第二章靜電場

1、第二章第二章 靜電場靜電場第二章第二章 靜電場靜電場 主主 要要 內(nèi)內(nèi) 容容電場強度、電位、介質極化、場方程、邊界條件、能量與力電場強度、電位、介質極化、場方程、邊界條件、能量與力1. 電場強度電場強度2. 真空中靜電場方程真空中靜電場方程3. 電位與等位面電位與等位面4. 介質極化介質極化5. 介質中的靜電場方程介質中的靜電場方程6. 兩種介質的邊界條件兩種介質的邊界條件7. 介質與導體的邊界條件介質與導體的邊界條件8. 電容電容9. 電場能量電場能量10. 電場力電場力第二章第二章 靜電場靜電場2真空中靜電場的基本規(guī)律真空中靜電場的基本規(guī)律1. 庫侖庫侖（Coulomb）定律定律(1785

2、年年) 庫侖定律與電場強度庫侖定律與電場強度靜電場靜電場：由靜止電荷產(chǎn)生的電場。由靜止電荷產(chǎn)生的電場。重要特征重要特征：對位于電場中的電荷有電場力作用。對位于電場中的電荷有電場力作用。真空中靜止點電荷真空中靜止點電荷 q1 對對 q2 的作用力的作用力:yxzo1r1q2r12Rr12F2q121212122301201244Rq qq q RFeRR第二章第二章 靜電場靜電場3 電場力服從疊加定理電場力服從疊加定理()iiRrr 真空中的真空中的N個點電荷個點電荷 （分別位于（分別位于 ）對點電荷對點電荷 （位于（位于 ）的作用力為）的作用力為12Nqqq、 、 、q12Nrrr、 、 、r

3、qq1q2q3q4q5q6q731104iNNiiqq qiiiqq RFFR第二章第二章 靜電場靜電場42. 電場強度電場強度000( )( )limqF rE rq30( )4qRE rR如果電荷是連續(xù)分布呢？如果電荷是連續(xù)分布呢？ 根據(jù)上述定義，真空中靜止點根據(jù)上述定義，真空中靜止點電荷電荷q 激發(fā)的電場為激發(fā)的電場為()Rrr 描述電場分布的基本物理量描述電場分布的基本物理量 電場強度矢量電場強度矢量E0q試驗正電荷試驗正電荷 yxzorqrREM第二章第二章 靜電場靜電場5小體積元中的電荷產(chǎn)生的電場小體積元中的電荷產(chǎn)生的電場( )rVyxzoriVrM)(rS面密度為面密度為 的面分

4、布的面分布電荷的電場強度電荷的電場強度)(rl線密度為線密度為 的線分布的線分布電荷的電場強度電荷的電場強度體密度為體密度為 的體分布電荷產(chǎn)生的電場強度的體分布電荷產(chǎn)生的電場強度)(riiiiiRRVrrE304)()(301()d4VrRVR30( )1( )d4SSr RE rSR30( )1( )d4lCr RE rlR第二章第二章 靜電場靜電場1. 電場強度電場強度 電場對某點單位電場對某點單位正正電荷的作用力稱為該點的電荷的作用力稱為該點的電場電場強度強度，以以E 表示表示。 qFE式中式中, ,q 為試驗電荷的電荷量為試驗電荷的電荷量; ;F 為電荷為電荷q 受到的作用力。受到的作

5、用力。 電場強度通過任一曲面的通量稱為電場強度通過任一曲面的通量稱為電通電通，以以 表示，即表示，即 dSES第二章第二章 靜電場靜電場0d lE電場線電場線方程方程電場管電場管帶電帶電平行平行板板 負負電荷電荷 正正電荷電荷 幾種典型的幾種典型的電場線電場線分布分布電場線的電場線的疏密程度疏密程度可以顯示電場強度的可以顯示電場強度的大小大小。定義曲線上各點的切線方向表示該點的電場強度方向，這種曲線稱定義曲線上各點的切線方向表示該點的電場強度方向，這種曲線稱電場線電場線第二章第二章 靜電場靜電場2. 真空中靜電場方程真空中靜電場方程 實驗表明，真空中靜電場的電場強度實驗表明，真空中靜電場的電場

6、強度 E 滿足滿足下列兩個積分形式的方程下列兩個積分形式的方程0dSqESd0lEl式中，式中，0 為真空介電常數(shù)。為真空介電常數(shù)。129018.854 187 81710 (F/m)10 (F/m)36第二章第二章 靜電場靜電場此式表明，真空中靜電場的電場強度沿此式表明，真空中靜電場的電場強度沿任一任一條閉條閉合曲線的合曲線的環(huán)量環(huán)量為零。為零。0dSq ESd0l El此式稱為高斯定此式稱為高斯定律律。它表明真空中靜電場的電場。它表明真空中靜電場的電場強度通過任一強度通過任一封閉封閉曲面的電通等于該封閉曲面所曲面的電通等于該封閉曲面所包圍的電荷量與真空介電常數(shù)之比。包圍的電荷量與真空介電常

7、數(shù)之比。第二章第二章 靜電場靜電場 根據(jù)上面兩式可以求出電場強度的根據(jù)上面兩式可以求出電場強度的散度散度及及旋度旋度分別為分別為0 E0E左式左式表明，真空中靜電場的電場強度在某表明，真空中靜電場的電場強度在某點點的散度的散度等于該點的電荷體密度與真空介電常數(shù)之比等于該點的電荷體密度與真空介電常數(shù)之比。右式右式表明，表明，真空中靜電場的電場強度的旋度真空中靜電場的電場強度的旋度處處處處為零為零。真空中靜電場是真空中靜電場是有散無旋有散無旋場。場。0dSqESd0lEl第二章第二章 靜電場靜電場 已知靜電場的電場強度的散度及旋度以后，根已知靜電場的電場強度的散度及旋度以后，根據(jù)據(jù)亥姆霍茲亥姆霍茲

8、定理，電場強度定理，電場強度E 應為應為 AEVVVV d)( 41)(d)( 41)(|rr |rErA|rr |rErxPzyrOVd)(rrrr第二章第二章 靜電場靜電場VV 0d)(41)(|rr |rr0)(rA求得求得E因此因此 標量函數(shù)標量函數(shù) 稱為稱為電位電位。因此，上式表明真空。因此，上式表明真空中靜電場在某點的電場強度等于該點電位梯度的中靜電場在某點的電場強度等于該點電位梯度的負負值。值。0 E0E已知已知第二章第二章 靜電場靜電場E 按照國家標準，電位以按照國家標準，電位以小寫小寫希臘字母希臘字母 表示，上式應寫為表示，上式應寫為 將電位表達式代入，求得將電位表達式代入，

9、求得電場強度電場強度與與電荷電荷密度密度的關系為的關系為VVd4)()(30rrrrrrE第二章第二章 靜電場靜電場 若電荷分布在一個有限的若電荷分布在一個有限的表面表面上，或者分布在一上，或者分布在一個有限的個有限的線段線段內(nèi)，那么可以類推獲知此時電位及電場內(nèi)，那么可以類推獲知此時電位及電場強度與電荷的強度與電荷的面密度面密度 S 及及線密度線密度l 的關系分別為的關系分別為SSS 0d|)(41)(|rrrrSSS 30d|)(41)(|rrrrrrEll d)(41)(0|rr |rrllll 30d|)(41)(|rrrrrrE第二章第二章 靜電場靜電場（1 1）高斯定律中的電荷量高斯

10、定律中的電荷量q 應理解為封閉面應理解為封閉面 S 所包所包圍的圍的全部全部正、負電荷的總和。正、負電荷的總和。 靜電場幾個重要特性靜電場幾個重要特性（2）靜電場的靜電場的電場線電場線是不可能閉合的，而且也不可是不可能閉合的，而且也不可能相交。能相交。（3）任意兩點之間電場強度任意兩點之間電場強度 E 的的線積分與路徑無線積分與路徑無關，它是一種關，它是一種保守場保守場。 第二章第二章 靜電場靜電場（4）若若電荷分布已知，計算靜電場的三種方法是：電荷分布已知，計算靜電場的三種方法是：直接根據(jù)直接根據(jù)電荷電荷分布計算電場強度分布計算電場強度通過通過電位電位求出電場強度求出電場強度利用利用高斯定律

11、高斯定律計算電場強度計算電場強度第二章第二章 靜電場靜電場175. 利用高斯定律簡捷計算電場強度的條件利用高斯定律簡捷計算電場強度的條件簡捷計算條件：簡捷計算條件： 可以提到積分號可以提到積分號以外，使積分方程簡化為代數(shù)方程以外，使積分方程簡化為代數(shù)方程 球對稱分布球對稱分布：包括均勻帶電的球面，球體和多層同心球殼等：包括均勻帶電的球面，球體和多層同心球殼等均勻帶電球體均勻帶電球體帶電球殼帶電球殼多層同心球殼多層同心球殼( )E r什么情況下，什么情況下， 可以提到積分號以外？可以提到積分號以外？( )E r在在S上均勻分布時！或積分結果已知時！上均勻分布時！或積分結果已知時！( )E r什么

12、問題，具有這種特性呢？什么問題，具有這種特性呢？ 具有對稱性的問題具有對稱性的問題! !S0( ) dSq內(nèi)E rS第二章第二章 靜電場靜電場18 無限大平面電荷無限大平面電荷：如無限大的均勻帶電平面、平板等。：如無限大的均勻帶電平面、平板等。 軸對稱分布軸對稱分布：如無限長均勻帶電的直線，圓柱面，圓柱殼等。：如無限長均勻帶電的直線，圓柱面，圓柱殼等。( (a a) )( (b b) )第二章第二章 靜電場靜電場例例1 計算計算點電荷點電荷的電場強度。的電場強度。 解解 利用高斯定律求解。取中利用高斯定律求解。取中心位于點電荷的球面為心位于點電荷的球面為高斯面高斯面，得，得 0dSqES上式左

13、端上式左端積分為為 2n d dd4SSSE Sr EESE eS得得204qErr204qrEe或或 xzy高斯面高斯面第二章第二章 靜電場靜電場 也可通過電位計算點電荷產(chǎn)生的電場強度。當也可通過電位計算點電荷產(chǎn)生的電場強度。當點電荷位于坐標原點時，點電荷位于坐標原點時， 。那么點電荷的。那么點電荷的電位為電位為r|rrrq04)(rrrqrqeE200414求得電場強度求得電場強度 E 為為 rVrrqVreerE20 204d4)(若直接根據(jù)電場強度公式，同樣求得電場強度若直接根據(jù)電場強度公式，同樣求得電場強度E 為為 第二章第二章 靜電場靜電場例例2 計算計算電偶極子電偶極子的電場強度

14、。的電場強度。 解解 由于電位及電場強度均與由于電位及電場強度均與電荷量的電荷量的一次方一次方成正比。因此，可成正比。因此，可以利用以利用疊加原理疊加原理計算多種分布電荷計算多種分布電荷產(chǎn)生的電位和電場強度。那么，電產(chǎn)生的電位和電場強度。那么，電偶極子產(chǎn)生的電位應為偶極子產(chǎn)生的電位應為 rrrrqrqrq000444xq+qzylrrr+O第二章第二章 靜電場靜電場 若觀察距離遠大于間距若觀察距離遠大于間距 l ，則可認為則可認為 , , ，那么，那么/rree/rreecoslrr2cos2cos2rlrlrrrxq+qzylrrr+O式中，式中，l 的方向規(guī)定由的方向規(guī)定由負負電荷指向電荷

15、指向正正電荷。電荷。)(4cos42020rrqlrqel求得求得第二章第二章 靜電場靜電場乘積乘積 q l 稱為電偶極子的稱為電偶極子的電矩電矩，以，以 p 表示，即表示，即lpq2200cos44rprrp e那么電偶極子產(chǎn)生的那么電偶極子產(chǎn)生的電位電位可用電矩可用電矩 p 表示為表示為 3300cossin24rpprrEee已知已知 ，求得電偶極子的，求得電偶極子的電場強度電場強度為為E可見電偶極子的可見電偶極子的 ， ，而且兩者均與方位，而且兩者均與方位角角 有關。有關。21r31Er第二章第二章 靜電場靜電場電偶極子的電場線和等位線電偶極子的電場線和等位線第二章第二章 靜電場靜電場

16、 例例3 設半徑為設半徑為a，電荷體密度為電荷體密度為 的無限長圓柱的無限長圓柱帶電體位于真空，計算該帶電體位于真空，計算該帶電圓柱帶電圓柱內(nèi)、外的電場強度。內(nèi)、外的電場強度。 xzyaLS1 選取選取圓柱圓柱坐標系，由于場量與坐標系，由于場量與 z 坐標無關，且坐標無關，且上下對稱上下對稱，因此電，因此電場強度一定垂直于場強度一定垂直于 z 軸。再考慮到軸。再考慮到圓柱結構具有圓柱結構具有旋轉對稱旋轉對稱的特點，場的特點，場強一定與角度強一定與角度 無關。無關。 因此，可以利用因此，可以利用高斯定律高斯定律求解。求解。第二章第二章 靜電場靜電場 取半徑為取半徑為 r ，長度為長度為 L 的圓

17、的圓柱面與其上下端面構成柱面與其上下端面構成高斯面高斯面。應用高斯定律，得應用高斯定律，得 0dSqESxzyaLS1 因電場強度方向處處與圓柱側面因電場強度方向處處與圓柱側面S1的外法線方向的外法線方向一致一致，而與上下端面的外法線方向，而與上下端面的外法線方向垂直垂直，因此上式，因此上式左端的面積分為左端的面積分為11 ddd2SSSE SESrLEES第二章第二章 靜電場靜電場 當當 r a 時，則電荷量時，則電荷量q 為為 , , 求求得電場強度為得電場強度為 Laq2rraeE022第二章第二章 靜電場靜電場 a2 可以認為是可以認為是單位長度單位長度內(nèi)的電荷量。那么，內(nèi)的電荷量。那

18、么，柱外電場可以看作為位于圓柱軸上線密度為柱外電場可以看作為位于圓柱軸上線密度為a2 的線電荷產(chǎn)生的電場。的線電荷產(chǎn)生的電場。rlreE02因此線密度為因此線密度為 的的無限長線電荷無限長線電荷的電場強度為的電場強度為l 由上可見，對于無限長圓柱體分布電荷，利用由上可見，對于無限長圓柱體分布電荷，利用高斯定律計算其電場強度是十分簡便的。若根據(jù)電高斯定律計算其電場強度是十分簡便的。若根據(jù)電荷分布直接積分計算電位或電場強度，顯然不易。荷分布直接積分計算電位或電場強度，顯然不易。 第二章第二章 靜電場靜電場xzyr21rOrrzdzrzere),2,(zrP 例例4 求長度為求長度為L，線密度為線密

19、度為 的均勻的均勻線分布線分布電荷電荷的電場強度。的電場強度。l 解解 令圓柱坐標系的令圓柱坐標系的 z 軸與軸與線電荷的長度方位一致，且中點線電荷的長度方位一致，且中點為坐標原點。由于結構為坐標原點。由于結構旋轉對稱旋轉對稱，場強與方位角場強與方位角 無關。無關。 因為電場強度的方向無法因為電場強度的方向無法判斷，判斷，不能不能應用高斯定律，必應用高斯定律，必須直接求積。須直接求積。第二章第二章 靜電場靜電場 因場量與因場量與 無關，為了方無關，為了方便起見，可令觀察點便起見，可令觀察點P 位于位于yz平面，即平面，即 ，那么，那么 2 23 02d4LlLlrrE|rr |xzyr21rO

20、rrzdzrzere),2,(zrP考慮到考慮到2|csc csc (cos sin )cot dcsc dzrrrazz rzr rr |rree第二章第二章 靜電場靜電場21 222 0cos sincsc d4cscalrzarr eeE求得求得21210(sin sin )(cos cos ) 4lzrree當長度當長度 L 時，時，1 0，2 ，則，則00242llrrrEee此結果與此結果與例例3 完全相同。完全相同。 第二章第二章 靜電場靜電場32 例例 5 計算均勻帶電的環(huán)形薄圓盤軸線上任意點的電場強度。計算均勻帶電的環(huán)形薄圓盤軸線上任意點的電場強度。222 3/200( )d

21、d4()bzSae zeE rz P(0,0,z)brRyzx均勻帶電的環(huán)形薄圓盤均勻帶電的環(huán)形薄圓盤dSadE2200dcossin)d0 xye(ee22 3/222 1/222 1/200d11( )2()2()()bSSzzazzzzazb E ree由于由于30( )1( )d4SSr RE rSRd d d Sd d d Szre z(0,0, )Pzre Rrr 場點：場點：源點：源點： 解解：2200dcossin)d0 xye(ee由于由于第二章第二章 靜電場靜電場33 例例 6 求真空中均勻帶電球體產(chǎn)生的電場。已知球體半徑為求真空中均勻帶電球體產(chǎn)生的電場。已知球體半徑為a

22、，電，電 荷密度為荷密度為 0 。 解解：（1）球外某點的場強球外某點的場強0300341daqSES（2）求球體內(nèi)一點的場強）求球體內(nèi)一點的場強VSEVSd1d00ar0rrEa20303raE3302343414raqEr003rE （r 11第二章第二章 靜電場靜電場各向異性各向異性介質的電通密度與電場強度的關系為介質的電通密度與電場強度的關系為zyxzyxEEEDDD 333231232221131211可見，可見，各向異性各向異性介質中介質中，電通密度電通密度和電場強度的關系和電場強度的關系與外加電場的與外加電場的方向方向有關。有關。 均勻均勻介質的介電常數(shù)與介質的介電常數(shù)與空間坐標

23、空間坐標無關。無關。線性線性介質介質的介電常數(shù)與電場強度的的介電常數(shù)與電場強度的大小大小無關。無關。靜止靜止介質的介電介質的介電常數(shù)與常數(shù)與時間時間無關。無關。第二章第二章 靜電場靜電場 對于對于均勻均勻介質，由于介電常數(shù)與坐標無關，介質，由于介電常數(shù)與坐標無關，因此獲得因此獲得 dSqES E可見，對于可見，對于均勻均勻介質，前述電場強度及電位與自介質，前述電場強度及電位與自由電荷的關系式仍然成立，只需將由電荷的關系式仍然成立，只需將0 換為換為 即可。即可。 上式中上式中 q , 是什么電荷是什么電荷？第二章第二章 靜電場靜電場例：例：空氣中半徑為空氣中半徑為a，介電常數(shù)為，介電常數(shù)為 的

24、介質球，其中充滿密度的介質球，其中充滿密度為為Ruo0的電荷，試求的電荷，試求（1）介質球內(nèi)外的）介質球內(nèi)外的E和和P（2）介質球內(nèi)束縛電荷體密度和介質球表面的束縛電荷密度）介質球內(nèi)束縛電荷體密度和介質球表面的束縛電荷密度解：解：0DEP dSqDS利用：利用：得到：當?shù)玫剑寒攔a時時30203rarEe0P第二章第二章 靜電場靜電場(2) 介質球中：當介質球中：當ra時時20021()r Prr p(-)= -P=介質球表面介質球表面003r a psr(-)a= Pe=0003rr e(-)P(-1)E =第二章第二章 靜電場靜電場6. 兩種介質的邊界條件兩種介質的邊界條件 由于介質的特性

25、不同，引起場量在兩種介質的由于介質的特性不同，引起場量在兩種介質的分界面上發(fā)生突變，這種變化規(guī)律稱為靜電場的分界面上發(fā)生突變，這種變化規(guī)律稱為靜電場的邊邊界條件界條件。 通常分別討論邊界通常分別討論邊界上場量的切向分量和法上場量的切向分量和法向分量的變化規(guī)律。向分量的變化規(guī)律。 1 2enetn normalt tangential第二章第二章 靜電場靜電場E2E11324lh 1 2et 圍繞圍繞某某點點且且緊貼邊界緊貼邊界作作一個有向矩形閉合曲線，其一個有向矩形閉合曲線，其長度為長度為l，高度為高度為h，則則電電場強度沿該矩形曲線的場強度沿該矩形曲線的環(huán)量環(huán)量為為 2 3 4 1 1 2

26、3 4 d d d d dlElElElElEl 為了求出為了求出邊界上邊界上的場量關系，必須令的場量關系，必須令 h 0，則線積分則線積分 0d d 1 4 3 2 lElE 電場強度的電場強度的切向切向分量。分量。第二章第二章 靜電場靜電場 為了求出邊界上為了求出邊界上某點某點的場量關系，必須令的場量關系，必須令 l 足夠足夠短，以至于在短，以至于在 l 內(nèi)可以認為場量是內(nèi)可以認為場量是均勻均勻的，則上述環(huán)的，則上述環(huán)量為量為 2 4121t2t 1 3d d dElElElElEl2t1tEE 此式表明，此式表明，在兩種介質的邊界上，兩側的在兩種介質的邊界上，兩側的電場強度的電場強度的切

27、向分量相等切向分量相等，或者說，或者說，電場強度的切向分量是電場強度的切向分量是連續(xù)連續(xù)的的。 已知已知 , 得得 d0El第二章第二章 靜電場靜電場22t1t 1DD此式表明，此式表明，在兩種各向同性的線性介質形成的邊界在兩種各向同性的線性介質形成的邊界上，上，電通密度的切向分量是不連續(xù)的電通密度的切向分量是不連續(xù)的。 已知各向同性的線性介質，已知各向同性的線性介質， ，得，得 DEhS 圍繞某點作一個圍繞某點作一個圓柱面圓柱面，其高度為其高度為h，端面為端面為S。那那么么 dSqDS 1 2en 電通密度電通密度的法向分量。的法向分量。D2D1第二章第二章 靜電場靜電場 當當 h0 ，則通

28、過側面的通量為零，又考慮到則通過側面的通量為零，又考慮到 S 必須足夠小，則上述通量應為必須足夠小，則上述通量應為2n1n dSDSDS DS邊界法線的邊界法線的方向方向en規(guī)定為由介質規(guī)定為由介質指向介質指向介質。 dSqDS2n1nSqDDS求得求得式中，式中， S 為邊界上自由電荷的面密度。為邊界上自由電荷的面密度。hS 1 2enD2D1第二章第二章 靜電場靜電場 在兩種介質的邊界上不可能存在表面自由電在兩種介質的邊界上不可能存在表面自由電荷，因此荷，因此2n1nDD此式表明，此式表明，在兩種介質邊界上在兩種介質邊界上電通密度的法向分量電通密度的法向分量相等相等，或者說，或者說，電通密

29、度的法向分量是連續(xù)的電通密度的法向分量是連續(xù)的。 對于各向同性的線性介質，得對于各向同性的線性介質，得 n221n1EE可見，可見，在兩種各向同性的線性介質形成的邊界上，在兩種各向同性的線性介質形成的邊界上，電電場強度的法向分量不連續(xù)場強度的法向分量不連續(xù)。 還可證明還可證明 )(n1n20EES第二章第二章 靜電場靜電場7. 介質與導體的邊界條件介質與導體的邊界條件 可見，導體中不可能存在可見，導體中不可能存在靜電場靜電場，導體內(nèi)部不可，導體內(nèi)部不可能存在能存在自由電荷自由電荷。處于。處于靜電平衡靜電平衡時，自由電荷只能分時，自由電荷只能分布在導體的布在導體的表面表面上。上。EEE + E

30、= 0EE = 0導體導體靜電平衡靜電平衡第二章第二章 靜電場靜電場 因為因為導體中導體中不可能存在靜電場，因此導體中的不可能存在靜電場，因此導體中的電位梯度電位梯度為為零零。所以，處于。所以，處于靜電平衡靜電平衡狀態(tài)的導體是狀態(tài)的導體是一個一個等位體等位體，導體表面是一個，導體表面是一個等位面等位面。 既然導體中的電場強度為既然導體中的電場強度為零零，導體表面的外，導體表面的外側不可能存在電場強度的切向分量。換言之，側不可能存在電場強度的切向分量。換言之，電場電場強度必須垂直于導體的表面強度必須垂直于導體的表面，即，即0nEe介質介質E, D導體導體en第二章第二章 靜電場靜電場導體表面存在

31、的自由電荷面密度為導體表面存在的自由電荷面密度為 nSeDSE n或寫為或寫為式中，式中， 為導體周圍介質的介電常數(shù)。為導體周圍介質的介電常數(shù)。 已知導體表面是一個等位面，因已知導體表面是一個等位面，因 ，求得，求得nEnSn 考慮到導體中不存在靜電場，因而考慮到導體中不存在靜電場，因而極化強度極化強度為為零。求得導體表面零。求得導體表面束縛束縛電荷面密度為電荷面密度為 SPen第二章第二章 靜電場靜電場邊界條件邊界條件E2E1 1 2et 1 2enD2D12t1tEE 22t1t 1DD2n1nDDn221n1EE02n1n()SEE 2n1nSDD介質介質E, D導體導體en0nEenS

32、eDnSESn nS eP第二章第二章 靜電場靜電場 靜電屏蔽靜電屏蔽E = 0E 0 E = 0 E = 0 0dSSD第二章第二章 靜電場靜電場 例例 已知半徑為已知半徑為 r1 的的導體球導體球攜帶的攜帶的正正電荷量為電荷量為q，該導該導體球被內(nèi)半徑為體球被內(nèi)半徑為 r2 的導體球的導體球殼殼所包圍，球與球殼之間填充所包圍，球與球殼之間填充介質，其介電常數(shù)為介質，其介電常數(shù)為1 ，球殼的外半徑為，球殼的外半徑為 r3 ，球殼的外表球殼的外表面敷有一層介質，該層介質的外半徑為面敷有一層介質，該層介質的外半徑為r4 ，介電常數(shù)為介電常數(shù)為2 ，外部區(qū)域為真空，如左下圖所示。外部區(qū)域為真空，如

33、左下圖所示。試求：試求： 各區(qū)域中的各區(qū)域中的電場強度電場強度； 各個表面上的各個表面上的自由自由電電 荷和荷和束縛束縛電荷。電荷。r1r2r3r4 0 2 1可以應用可以應用高斯定律高斯定律求解嗎求解嗎? ?第二章第二章 靜電場靜電場解解 在在 r r1及及 r2 r r3 區(qū)域中區(qū)域中 E = 0 在在 r1 r r2 區(qū)域中區(qū)域中Sq dSDrrqeE2224同理，在同理，在 r3 r r4 區(qū)域中，求得區(qū)域中，求得？rrqeE2114注意，各區(qū)域中的介電常數(shù)不同注意，各區(qū)域中的介電常數(shù)不同！r1r2r3r4 0 2 1第二章第二章 靜電場靜電場根據(jù)根據(jù) 及及 ，分別求得，分別求得SPe

34、nnSeDr = r1:214 rqS0114121n10rSSrqEr = r4:0114)(224n2n004rSrqEE0Sr = r2:2224 rqS011412221n02rSSrqEr = r3:2334 rqS011422332n03rSSrqEr1r2r3r4 0 2 1第二章第二章 靜電場靜電場2014年考題：年考題：第二章第二章 靜電場靜電場第二章第二章 靜電場靜電場8. 電容電容由物理學得知，平板電容器的電容為由物理學得知，平板電容器的電容為 UqC 電容的單位電容的單位 F（法拉）。法拉）。C地球地球 F310708. 06121 F10 F, 1 pF10 F 實際

35、中，使用實際中，使用 F（微法）及微法）及 pF（皮法）作為皮法）作為電容單位。電容單位。第二章第二章 靜電場靜電場 例例 已知金屬球的內(nèi)導體半徑為已知金屬球的內(nèi)導體半徑為 a，外導體的內(nèi)外導體的內(nèi)半徑為半徑為b，,外殼半徑為外殼半徑為c， 內(nèi)、外導體之間填充介內(nèi)、外導體之間填充介質的介電常數(shù)為質的介電常數(shù)為 0。試求。試求單位長度單位長度內(nèi)、外導體之間內(nèi)、外導體之間的電容。的電容。 ab設：內(nèi)導體帶電量為設：內(nèi)導體帶電量為q，外導體球殼帶電，外導體球殼帶電量為量為-q。則空間各處電場為：。則空間各處電場為：204 0qarbrrbEE導體球與導體球殼之間的電壓為：導體球與導體球殼之間的電壓為

36、：0114 qabbaU =Edr第二章第二章 靜電場靜電場ab導體球與球殼之間的電容為：導體球與球殼之間的電容為：0114 qabbaU =Edr0411 abqC =U由于球與球殼分別帶由于球與球殼分別帶+q和和-q電荷，電場完全電荷，電場完全分布與球與球殼之間。分布與球與球殼之間。Rb時，電場出處為時，電場出處為0，因此，球殼相當于接地，球殼對地沒有，因此，球殼相當于接地，球殼對地沒有電容。電容。對于一般情況下，導體球帶電荷對于一般情況下，導體球帶電荷q1，導體，導體球殼電荷球殼電荷q2，則系統(tǒng)中各處電場為：，則系統(tǒng)中各處電場為：第二章第二章 靜電場靜電場ab系統(tǒng)中各處電場為：系統(tǒng)中各處

37、電場為：12012204 04 qarbrbrcqqrcrEEE導體球上的電位：導體球上的電位：112220012004 4 1114 4 baq drqqrrqqabcc1ac=Edrdr導體球上的電位：導體球上的電位：121222004 4 cqqqqdrcr第二章第二章 靜電場靜電場表明導體球之間有電位差，導體球與無窮遠處，表明導體球之間有電位差，導體球與無窮遠處，導體球殼與無窮遠處也有電位差，因此不僅導體導體球殼與無窮遠處也有電位差，因此不僅導體球與導體球殼之間有電容，導體球與無窮遠處，球與導體球殼之間有電容，導體球與無窮遠處，導體球殼與無窮遠處也有電容。導體球殼與無窮遠處也有電容。,

38、 1212-為了描述這種具有多個電容系統(tǒng)，定義為了描述這種具有多個電容系統(tǒng)，定義電位系數(shù)電位系數(shù)P，則可以將電位表示為：，則可以將電位表示為：111 11222121222 P qP qP qP q電位系數(shù)電位系數(shù)P（V/C),僅與導體系統(tǒng)的尺寸，僅與導體系統(tǒng)的尺寸，結構和周圍介電常數(shù)有關結構和周圍介電常數(shù)有關第二章第二章 靜電場靜電場111 1122221 1222 P qP qP qP q可以將上式中的可以將上式中的q用電容系數(shù)用電容系數(shù)表示及電位表示：表示及電位表示：11111222211222 qq 比較三個電位公式：得比較三個電位公式：得1112002122001111,4411 4

39、4abcPPcPPcc可見：可見：P12=P21第二章第二章 靜電場靜電場11111222211222 qq 11、 22為電容系數(shù)，為電容系數(shù)， 12， 21為感應系數(shù)為感應系數(shù)通過線性代數(shù)通過線性代數(shù)-1=P.為了表示系統(tǒng)中各個導體之間的電容關系，需要用導體的為了表示系統(tǒng)中各個導體之間的電容關系，需要用導體的電位及導體間的電位差來表示電荷電位及導體間的電位差來表示電荷q，因此上式可表示為：，因此上式可表示為：11112112122212121222()()()() qq 第二章第二章 靜電場靜電場上式另可表示為：上式另可表示為：11112112122212121222()()()() qq

40、 1111121222121222()() qCCqCC0111202122040,44c abCCbaabCCba可以求出：可以求出：第二章第二章 靜電場靜電場0111202122040,44c abCCbaabCCbaC12和和C21給出的是導體球和球殼之間的互電容，給出的是導體球和球殼之間的互電容，C22給出的給出的是導體球殼和地之間的自電容：是導體球殼和地之間的自電容：導體球的自電容導體球的自電容C11=0，并不表明導體球與，并不表明導體球與地之間的電容為地之間的電容為0，有左圖可以看出，自電，有左圖可以看出，自電容容C11為為0的情況下，導體球與地之間的電容的情況下，導體球與地之間的

41、電容等于等于C12與與C22的串聯(lián)。的串聯(lián)。C11=0？第二章第二章 靜電場靜電場C11=0？因為因為C11是該導體系統(tǒng)中金屬球的自電容，它是在是該導體系統(tǒng)中金屬球的自電容，它是在該導體系統(tǒng)中金屬球的對地電容。該導體系統(tǒng)中金屬球的對地電容。由于金屬球被同心金屬球殼所封閉，因此，能在金屬球與地直由于金屬球被同心金屬球殼所封閉，因此，能在金屬球與地直接相連的電場為接相連的電場為0，即這一部分的儲存電能為，即這一部分的儲存電能為0.注意：注意：不要把此時的不要把此時的C11與孤立金屬球對地電容相混淆。與孤立金屬球對地電容相混淆。下面我們討論在開放系統(tǒng)底下，下面我們討論在開放系統(tǒng)底下，C11的取值。的

42、取值。第二章第二章 靜電場靜電場例例:自由空間有半徑為自由空間有半徑為a1，a2的兩個金屬球，兩球心間的距離為的兩個金屬球，兩球心間的距離為d且且da1，a2.試求該導體系統(tǒng)的互電容和自電容。試求該導體系統(tǒng)的互電容和自電容。12010120024444qqadqqda12=220110212212120122124()4()4a da da da dCCda ada aa a dCda a11221221= C=當當da1,a2, 兩個球幾乎成為孤立的導體球，從而，兩個球幾乎成為孤立的導體球，從而，0102440CaCaC11221221= C=C11和和C22變成了孤立金屬球的電容表達式，互

43、電容為變成了孤立金屬球的電容表達式，互電容為0.第二章第二章 靜電場靜電場 多導體系統(tǒng)中，每個導體的電位不僅與導體多導體系統(tǒng)中，每個導體的電位不僅與導體本身本身電荷有關，同時還與電荷有關，同時還與其他其他導體上的電荷有關。導體上的電荷有關。 q1q3qnq21111121211112212122222221411122()()()()()() ()()()()()jhnnjknniiiiiijijininnnnnnqCCCCqCCCCqCCCCqCC()njnjnnnCC 各個導體上的各個導體上的電荷電荷與與導體間的導體間的電位差電位差的關系為的關系為式中，式中，Cii 稱為稱為固有部分電容固

44、有部分電容；Cij 稱為稱為互有部分電容互有部分電容。 |第二章第二章 靜電場靜電場 例例 已知同軸線的內(nèi)導體半徑為已知同軸線的內(nèi)導體半徑為 a，外導體的內(nèi)外導體的內(nèi)半徑為半徑為b， 內(nèi)、外導體之間填充介質的介電常數(shù)為內(nèi)、外導體之間填充介質的介電常數(shù)為 。試求。試求單位長度單位長度內(nèi)、外導體之間的電容。內(nèi)、外導體之間的電容。 能否應用高斯定律求解能否應用高斯定律求解? ? ab第二章第二章 靜電場靜電場 解解 設內(nèi)導體單位長度內(nèi)的設內(nèi)導體單位長度內(nèi)的電荷量為電荷量為q，圍繞內(nèi)導體作一個單圍繞內(nèi)導體作一個單位長度圓柱面作為位長度圓柱面作為高斯面高斯面S，則，則那么內(nèi)、外導體之間的電位差那么內(nèi)、外

45、導體之間的電位差 U 為為 baabqrEU ln2d因此單位長度內(nèi)的電容為因此單位長度內(nèi)的電容為 abUqCln2rrqeE 2 dSqESab第二章第二章 靜電場靜電場9. 電場能量電場能量 電場力作電場力作功功，需要消耗自身，需要消耗自身的能量，可見靜電場是具有的能量，可見靜電場是具有能量能量的。的。 外力外力反抗反抗電場力作功，此功電場力作功，此功將轉變?yōu)殪o電場的能量將轉變?yōu)殪o電場的能量儲藏儲藏在靜在靜電場中。電場中。 根據(jù)根據(jù)電場力作功電場力作功或或外力作功外力作功與與靜電場能量靜電場能量之間的之間的轉換關系，可以計算靜電場能量。轉換關系，可以計算靜電場能量。EFEv第二章第二章 靜

46、電場靜電場9. 電場能量電場能量 在一個由點電荷在一個由點電荷q1q1產(chǎn)生的電場中，將另一個電荷產(chǎn)生的電場中，將另一個電荷q2q2由無窮遠處由無窮遠處移至距點電荷移至距點電荷q1q1為為R R1212處時，外力反抗電場所做的功為：處時，外力反抗電場所做的功為：12220124 q qqR2W表示由點電荷表示由點電荷q1在點電荷在點電荷q2處產(chǎn)生的電位。處產(chǎn)生的電位。2同樣，在點電荷同樣，在點電荷q2q2產(chǎn)生的電場中，將電荷產(chǎn)生的電場中，將電荷q1q1由無窮遠處移至距由無窮遠處移至距點電荷點電荷q2q2為為R R2121處時，外力反抗電場所做的功為：處時，外力反抗電場所做的功為：12110214

47、 q qqR1W1表示由點電荷表示由點電荷q2在點電荷在點電荷q1處產(chǎn)生的電位。處產(chǎn)生的電位。第二章第二章 靜電場靜電場9. 電場能量電場能量 在線性介質中，外力做功的大小與電荷的建立方式無關，所以在線性介質中，外力做功的大小與電荷的建立方式無關，所以上面兩種移動方式做功相等，即上面兩種移動方式做功相等，即W W1 1=W=W2 2. .在在q q1 1、q q2 2構成的系統(tǒng)中構成的系統(tǒng)中，得到，得到N=2N=2系統(tǒng)的電場能量為：系統(tǒng)的電場能量為：1122111()222qq12W =WW第二章第二章 靜電場靜電場9. 電場能量電場能量 如果在此系統(tǒng)中再將另一個點電荷如果在此系統(tǒng)中再將另一個

48、點電荷q3q3由無窮遠處移動到距離由無窮遠處移動到距離q1q1為為R13R13，距離，距離q2q2為為R23R23處，則移動電荷處，則移動電荷q3q3外力所作的功為：外力所作的功為：123330130234 4 qqqqRR3W3表示由表示由q1和和q2在點電荷在點電荷q3處產(chǎn)生的電位，于是處產(chǎn)生的電位，于是N=3系統(tǒng)能量：系統(tǒng)能量：1323120120130234 4 4 q qq qq qRRRW第二章第二章 靜電場靜電場9. 電場能量電場能量 N=3系統(tǒng)能量：系統(tǒng)能量：1323120120130234 4 4 q qq qq qRRRW33211230120130120231213121

49、23231323112233124 4 4 4 1212qqqqqqqRRRRqqqqqqWN=3系統(tǒng)時，系統(tǒng)時，q1處的電位處的電位 由點電荷由點電荷q2和和q3產(chǎn)生，其余類似。產(chǎn)生，其余類似。1第二章第二章 靜電場靜電場9. 電場能量電場能量 N=3系統(tǒng)能量：系統(tǒng)能量：11223312qqqW是除是除qi之外其他所在的電荷在之外其他所在的電荷在qi處產(chǎn)生電位：處產(chǎn)生電位：將上式擴展到將上式擴展到N點電荷構成的系統(tǒng)：點電荷構成的系統(tǒng)：1111122NNNiijiiijiijqq eWi1104 NNiiijjiijijqR第二章第二章 靜電場靜電場9. 電場能量電場能量 1104 NNiii

50、jjiijijqR此公式?jīng)]有包含各個點電荷在自身形成所積累的能量。此公式?jīng)]有包含各個點電荷在自身形成所積累的能量。第二章第二章 靜電場靜電場qqWQd )( 0 e 已知孤立導體的電位已知孤立導體的電位 等于攜帶的電量等于攜帶的電量 Q 與電與電容容 C 的之比，的之比， 即即QC求得電量為求得電量為Q 的孤立帶電體具有的能量為的孤立帶電體具有的能量為 CQW2e 21e1 2WQ或者為或者為 已知帶電體的電位隨著電荷荷的逐漸增加而不斷已知帶電體的電位隨著電荷荷的逐漸增加而不斷升高，可見電位是電量升高，可見電位是電量 q 的的函數(shù)函數(shù)。 那么當電荷量增至那么當電荷量增至最終值最終值 Q 時，外

51、力作的總功為時，外力作的總功為第二章第二章 靜電場靜電場 對于對于 n 個帶電體，設每個帶電體的電荷量個帶電體，設每個帶電體的電荷量均均從零從零開始，且以開始，且以同樣同樣的比例增長。若周圍介質是的比例增長。若周圍介質是線性線性的，則當各個帶電體的電荷量增加一倍時，的，則當各個帶電體的電荷量增加一倍時，各個帶電體的電位也升高一倍。各個帶電體的電位也升高一倍。 設第設第 i 個帶電體的個帶電體的電位最終值電位最終值為為 i，電荷量電荷量最終值最終值為為 Qi ，若某一時刻第若某一時刻第 i 個帶電體的電荷量個帶電體的電荷量為為 qi = Qi ( 1)，則電位為則電位為ii 第二章第二章 靜電場

52、靜電場ddd11eniiiniiiQqW 當各個帶電體的電量同時分別增至最終值當各個帶電體的電量同時分別增至最終值 時，該系統(tǒng)的總電場能為時，該系統(tǒng)的總電場能為 nQQQ,21niiiQW1e21求得求得 那么當各個帶電體的電荷量均以同一比例那么當各個帶電體的電荷量均以同一比例 增長，增長，外力外力必須作的功為必須作的功為1 0 1eeddniiiQWW第二章第二章 靜電場靜電場 當帶電體的電荷為當帶電體的電荷為連續(xù)連續(xù)的的體體分布、分布、面面分布或分布或線線分布電荷時，由分布電荷時，由 ，求得總能量，求得總能量為為 d dddSlqVSle 111( ) ( ) d( ) ( ) d ( )

53、 ( ) d222SlVSlWVSlrrrrrr式中，式中， (r) 為體元為體元 dV、面、面元元 dS、或、或線元線元 dl 所在處所在處的電位；積分區(qū)域為的電位；積分區(qū)域為電荷電荷分布的整個空間。分布的整個空間。 從場的觀點來看，靜電場的能量分布在電場所從場的觀點來看，靜電場的能量分布在電場所占據(jù)的占據(jù)的整個整個空間，應該計算靜電場的能量分布空間，應該計算靜電場的能量分布密度密度。靜電場的靜電場的能量密度能量密度以小寫英文字母以小寫英文字母 we 表示。表示。第二章第二章 靜電場靜電場 設兩個導體攜帶的電荷量為設兩個導體攜帶的電荷量為Q1和和 Q2，其表面積其表面積分別為分別為 S1和和

54、 S2，如下所示。，如下所示。 S2Q2Q1S1Venennene 已知電荷分布在導體已知電荷分布在導體的的表面表面上，因此，該系統(tǒng)上，因此，該系統(tǒng)的的總總能量為能量為 12e11 d d22SSSSWSS 又知又知 ，nnS D eD e求得求得12e11 d d22SSW DSDS第二章第二章 靜電場靜電場S 若在無限遠處再作一若在無限遠處再作一個無限大的球面?zhèn)€無限大的球面 S，由由于電荷分布在有限區(qū)域，于電荷分布在有限區(qū)域，無限遠處的電位及場強均無限遠處的電位及場強均趨于零。因此，積分趨于零。因此，積分 d0SDSS2Q2Q1S1Venennene那么，上面的儲能公式可寫為那么，上面的儲

55、能公式可寫為 12e111 d d d222SSSWDSDSDSSD d 21S式中式中 。SSSS21第二章第二章 靜電場靜電場e 1( ) d2VWVD 1( ) d2VV DD考慮到區(qū)域考慮到區(qū)域 V 中沒有自由電荷，所以中沒有自由電荷，所以 。0 D又又 ，代入上式，求得，代入上式，求得EVWVd 21eED由此求得靜電場的能量密度由此求得靜電場的能量密度 ED21ew利用散度定理，上式可寫利用散度定理，上式可寫e1 d2SWDS第二章第二章 靜電場靜電場已知已知各向同性各向同性的的線性線性介質，介質， ，代入后得，代入后得 ED 2e 21Ew 此式表明，靜電場能量與電場強度此式表明

56、，靜電場能量與電場強度平方平方成正比。成正比。因此，能量因此，能量不符合不符合疊加原理，即多帶電體的疊加原理，即多帶電體的總總能量能量并不等于各個帶電體并不等于各個帶電體單獨單獨存在時具有的各個能量之存在時具有的各個能量之和。和。 因為第因為第2個帶電體引入系統(tǒng)時，外力必須反抗第個帶電體引入系統(tǒng)時，外力必須反抗第1個帶電體對第個帶電體對第2個個帶電體產(chǎn)生的電場力而作功，此帶電體產(chǎn)生的電場力而作功，此功轉變?yōu)殡妶瞿芰?，這份能量稱為功轉變?yōu)殡妶瞿芰?，這份能量稱為互有能互有能，而帶電，而帶電體體單獨單獨存在時具有的能量稱為存在時具有的能量稱為固有能固有能。第二章第二章 靜電場靜電場能量計算能量計算n

57、iiiQW1e21e 111( ) ( ) d( ) ( ) d( ) ( ) d222SlVSlWVSlrrrrrrVVwWVVd )21(d eeED第二章第二章 靜電場靜電場 例例 計算半徑為計算半徑為 a ，電荷量為，電荷量為 Q 的導體球具有的的導體球具有的能量。導體周圍介質的介電常數(shù)為能量。導體周圍介質的介電常數(shù)為 。 解解 通過通過電位電位。aQ 4aQ可以通過可以通過三種三種途徑求解途徑求解。aQQW 8 212e已知半徑為已知半徑為a，電荷量為電荷量為 Q 的導體球的電位為的導體球的電位為第二章第二章 靜電場靜電場 通過通過表面電荷表面電荷。e1d24 SSQWSaaQ 82

58、 通過通過能量密度能量密度。2 4rQE4222e 3221rQEw2 2 2ee 0 0 ddsin d8 aQWw rra求得求得已知導體表面是一個等位面，那么積分求得已知導體表面是一個等位面，那么積分求得 已知電荷量為已知電荷量為 Q 的導體球外的電場強度為的導體球外的電場強度為第二章第二章 靜電場靜電場10. 電場力電場力 某點電場強度在某點電場強度在數(shù)值上數(shù)值上等于單位等于單位正正電荷在該點電荷在該點受到的電場力。因此，受到的電場力。因此，點點電荷電荷 受到的受到的電場力電場力為為 qEFq若上式中若上式中 E 為為點點電荷電荷 q 產(chǎn)生的電場強度，則產(chǎn)生的電場強度，則 rrqeE2

59、 4式中，式中， 為該點電荷周圍介質的介電常數(shù)。為該點電荷周圍介質的介電常數(shù)。第二章第二章 靜電場靜電場那么，那么，點電荷點電荷 q 對于點電荷對于點電荷 的作用力為的作用力為 qrrqqeF2 4式中式中er 為由為由 q 指向指向 的的單位單位矢量。矢量。q庫侖定律庫侖定律EFqrrqeE2 4qqF第二章第二章 靜電場靜電場 根據(jù)根據(jù)庫侖定律庫侖定律可以計算電場力。但是，對于可以計算電場力。但是，對于電荷分布電荷分布復雜復雜的帶電系統(tǒng)，根據(jù)庫侖定律計算電場的帶電系統(tǒng)，根據(jù)庫侖定律計算電場力是力是非常非常困難的。困難的。為了計算電場力，通常采用為了計算電場力，通常采用虛位移法虛位移法。 這

60、種方法是這種方法是假定假定帶電體在電場作用下發(fā)生一帶電體在電場作用下發(fā)生一定的定的位移位移，根據(jù)位移過程中，根據(jù)位移過程中電場能量電場能量的變化與的變化與外外力力及及電場力電場力所作的所作的功功之間的關系計算電場力。之間的關系計算電場力。第二章第二章 靜電場靜電場 以平板電容器為例，設兩極板上的電荷量以平板電容器為例，設兩極板上的電荷量分別為分別為+q 及及 q ，板間距離為板間距離為 l 。dll q+q 兩極板間的相互作用力兩極板間的相互作用力實際上實際上導致板間距離導致板間距離減小減小。因此，在上述假定下，求出因此，在上述假定下，求出的作用力應為的作用力應為負值負值。 假定在電場力作用下