù)f x在點(diǎn)xM, f xM處有極大值 f Xm ；令 xMxM1 ,xM 2, xM3 ,., xMn則函數(shù)f x在閉區(qū)間a,b上的最大值 M滿足:max f a , XM 1 , XM 2 , XM 3 ,., XMn

20、 , f b設(shè)函數(shù)f x的定義域?yàn)镈 ,如果 xm的某個(gè)鄰域2.13.既證：當(dāng)x 0時(shí)，In 1 x xO連續(xù)函數(shù)凹凸性（）【題型示例】試討論函數(shù)y 1 3x2 x3的單調(diào)性、極值、 凹凸性及拐點(diǎn)y3x6x3x x 21.y6x6 6X1入 y3xx 20%0,x2 22.令解得：y6x 10x 1【證明示例】X(,0)0(0,1)1(1,2)2(2,)y00yPlPIy1-(1,3)r5>13.（四行表）234.函數(shù)y 1 3x x單調(diào)遞增區(qū)間為（0,1）,（1,2） 單調(diào)遞增區(qū)間為（，0）,（2,）;U XmD ,我們則稱函數(shù)f Xm ；令Xm則函數(shù)f Xm min【題型示例】求函數(shù)

21、【求解示例】使得對 Xf x在點(diǎn)U Xm，都適合不等Xm,f Xm 處有極小值Xm1 , Xm2 , Xm3 ,Xmn在閉區(qū)間 a,b上的最小值 m滿足:a , Xm1 , Xm2 , Xm3 ,Xmn, f b3x 3x x在 1,3上的最值1.T函數(shù)f X在其定義域2 f x 3x 31,3上連續(xù)，且可導(dǎo)2.令 f X 3x1x10,X11,111,3f X00f X極小值/極大值解得：x11,x2 13.（三行表）函數(shù)y 1 3x2 x3的極小值在x 0時(shí)取到,為 f 01,4.又 f2, f 12, f 318尺代 、.一H-弟八節(jié)第七節(jié)第八節(jié)f 12, f x imaxmin函數(shù)圖形

22、的描繪（不作要求） 曲率（不作要求） 方程的近似解（不作要求）18第四章不定積分第一節(jié)不定積分的概念與性質(zhì)O原函數(shù)與不定積分的概念（）原函數(shù)的概念：假設(shè)在定義區(qū)間I上，可導(dǎo)函數(shù)F x的導(dǎo)函數(shù)為F x ，即當(dāng)自變量x I時(shí)，有F x f x或1 1 1解：dxd 2x11d 2x 1.2x 122x 12、2x1.2x 1 CO第二類換兀法（去根式）（）（dy f x dx的正向應(yīng)用）對于一次根式（a 0,bR )： ax b :令 t . ax b，于F是：t2xba則原式可化為t對于根號卜平方和的形式（a0 )：、a2 x2 :令 x ata nt (t),22dF x f x dx成立，則

23、稱F x為f x的一 個(gè)原函數(shù)原函數(shù)存在定理：（）如果函數(shù)f x在定義區(qū)間I上連續(xù)，則在I上 必存在可導(dǎo)函數(shù) F x使得F x f x，也就是 說：連續(xù)函數(shù)一定存在原函數(shù)（可導(dǎo)必連續(xù)）不定積分的概念（）在定義區(qū)間I上，函數(shù)f x的帶有任意常數(shù)項(xiàng)C的原函數(shù)稱為f x在定義區(qū)間I上的不定積分， 即表示為： f x dx F x C（ 稱為積分號，f x稱為被積函數(shù)，f x dx稱 為積分表達(dá)式，x則稱為積分變量）O基本積分表（）O不定積分的線性性質(zhì)（分項(xiàng)積分公式）（）k1 f x k2g x dx K f x dx k2 g x dx第二節(jié)換元積分法O第一類換元法（湊微分）（）x于是t arcta

24、n ，則原式可化為 a sect ； a對于根號下平方差的形式（a 0）:a. 、a2 x2 :令 x asint ( t ),2 2x于是t arcsin ，則原式可化為 a cost ；ab. . 口 :令 x asect ( 0 t -)，a于是t arccos，則原式可化為 ata nt ；x1【題型示例】求 dx （一次根式）J2x 1【求解示例】解：一一dx 七 1孝-tdt dt t C 2x 1 C72x 1 x2f 2 tdx tdt【題型示例】求.a2 x2 dx （三角換元）【求解示例】(dy fx dx的逆向應(yīng)用）fxxdxfxdx【題型示例】求12?dxax【求解示例

25、】1111x1x解：22dxarctan C2 dx2 da x“ xa“ xaaa1 -1 -aa【題型示例】求12xdx1【求解示例】解: .a2 x2dx-t -sin 2t2 2x a si nt(t )2 2xt arcs inadx a cost2 2Xa cos tdt2aC t sin t cost C 21 cos2t dt第三節(jié)分部積分法O分部積分法（）設(shè)函數(shù)u f x , v g x具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則其分部積分公式可表示為：udv uv vdu分部積分法函數(shù)排序次序：“反、對、幕、三、指”O(jiān)運(yùn)用分部積分法計(jì)算不定積分的基本步驟：遵照分部積分法函數(shù)排序次序?qū)Ρ环e函數(shù)排序;就近

26、湊微分：（v dx dv）使用分部積分公式：udv uv vdu展開尾項(xiàng) vdu v u dx，判斷a.若 v u dx是容易求解的不定積分，則直接計(jì)P x將有理函數(shù)的分母Q x分拆成兩個(gè)沒有Q x公因式的多項(xiàng)式的乘積： 其中一個(gè)多項(xiàng)式可以表示k為一次因式 x a ；而另一個(gè)多項(xiàng)式可以表示為2 l 2二次質(zhì)因式 x px q , （ p 4q 0）；算出答案（容易表示使用基本積分表、換元法 與有理函數(shù)積分可以輕易求解出結(jié)果）；b.若 v u dx依舊是相當(dāng)復(fù)雜，無法通過a中方法求解的不定積分，則重復(fù)、，直至出現(xiàn) 容易求解的不定積分；若重復(fù)過程中出現(xiàn)循環(huán), 則聯(lián)立方程求解，但是最后要注意添上常數(shù)

27、【題型示例】求 ex x2dx【求解示例】解：ex x2dxx2ex dx x2dex即：Q x Q1 x Q2 x般地：mx nmxn則參數(shù)anmm2 ,2bcax bxcaxx aa則參數(shù)pb,qca aP x則設(shè)有理函數(shù)的分拆和式為:Q xx2ex 2 x exdx x2ex 2 x dx2ex 2xex 2x2 xe dx x e2xex 2ex【題型示例】求ex sin xdx【求解示例】解：ex sin xdxxe d cosxcosxcosxdxe cosxxxe cosxdx e cosxsin xxe cosxxe sinxsinxd exxe cosxxe sinxexs

28、in xdx即：ex sin xdxxe cosxxe sinxsin xd1 x .-e sinx cosx2第四節(jié)有理函數(shù)的不定積分O有理函數(shù)（）ex sin xdxQ xx其中R xk aA12 xApxlqAkk2kx axax axaB xM1xN1m2x N22x px ql2xpxq2 x2px qM lxNi 2lx px qM1m2Ml參數(shù)A A，.，Ak， ，J JNi由待定系N1AN2P x P xF2 x數(shù)法（比較法）求出得到分拆式后分項(xiàng)積分即可求解x2【題型示例】求dx （構(gòu)造法）x 1P x設(shè)：Q xm 1qxn 1Dx對于有理函數(shù)mp xa0xq xb0xnP x

29、am【求解示例】，當(dāng)P x的次數(shù)小于QQ xP x次數(shù)時(shí)，有理函數(shù)是真分式；當(dāng)P x的次數(shù)Q xP x大于Q x的次數(shù)時(shí)，有理函數(shù)是假分式Q xO有理函數(shù)（真分式）不定積分的求解思路（）2xx 1 x x 111dxdx x 1dxx 1x 1x 1112xdx dxdx x x l n x 1 Cx 12第五節(jié)積分表的使用（不作要求） 第五章定積分極其應(yīng)用第一節(jié)定積分的概念與性質(zhì)O疋積分的疋義（）bnf x dx lima0i1（f x稱為被積函數(shù)，f x dx稱為被積表達(dá)式，則稱為積分變量，a稱為積分下限，b稱為積分上限,a,b稱為積分區(qū)間）O定積分的性質(zhì)bf x dxu duf x dxkf x dxa（線性性質(zhì)）x dxoe叫H Xdcos2xsin x elim L x 02xcos2 x, cosx elimx 0-lim2 x osin xcos2 x, sinx elimx 0 2xsin xcos2 xe 2sin xcosxcos2xe sin x cosx 2sin xcosxba K f X k2g xdxk1bba f xdxk2 玄 g x dX（5）（積分區(qū)間的可加性）bf x dxa若函數(shù)f1 1 e2第三節(jié)定積分的換元法及分部積分法O定積分的換元法（第一換