高等數(shù)學教學 第四節(jié) 無窮小與無窮大

1、一、一、無無 窮窮 小小二、二、無無 窮窮 大大三、小三、小 結(jié)結(jié)2/15一、無窮小一、無窮小(infinitesimal)1、定義定義:極限為零的變量稱為極限為零的變量稱為無窮?。浚o窮?。浚?3/15例如例如, 0sinlim0 xx.0sin時時的的無無窮窮小小是是當當函函數(shù)數(shù)xx, 01lim xx.1時時的的無無窮窮小小是是當當函函數(shù)數(shù) xx, 0)1(lim nnn.)1(時的無窮小時的無窮小是當是當數(shù)列數(shù)列 nnn注意注意（1）無窮小是變量）無窮小是變量,不能與很小的數(shù)混淆不能與很小的數(shù)混淆;（2）零是可以作為無窮小的唯一的數(shù)）零是可以作為無窮小的唯一的數(shù).4/152、無窮小

2、與函數(shù)極限的關(guān)系、無窮小與函數(shù)極限的關(guān)系:證：證：必要性必要性,)(lim0Axfxx 設設,)()(Axfx 令令, 0)(lim0 xxx則則有有).()(xAxf 充分性充分性),()(xAxf 設設,)(0時時的的無無窮窮小小是是當當其其中中xxx 5/150)(lim)(lim00 xAxfxxxx （則則.)(lim0Axfxx 故故有有時時當當對對即即,0,0,00 xx 0)()(AxfAxf6/15意義：意義： （1）將一般極限問題轉(zhuǎn)化為特殊極限問題）將一般極限問題轉(zhuǎn)化為特殊極限問題(無窮小無窮小);).(,)()(20 xAxfxxf 誤差為誤差為式式附近的近似表達附近的近

3、似表達在在）給出了函數(shù)）給出了函數(shù)（ 7/15二、無窮大二、無窮大(infinite)絕對值無限增大的變量稱為絕對值無限增大的變量稱為無窮大無窮大.8/15特殊情形：特殊情形：正無窮大，負無窮大正無窮大，負無窮大)(lim()(lim)()(00 xfxfxxxxxx或或注意注意（1）無窮大是變量）無窮大是變量,不能與很大的數(shù)混淆不能與很大的數(shù)混淆;（3）無窮大是一種特殊的無界變量）無窮大是一種特殊的無界變量,但是無但是無界變量未必是無窮大界變量未必是無窮大.)(lim20認認為為極極限限存存在在）切切勿勿將將（ xfxx9/15xxy1sin1 .,1sin1,0,但不是無窮大但不是無窮大是

4、一個無界變量是一個無界變量時時當當例如例如xxyx ), 3 , 2 , 1 , 0(221)1( kkxk取取,22)( kxyk.)(,Mxykk 充充分分大大時時當當), 3 , 2 , 1 , 0(21)2( kkxk取取, kxk 充充分分大大時時當當 kkxyk2sin2)(但但.0M 不是無窮大不是無窮大無界，無界，10/15.11lim1 xx證明證明證：證：. 0 M,11Mx 要使要使,11Mx 只只要要,1M 取取,110時時當當Mx .11Mx 就有就有.11lim1 xx11 xy.)(,)(lim:00的的圖圖形形的的鉛鉛直直漸漸近近線線是是函函數(shù)數(shù)則則直直線線如如

5、果果xfyxxxfxx 定義定義1例例11/15三、無窮小與無窮大的關(guān)系三、無窮小與無窮大的關(guān)系定理定理4 4 在同一過程中在同一過程中, ,無窮大的倒數(shù)為無窮小無窮大的倒數(shù)為無窮小; ;恒不為零的無窮小的倒數(shù)為無窮大恒不為零的無窮小的倒數(shù)為無窮大. .證證.)(lim0 xfxx設設,1)(0, 0, 00 xfxx恒恒有有時時使使得得當當.)(1 xf即即.)(1,0為為無無窮窮小小時時當當xfxx 12/15. 0)(, 0)(lim,0 xfxfxx且且設設反反之之,1)(0, 0, 00MxfxxM 恒有恒有時時使得當使得當.)(1Mxf 從而從而.)(1,0為為無無窮窮大大時時當當

6、xfxx , 0)( xf由由于于意義意義 關(guān)于無窮大的討論關(guān)于無窮大的討論,都可歸結(jié)為關(guān)于無窮小都可歸結(jié)為關(guān)于無窮小的討論的討論.13/15四、小結(jié)四、小結(jié)1、主要內(nèi)容、主要內(nèi)容: 兩個定義兩個定義;四個定理四個定理;三個推論三個推論.2、幾點注意、幾點注意:無窮小與無窮大是相對于過程而言的無窮小與無窮大是相對于過程而言的.（1） 無窮小（無窮?。?大）是變量大）是變量,不能與很小（大）的數(shù)混不能與很?。ù螅┑臄?shù)混淆，零是唯一的無窮小的數(shù)；淆，零是唯一的無窮小的數(shù)；（2 2）無窮多個無窮小的代數(shù)和（乘積）未必是無窮?。粺o窮多個無窮小的代數(shù)和（乘積）未必是無窮??；（3） 無界變量未必是無窮大；

7、無界變量未必是無窮大；（4）無窮小無窮小( (大大) )都是極限范疇，是兩種特殊情況都是極限范疇，是兩種特殊情況. .用時用時1課時課時14/15思考題思考題若若0)( xf，且，且Axfx )(lim，問：能否保證有問：能否保證有0 A的結(jié)論？試舉例說明的結(jié)論？試舉例說明.15/15思考題解答思考題解答不能保證不能保證.例例xxf1)( , 0 x有有01)( xxf )(limxfx. 01lim Axx16/15一、填空題一、填空題: :1 1、 凡無窮小量皆以、 凡無窮小量皆以_為極限為極限. .)(,_2的的水水平平漸漸近近線線是是函函數(shù)數(shù)直直線線條條件件下下、在在xfycy .)0lim(,)(_)(lim300 xxxxAxfAxf其其中中、._,)(,4是無窮小是無窮小則則是無窮大是無窮大若若、在同一過程中、在同一過程中xf.10,21,0:4 yxxxyx能能使使應應滿滿足足什什么么條條件件問問是是無無窮窮大大函函數(shù)數(shù)時時當當二二、根根據(jù)據(jù)定定義義證證明明練練 習習 題題17/15.,0,1,0(1sin1這這個個函函數(shù)數(shù)不