高等數(shù)學(xué)D4_1不定積分

1、第四章微分法:)?()( xF積分法:)()?(xf互逆運(yùn)算不定積分 二、二、 基本積分表基本積分表 三、不定積分的性質(zhì)三、不定積分的性質(zhì) 一、一、 原函數(shù)與不定積分的概念原函數(shù)與不定積分的概念第一節(jié)不定積分的概念與性質(zhì) 第四四章 一、一、 原函數(shù)與不定積分的概念原函數(shù)與不定積分的概念引例引例: 一個(gè)質(zhì)量為 m 的質(zhì)點(diǎn),的作tAFsin下沿直線運(yùn)動(dòng) ,).(tv因此問題轉(zhuǎn)化為: 已知,sin)(tmAtv求?)(tv在變力試求質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度根據(jù)牛頓第二定律, 加速度mFta)(tmAsin定義定義 1 . 若在區(qū)間 I 上定義的兩個(gè)函數(shù) F (x) 及 f (x)滿足)()(xfxF,d)()

2、(dxxfxF或在區(qū)間 I 上的一個(gè)原函數(shù) .則稱 F (x) 為f (x) 如引例中, tmAsin的原函數(shù)有 ,cos tmA, 3cos tmA問題問題: 1. 在什么條件下, 一個(gè)函數(shù)的原函數(shù)存在 ?2. 若原函數(shù)存在, 它如何表示 ? 定理定理1. ,)(上連續(xù)在區(qū)間若函數(shù)Ixf上在則Ixf)( 存在原函數(shù) .(下章證明下章證明)初等函數(shù)在定義區(qū)間上連續(xù)初等函數(shù)在定義區(qū)間上有原函數(shù)初等函數(shù)在定義區(qū)間上有原函數(shù),)()(的一個(gè)原函數(shù)是若xfxF定理定理 2. 的所有則)(xf原函數(shù)都在函數(shù)族CxF)( C 為任意常數(shù) ) 內(nèi) .證證: 1)的原函數(shù)是)()(xfCxF)(CxF)(xF

3、)(xf，的任一原函數(shù)是設(shè))()()2xfx)()(xfx 又知)()(xfxF )()(xFx)()(xFx0)()(xfxf故0)()(CxFx)(0為某個(gè)常數(shù)C它屬于函數(shù)族.)(CxF即定義定義 2. )(xf在區(qū)間 I 上的原函數(shù)全體稱為Ixf在)(上的不定積分,d)(xxf其中 積分號(hào)積分號(hào);)(xf 被積函數(shù)被積函數(shù);xxfd)( 被積表達(dá)式被積表達(dá)式.x 積分變量積分變量;(P185)若, )()(xfxF則CxFxxf)(d)( C 為任意常數(shù) )C 稱為積分常數(shù)積分常數(shù),不可丟不可丟 !例如,xxdeCxexx d2Cx 331xxdsinCx cos記作不定積分的幾何意義不

4、定積分的幾何意義:)(xf的原函數(shù)的圖形稱為)(xfxxfd)(的圖形的所有積分曲線組成)(xf的平行曲線族.yxO0 x的積分曲線積分曲線 . 例例1. 設(shè)曲線通過點(diǎn)(1, 2), 且其上任一點(diǎn)處的切線斜率等于該點(diǎn)橫坐標(biāo)的兩倍, 求此曲線的方程.解解: xy2xxyd2Cx 2所求曲線過點(diǎn) (1, 2) , 故有C2121 C因此所求曲線為12 xyyx)2 , 1 (O例例2. 質(zhì)點(diǎn)在距地面0 x處以初速0v力, 求它的運(yùn)動(dòng)規(guī)律. 解解: 取質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡為坐標(biāo)軸, 原點(diǎn)在地面, 指向朝上 ,)0(0 xx )(txx 質(zhì)點(diǎn)拋出時(shí)刻為,0t此時(shí)質(zhì)點(diǎn)位置為初速為,0 x設(shè)時(shí)刻 t 質(zhì)點(diǎn)所在位置

5、為, )(txx 則)(ddtvtx(運(yùn)動(dòng)速度)tvtxdddd22g(加速度).0v垂直上拋 , 不計(jì)阻 先由此求)(tv 再由此求)(txxO先求. )(tv,ddgtv由知tgtvd)()(1Ctg ,)0(0vv由,01vC 得0)(vtgtv再求. )(txtvtgtxd)()(020221Ctvtg,)0(0 xx由,02xC 得于是所求運(yùn)動(dòng)規(guī)律為00221)(xtvtgtx由)(ddtvtx,0vtg 知故)0(0 xx )(txx xOxdd) 1 (xxfd)()(xf二、二、 基本積分表基本積分表 (P188)從不定積分定義可知:dxxfd)(xxfd)(或Cxd)2()(

6、xF)(xF或Cd)(xF)(xF利用逆向思維利用逆向思維xkd) 1 ( k 為常數(shù))Cxk xx d)2(Cx111xxd)3(Cx ln時(shí)0 x) 1( )ln()ln(xxx121d)4(xxCx arctanxxdcos)6(Cxsinxx2cosd)8(xxdsec2Cx tan或Cx cotarc21d)5(xxCx arcsin或Cx cosarcxxdsin)7(Cx cosxx2sind)9(xxdcsc2Cx cotxxxdtansec)10(Cx secxxxdcotcsc)11(Cxcscxxde)12(Cxexaxd)13(Caaxln例例3. 求求.d3xxx解解

7、: 原式 =xxd34134Cx313例例4. 求.dcossin22xxx解解: 原式=xxdsin21Cx cos21134xC三、不定積分的性質(zhì)三、不定積分的性質(zhì)xxfkd)(. 1xxgxfd)()(. 2推論推論: 若, )()(1xfkxfinii則xxfkxxfiniid)(d)(1xxfkd)(xxgxxfd)(d)()0( k例例5. 求.d)5(e2xxx解解: 原式 xxxd 25e)2(e)2ln(e)2(x2ln25xCxx2ln512lne2C例例6. 求求.dtan2xx解解: 原式 =xxd) 1(sec2xxxddsec2Cxx tan例例7. 求.d)1 (

8、122xxxxx解解: 原式 =xxxxxd)1 ()1 (22xxd112xxd1xarctanCx ln例例8. 求求.d124xxx解解: 原式 =xxxd11) 1(24xxxxd11) 1)(1(222221dd) 1(xxxxCxxxarctan313內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 不定積分的概念 原函數(shù)與不定積分的定義 不定積分的性質(zhì) 基本積分表 (見P188)2. 直接積分法:利用恒等變形恒等變形, 及 基本積分公式基本積分公式進(jìn)行積分 .常用恒等變形方法分項(xiàng)積分加項(xiàng)減項(xiàng)利用三角公式 , 代數(shù)公式 ,積分性質(zhì)積分性質(zhì)思考與練習(xí)思考與練習(xí)1. 證明 xxxx1arctan2)21arcco

9、s(),12arcsin(和.12的原函數(shù)都是xx2. 若則的原函數(shù)是,)(exfx d)(ln2xxfx(P193題7)提示提示:xe)(e)(xxfxlne)(lnxfx1Cx 2213. 若)(xf是xe的原函數(shù) , 則xxxfd)(ln提示提示: 已知xxfe)(0e)(Cxfx01)(lnCxxfxCxxxf021)(lnCxCxln104. 若)(xf;sin1)(xA;sin1)(xB的導(dǎo)函數(shù)為,sin x則)(xf的一個(gè)原函數(shù)是 ( ) .;cos1)(xC.cos1)(xD提示提示: 已知xxfsin)(求即B)()(xfxsin)( ?或由題意,cos)(1Cxxf其原函數(shù)為xxfd)(21sinCxCx5. 求下列積分:.cossind)2(;)1 (d) 1 (2222xxxxxx提示提示:)1 (1)1 (1) 1 (2222xxxxxxxx2222cossincossin1)2(xx22cscsecxx22cossin22111xx)(2x2x6. 求不定積分解：解：.d1e1e3xxxxxxd1e1e3xxxd1e) 1(e) 1e(e2xxxxxd) 1ee(2Cxxxee2127. 已