重力扭轉(zhuǎn)平衡實(shí)驗(yàn)

1、重力扭轉(zhuǎn)平衡實(shí)驗(yàn)(Gravitational Torsion Balance Experiment) 胡裕民 編寫(xiě)一. 實(shí)驗(yàn)?zāi)康模?. 利用Henry Cavendish的實(shí)驗(yàn)方法來(lái)測(cè)量重力常數(shù)(gravitational constant，G)。二. 原理介紹：在1686年，Isaac Newton所發(fā)表的著作“Principia Mathematica”中指出：所有物質(zhì)之間存在著重力的作用，且此重力(吸引力)正比於兩作用物體的質(zhì)量，並反比於兩作用物體之間距離的平方。然而，在牛頓發(fā)表的一個(gè)世紀(jì)之後，科學(xué)家知道重力常數(shù)G以及所有天體質(zhì)量的大小。牛頓的理論不僅當(dāng)時(shí)成功地解釋了自由落體以及天體運(yùn)動(dòng)

2、的現(xiàn)象，並使得後來(lái)的數(shù)學(xué)家能以計(jì)算方式正確地預(yù)測(cè)出海王星(Neptune)的存在。在牛頓的時(shí)代，所有的計(jì)算是利用太陽(yáng)(或地球)與行星(或衛(wèi)星)的質(zhì)量比值來(lái)求得的，牛頓實(shí)際的方程式為 (1)其中F為重力，m為物體的質(zhì)量，D為距離，K為克卜勒常數(shù)(Keplers constant，為行星軌道半徑的三次方與公轉(zhuǎn)周期平方的比值)。著名的牛頓萬(wàn)有引力定律現(xiàn)今可表示為： (2)其中F為重力，G為重力常數(shù)(= 6.67×10-11 Nm2/kg2)，m、M為兩物體之質(zhì)量，r為兩物體之間的距離。1798年Henry Cavendish (1731-1810，英國(guó)化學(xué)及物理學(xué)家，發(fā)現(xiàn)hydrogen、

3、argon原子以及water、nitric acid的組成)設(shè)計(jì)了一個(gè)實(shí)驗(yàn)來(lái)計(jì)算地球的質(zhì)量，並首先發(fā)現(xiàn)重力常數(shù)G的數(shù)值大小。大部分的基本常數(shù)，例如：電荷e、普朗克常數(shù)h等，的測(cè)量都可精確到八、九個(gè)位數(shù)，但是重力常數(shù)G的測(cè)量較為困難，只能精確到三個(gè)位數(shù)：(6.673±0.010)×10-11 m3kg-1s-1。當(dāng)初，Cavendish的實(shí)驗(yàn)裝置如圖一所示： 圖一.(左)扭擺平衡運(yùn)動(dòng)側(cè)面圖(右)扭擺平衡運(yùn)動(dòng)頂面圖。將兩個(gè)質(zhì)量為m的小鉛球固定在一支細(xì)棒的兩端，細(xì)棒中央固定一個(gè)反射鏡，然後將此系統(tǒng)如圖一(左)所示，以一條細(xì)石英線平衡懸掛。將一支臂上兩個(gè)較大的鉛球位於positio

4、n 1或position 2，如圖一(右)所示。以一雷射光束投射到反射鏡上，觀察遠(yuǎn)處直尺上的反射光。兩個(gè)小球受到大球(於position 1)吸引時(shí)，會(huì)使石英線受到力矩而逆時(shí)針扭轉(zhuǎn)，若鏡子轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)小角度時(shí)，反射光會(huì)偏轉(zhuǎn)到2的角度。當(dāng)兩個(gè)小球受到大球(於position 2)吸引時(shí)，會(huì)使石英線受到力矩而順時(shí)針扭轉(zhuǎn)，若鏡子轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)小角度-時(shí)，反射光會(huì)偏轉(zhuǎn)到-2的角度。若鏡子到直尺的距離為L(zhǎng)，反射光在直尺上移動(dòng)的距離為x，則： (3)兩個(gè)大球作用在兩個(gè)小球的力矩為：，F(xiàn)為其中一個(gè)大球作用在一鄰近小球的作用力，d為兩個(gè)小球間距的一半。若D為石英棒的扭力常數(shù)，則 (4)此外，扭力常數(shù)D與震盪週期T之間的

5、關(guān)係為： (5)其中I為轉(zhuǎn)動(dòng)系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量： (6)因此，利用eq.(3)-(6)： (7)將eq.(7)與eq.(2)比較後可知 (8) 本實(shí)驗(yàn)根據(jù)上述的基本原理，利用兩種方法來(lái)量測(cè)重力常數(shù)，以下分別仔細(xì)介紹各方法的原理：1. 由最後偏折的量測(cè)： 圖二由圖二所示，當(dāng)大球(質(zhì)量M)在position 1時(shí)，大球與小球(質(zhì)量m)之間的重力F可表示為： (9)在此系統(tǒng)中，大球與小球之間的重力作用產(chǎn)生一淨(jìng)力矩： (10)此重力產(chǎn)生的淨(jìng)力矩會(huì)與扭轉(zhuǎn)的扭力線產(chǎn)生的力矩大小相同、方向相反： (11)因此 (12)當(dāng)大球旋轉(zhuǎn)到position 2的位置時(shí)，系統(tǒng)會(huì)由平衡位置S1作阻尼震盪，一直到靜止於另一個(gè)新

6、的平衡位置S2，如圖三所示。 圖三此時(shí)，S1與S2之間的距離S與扭轉(zhuǎn)角度之間的關(guān)係為(如圖四所示)： (13) 圖四扭力常數(shù)可利用觀察振盪週期T來(lái)決定： (14)其中I為小球系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：(r為小球的半徑) (15) (16)因此，實(shí)驗(yàn)上量測(cè)雷射光點(diǎn)的總偏折距離S以及振盪週期T，即可得知G。2. 由加速度的量測(cè)：如前所述，當(dāng)大球旋轉(zhuǎn)到position 2的位置時(shí)，系統(tǒng)會(huì)由平衡位置S1作阻尼震盪，一直到靜止於另一個(gè)新的平衡位置S2。因?yàn)樾∏虻恼癖U週期很長(zhǎng)(約十幾分鐘)，因此當(dāng)大球旋轉(zhuǎn)到position 2位置的同時(shí)，小球並沒(méi)有明顯的運(yùn)動(dòng)，此時(shí)大球與小球之間的重力大小與之間約略相同，只是方向相反

7、。故此時(shí)剛加速小球的力量Ftotal等於原先重力作用的兩倍： (17)由阻尼簡(jiǎn)諧振盪的本質(zhì)可知：在振盪週期的前十分之一時(shí)間內(nèi)，初始加速度a0約為常數(shù)(變化在5%範(fàn)圍內(nèi))。因此，我們?cè)谡癖U之初紀(jì)錄測(cè)量出初始加速度a0，即可約略得到重力常數(shù)G。 圖五 如圖五所示，初始加速度a0可由觀察雷射光點(diǎn)的位移而計(jì)算出來(lái)： (18)其中s為小球的線性位移。利用牛頓第二運(yùn)動(dòng)方程式： (19)將S與t2作圖，計(jì)算斜率即可得到初始加速度a0，亦即得到重力常數(shù)G。三. 實(shí)驗(yàn)裝置：1. 裝置參考圖：(圖六)圖六 2. 實(shí)驗(yàn)儀器：(圖七，由左到右)a. 2-56×1/8 Phillips head screws

8、.× 4b. replacement torsion ribbon (鈹銅製，長(zhǎng)26cm).× 3c. Gravitational Torsion Balance.× 1d. 鉛球(大：1.5kg/31.9mm × 2，小：38.3g/9.53mm × 2).× 4e. support base with leveling feet.× 1f. plastic plate.× 1g. Phillips screwdriver (not shown)× 1h. He-Ne laser light sourc

9、e (not shown).× 1i. Meter stick (not shown).× 1j. 碼錶× 1 圖七 其他裝置參數(shù)：k. 當(dāng)大球貼近鋁板時(shí)，大球的質(zhì)量中心至小球的質(zhì)量中心的距離b為46.5mm。l. 反射鏡表面到玻璃窗外部表面的距離為11.4mm。3. 基本架設(shè)：a. 先檢查實(shí)驗(yàn)儀器有無(wú)數(shù)量短缺或損壞情事，有則報(bào)告實(shí)驗(yàn)助教。b. 將基座置於平坦的實(shí)驗(yàn)桌上，距離牆壁或屏幕至少五公尺。實(shí)驗(yàn)過(guò)程中避免碰觸實(shí)驗(yàn)桌。c. 小心地將gravitational torsion balance固定在基座上。d. 旋轉(zhuǎn)擺錘腔(pendulum chamber)底部的

10、螺絲，使得locking mechanism降至最低。(如圖八(左)所示) 圖八e. 調(diào)整基座腳使得擺錘在鏡子上方的中央。(如圖八(右)所示)f. 抓住torsion ribbon head，鬆開(kāi)固定螺絲，調(diào)整擺錘高度，使得擺錘與擺錘腔切齊後，將固定螺絲鎖緊(如圖九所示)。注意：此步驟只在更換扭力線後或是誤觸扭力線固定螺絲時(shí)才需進(jìn)行。 圖九 圖十g. 擺錘臂的轉(zhuǎn)動(dòng)校正(zeroing)：如圖十所示，將雷射光斜打在反射鏡上，經(jīng)由反射後觀察由鏡面反射的點(diǎn)與由玻璃視窗反射的點(diǎn)是否對(duì)齊，如圖十一(左)所示。若無(wú)對(duì)齊，則鬆開(kāi)零點(diǎn)調(diào)整螺絲，輕輕轉(zhuǎn)動(dòng)zero adjust knob，直到兩雷射光點(diǎn)對(duì)齊後即鎖

11、緊零點(diǎn)調(diào)整螺絲，如圖十一(右)所示。 圖十一h. 精確地量測(cè)圖十中L的距離長(zhǎng)度。注意：反射鏡表面到玻璃窗外部表面的距離為11.4mm。i. 將接地銅線接於擺錘腔的接地螺絲並鎖緊。j. 將大鉛球放在支臂兩端上，並轉(zhuǎn)到position 1的位置，如圖十二所示。 圖十二k. 靜待擺錘停止震盪。這可能需要數(shù)小時(shí)，實(shí)驗(yàn)時(shí)可利用擺錘腔(pendulum chamber)底部的螺絲，使得locking mechanism緩慢升起並接觸到擺錘棒，幾秒後再小心地將locking mechanism緩慢下降，快速地使擺錘停止震盪。四. 實(shí)驗(yàn)步驟：1. 方法一：由最後偏折的量測(cè)(準(zhǔn)確度：5%)a. 待基本架設(shè)完成後

12、，大球置於position 1位置，並使擺錘停止振盪。b. 將雷射打開(kāi)，觀察反射光點(diǎn)的位置幾分鐘，看看反射光點(diǎn)是否移動(dòng)，以確定系統(tǒng)已達(dá)穩(wěn)定。精確紀(jì)錄position 1時(shí)反射光點(diǎn)的位置S1，並紀(jì)錄反射光點(diǎn)位置S1隨時(shí)間變化的微小變化，以做為系統(tǒng)的起始誤差。c. 小心地將大球旋轉(zhuǎn)到position 2的位置，使大球剛好接觸擺錘腔外殼，絕對(duì)避免有較大的碰撞，使得系統(tǒng)失去平衡狀態(tài)。(可利用兩階段過(guò)程來(lái)減少擺錘達(dá)到平衡的時(shí)間(如圖十三所示)：先將大球旋轉(zhuǎn)到intermediate position，等到雷射光束移動(dòng)至最遠(yuǎn)距離時(shí)，再將大球旋轉(zhuǎn)到position 2的位置，使大球剛好接觸擺錘腔外殼。 圖十

13、三d. 立刻觀察並紀(jì)錄光點(diǎn)位置(每十五秒紀(jì)錄一次)。e. 紀(jì)錄振盪一次的時(shí)間(為求精確，紀(jì)錄幾次的振盪周期後加以平均)。f. 一直等到振盪結(jié)束後，紀(jì)錄最後平衡的位置S2。數(shù)據(jù)分析修正：g. 將所紀(jì)錄的數(shù)據(jù)，利用eq.16計(jì)算出G值。h. 由於系統(tǒng)本身的誤差，因此我們做必須以下的修正：小球除了受到鄰近大球的重力吸引F之外，也會(huì)受到另一大球較弱的重力F0吸引，如圖十四所示。 圖十四由圖十四的幾何關(guān)係可知 (20) (21)而由萬(wàn)有引力定律可知 (22)因此 (23)此處我們定義一無(wú)單位參數(shù) (24)由以上可知，實(shí)際作用於小球的重力，因此實(shí)驗(yàn)計(jì)算出的重力常數(shù)，而G0則為修正後標(biāo)準(zhǔn)的重力常數(shù)。2. 方法二：由加速度的量測(cè)(準(zhǔn)確度：15%)a. 先完成方法一中的步驟a-c。b. 立刻觀察並紀(jì)錄光點(diǎn)位置(每十五秒紀(jì)錄一次，直到三分鐘)。 數(shù)據(jù)分析c. 將光點(diǎn)位移S(y軸)對(duì)時(shí)間t的平方(x軸)作圖，選擇起初符合線性關(guān)係的資料點(diǎn)作迴歸分析，找出斜率值，利用eq.17-19即可得到初始加速度a0以及重力常數(shù)G。d. 利用方法一的數(shù)據(jù)修正方法，得到正確的重力常數(shù)G。注意：1. 實(shí)驗(yàn)進(jìn)行