第1章 4 簡單計數(shù)問題

1、.§4簡單計數(shù)問題1進(jìn)一步理解計數(shù)原理和排列、組合的概念重點2可以運用原理和公式解決簡單的計數(shù)問題難點根底·初探教材整理簡單計數(shù)問題閱讀教材P18P21，完成以下問題1計數(shù)問題的根本解法1直接法：以_為考察對象，先滿足_的要求，再考慮_又稱元素分析法或以_為考察對象，先滿足_的要求，再考慮_又稱位置分析法2間接法：先不考慮附加條件，計算出所有的方法數(shù)，再減去不符合要求的方法數(shù)【答案】1元素特殊元素其他元素位置特殊位置其他位置2解決計數(shù)問題應(yīng)遵循的原那么先_后一般，先_后排列，先_后分步，充分考慮元素的特殊性，進(jìn)展合理的分類與分步【答案】特殊組合分類5個不同的球放入4個不同的

2、盒子中，每個盒子至少一個球，假設(shè)甲球必須放入A盒，那么不同放法總數(shù)是A120B72C60D36【解析】分兩類：第一類，A盒只有甲球，那么余下4個球放入3個不同的盒子中，每個盒子至少一個球，此時4個球應(yīng)分為2,1,1三組，有C種，每一種有A種放法，共有CA種放法；第二類，A盒中有甲球和另1球，那么有A種排法由分類加法計數(shù)原理，得共有放法總數(shù)CAA60種【答案】C質(zhì)疑·手記預(yù)習(xí)完成后，請將你的疑問記錄，并與“小伙伴們討論交流：疑問1：解惑：疑問2：解惑：疑問3：解惑：小組合作型排列問題某單位安排7位員工在10月1日至7日值班，每天安排1人，每人值班1天假設(shè)7位員工中的甲、乙排在相鄰兩天，

3、丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，那么不同的安排方案共有A504種B960種C1 008種D1 108種【精彩點撥】先安排甲、乙，再考慮丙、丁，最后安排其他員工【自主解答】1假設(shè)甲、乙安排在開場兩天，那么丁有4種選擇，共有安排方案ACA192種；2假設(shè)甲、乙安排在最后兩天，那么丙有4種選擇，共有ACA192種；3假設(shè)甲、乙安排在中間5天，選擇兩天有4種可能，假設(shè)丙安排在10月7日，丁有4種安排法，共有4×ACA192種；假設(shè)丙安排在中間5天的其他3天，那么丁有3種安排法，共有4×ACCA432種所以共有1921921924321 008種【答案】C1本小題用到分類討論

4、的方法，按照特殊元素甲、乙在一起，丙、丁不在特殊位置進(jìn)展討論2較復(fù)雜的排列問題要注意模型化歸，轉(zhuǎn)化為常用的方法再練一題1由1,2,3,4,5,6組成沒有重復(fù)數(shù)字，且1,3都不與5相鄰的六位偶數(shù)的個數(shù)是 【導(dǎo)學(xué)號：62690018】A72B96C108D144【解析】第一步將2,4,6全排，有A種；第二步分1,3相鄰且不與5相鄰，有AA種；1,3,5均不相鄰，有A種故總的排法為AAAA108種，應(yīng)選C.【答案】C組合問題某班有54位同學(xué)，其中正、副班長各1名，現(xiàn)選派6名同學(xué)參加某科課外小組，在以下各種情況中，各有多少種不同的選法？只列式不計算1正、副班長必須入選；2正、副班長只有1人入選；3正、

5、副班長都不入選；4正、副班長至多有1人入選；5班長以外的某3人不入選；6班長有1人入選，班長以外的某2人不入選【精彩點撥】這是一道有限制條件的組合問題，先處理特殊元素，然后考慮一般元素【自主解答】1先選正、副班長，再從剩下的52人中選4人由分步乘法計數(shù)原理，得C·C種2先從正、副班長中選1人，再從剩下的52人中選5人由分步乘法計數(shù)原理，得C·C種3因為正、副班長都不選，因此從剩下的52人中選6人，共C·C種，即C種4只有一個班長入選，或兩個班長都不入選，故共有C·CC·C種，或CC·C種5某3人可除外，故共有C·C種，即C種

6、6C·C·C種，即C·C種解答組合應(yīng)用題的總體思路1整體分類，對事件進(jìn)展整體分類，從集合的意義講，分類要做到各類的并集等于全集，以保證分類的不遺漏，任意兩類的交集等于空集，以保證分類的不重復(fù)，計算結(jié)果時使用加法原理2局部分步，整體分類以后，對每一類進(jìn)展局部分步，分步要做到步驟連續(xù)，以保證分步的不遺漏，同時步驟要獨立，以保證分步的不重復(fù)，計算每一類的相應(yīng)結(jié)果時，使用乘法原理再練一題2將7名學(xué)生分配到甲、乙兩個宿舍中，每個宿舍至少安排兩名學(xué)生，那么互不一樣的分配方案共有A252種B112種C20種D56種【解析】不同的分配方案共有CCCCCCCC112種【答案】B探究

7、共研型排列、組合的綜合應(yīng)用探究1從集合1,2,3,4中任取兩個不同元素相乘，有多少個不同的結(jié)果？完成的“這件事指的是什么？【提示】共有C6個不同結(jié)果完成的“這件事是指：從集合1,2,3,4中任取兩個不同元素并相乘探究2從集合1,2,3,4中任取兩個不同元素相除，有多少個不同結(jié)果？這是排列問題，還是組合問題？完成的“這件事指的是什么？【提示】共有A210個不同結(jié)果這個問題屬于排列問題完成的“這件事是指：從集合1,2,3,4中任取兩個不同元素并相除探究3完成“從集合0,1,2,3,4中任取三個不同元素組成一個是偶數(shù)的三位數(shù)這件事需先分類，還是先分步？有多少個不同的結(jié)果？【提示】由于0不能排在百位，

8、而個位必須是偶數(shù).0是否排在個位影響百位與十位的排法，所以完成這件事需按0是否在個位分類進(jìn)展第一類：0在個位，那么百位與十位共A種排法；第二類：0不在個位且不在百位，那么需先從2,4中任選一個排個位再從剩下非零數(shù)字中取一個排百位，最后從剩余數(shù)字中任取一個排十位，共CCC18種不同的結(jié)果，由分類加法原理，完成“這件事共有ACCC30種不同的結(jié)果有5個男生和3個女生，從中選出5人擔(dān)任5門不同學(xué)科的課代表，求分別符合以下條件的選法數(shù)：1有女生但人數(shù)必須少于男生；2某女生一定擔(dān)任語文課代表；3某男生必須包括在內(nèi)，但不擔(dān)任數(shù)學(xué)課代表；4某女生一定要擔(dān)任語文課代表，某男生必須擔(dān)任課代表，但不擔(dān)任數(shù)學(xué)課代表

9、【精彩點撥】1按選中女生的人數(shù)多少分類選取2采用先選后排的方法3先安排該男生，再選出其別人擔(dān)任4科課代表4先安排語文課代表的女生，再安排“某男生課代表，最后選其別人擔(dān)任余下三科的課代表【自主解答】1先選后排，先選可以是2女3男，也可以是1女4男，共有CCCC種，后排有A種，共CCCC·A5 400種2除去該女生后，先選后排，有C·A840種3先選后排，但先安排該男生，有C·C·A3 360種4先從除去該男生、該女生的6人中選3人有C種，再安排該男生有C種，其余3人全排有A種，共C·C·A360種解決排列、組合綜合問題要遵循兩個原那么1

10、按事情發(fā)生的過程進(jìn)展分步2按元素的性質(zhì)進(jìn)展分類解決時通常從以下三個途徑考慮：1以元素為主考慮，即先滿足特殊元素的要求，再考慮其他元素；2以位置為主考慮，即先滿足特殊位置的要求，再考慮其他位置；3先不考慮附加條件，計算出排列或組合數(shù)，再減去不符合要求的排列或組合數(shù)再練一題3某外商方案在四個候選城市投資3個不同的工程，且在同一個城市投資的工程不超過2個，那么該外商不同的投資方案共有A16種B36種C42種D60種【解析】假設(shè)選擇了兩個城市，那么有CCA36種投資方案；假設(shè)選擇了三個城市，那么有CA24種投資方案，因此共有362460種投資方案【答案】D構(gòu)建·體系1某班級要從4名男生、2名

11、女生中選派4人參加某次社區(qū)效勞，假如要求至少有1名女生，那么不同的選派方案種數(shù)為A14B24C28D48【解析】間接法：6人中選派4人的組合數(shù)為C，其中都選男生的組合數(shù)為C.所以致少有1名女生的選派方案有CC14種【答案】A2在1,2,3,4,5這五個數(shù)字所組成的沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)中，其各個數(shù)字之和為9的三位數(shù)共有A6個B9個C12個D18個【解析】由題意知，所求三位數(shù)只能是1,3,5或2,3,4的排列，共有AA12個【答案】C36個人排成一行，其中甲、乙兩人不相鄰的不同排法共有_種用數(shù)字作答. 【導(dǎo)學(xué)號：62690019】【解析】6個人排成一行，其中甲、乙兩人不相鄰的不同排法：排列好甲、乙

12、兩人外的4人，有A種方法，然后把甲、乙兩人插入4個人的5個空位，有A種方法，所以共有：A·A480.【答案】4804將4名大學(xué)生分配到3個鄉(xiāng)鎮(zhèn)去當(dāng)村官，每個鄉(xiāng)鎮(zhèn)至少一名，那么不同的分配方案有_種用數(shù)字作答【解析】有C·C·A36種滿足題意的分配方案其中C表示從3個鄉(xiāng)鎮(zhèn)中任選定1個鄉(xiāng)鎮(zhèn)，且其中某2名大學(xué)生去的方法數(shù)；C表示從4名大學(xué)生中任選2名到上一步選定的鄉(xiāng)鎮(zhèn)的方法數(shù)；A表示將剩下的2名大學(xué)生分配到另2個鄉(xiāng)鎮(zhèn)去的方法數(shù)【答案】365車間有11名工人，其中5名是鉗工，4名是車工，另外兩名老師傅既能當(dāng)車工又能當(dāng)鉗工，如今要在這11名工人里選派4名鉗工，4名車工修理一臺機床，問有多少種選派方法【解】法一：設(shè)A，B代表兩名老師傅A(chǔ)，B都不在內(nèi)的選派方法有：C·C5種；A，B都在內(nèi)且當(dāng)鉗工的選派方法有：C·C·C10種；A，B都在內(nèi)且當(dāng)車工的選派方法有：C·C·C30種；A，B都在內(nèi)，一人當(dāng)鉗工，一人當(dāng)車工的選派方法有：C·A·C·C80種；A，B有一人在內(nèi)且當(dāng)鉗工的選派方法有：C·C·C20種；A，B有一人在內(nèi)且當(dāng)車工的選派方法有：C·C·C40種所以共有C·CC·C·CC·C