第三章離散傅里葉變換DFT（一）

1、Chapter 3 Discrete Fourier-Transform（Part ）l3.1連續(xù)時間信號的傅里葉變換連續(xù)時間信號的傅里葉變換l3.2離散時間序列的傅里葉變換離散時間序列的傅里葉變換（DTFT）l3.3連續(xù)時間信號的抽樣連續(xù)時間信號的抽樣l3.4離散時間周期序列的傅里葉級數(shù)離散時間周期序列的傅里葉級數(shù)（DFS）l周期連續(xù)信號周期連續(xù)信號TtjnndtetfTF0)(1周期信號周期信號f(t)=f(t+nT) ，滿足狄氏條件（有限區(qū)間逐，滿足狄氏條件（有限區(qū)間逐段光滑）時，可展成：段光滑）時，可展成：)2(TtjnnneFtf)(周期信號可分解為直流，基波和各次諧波周期信號可分解

2、為直流，基波和各次諧波（基波角頻率的整數(shù)倍）的線性組合。（基波角頻率的整數(shù)倍）的線性組合。 42coscos2sin1)(ttttftjjee2421tjnnneF2215. 0112. 1211jejF15. 0112. 1211jejF10F4221jeF 4221jeF（雙邊頻譜）（雙邊頻譜）tjej211 1tjej211 tjjee2421l非周期連續(xù)信號傅里葉變換非周期連續(xù)信號傅里葉變換dtetfjFtj)(dejFtftj21)( dttfT)1 ()(0ntjnneFtf)2()(1220TTtjnndtetfTFfnFTnF0010ndtetfTFtjTn)(單位頻帶上的頻譜

3、值單位頻帶上的頻譜值220)(TTtjnndtetfTF)( jF)2(0T周期信號周期信號 非周期信號非周期信號離散譜離散譜 連續(xù)譜，幅度無限小連續(xù)譜，幅度無限小dejFtj)(21dT20T0ntjnnneTTFtf01)(200tjnnneTFTtjnnneTFtf2)(00)( jFTFnT2E SaEj 0,tUet12 tsgn2j1j tU t 1)(tEGl離散序列的傅里葉變換（離散序列的傅里葉變換（DTFT）因此，因此，DTFT也可看作是周期信號也可看作是周期信號X(.)在頻域內(nèi)展成傅里在頻域內(nèi)展成傅里葉級數(shù)，其傅里葉系數(shù)是時域信號葉級數(shù)，其傅里葉系數(shù)是時域信號x(n)。對照

4、以下兩組變換式：對照以下兩組變換式：TtjnndtetfTF0)(1tjnnneFtf)(l例：求以下序列的傅里葉變換例：求以下序列的傅里葉變換解解12(1)( )(3)11(2)( )(1)( )(1)22x nnxnnnn3122(1)()(3)11(2)()( )1221cosjjnjnjjnjjnXeneeXexn eee 解解301(3)()( )1jnj nnj njnnXea u n ea eae343(4)() (3)(4)jj nj nnnXeu nu nee33330101jnjnjnjnnnnneeee431111jjjjjeeeee4334731111111jjjjjj

5、jjjjeeeeeeeeee777422231112227sin()1()211sin()()2jjjjjjjjjeeeeeeeee34(3)( )( ),01(4)( )(3)(4)nx na u nax nu nu nlDTFT基本性質(zhì)基本性質(zhì)序列序列傅里葉變換傅里葉變換x(n)y(n)ax(n)+by(n) a、b為常數(shù) 線性線性x(n-n0 ) 時移時移 x(n) 頻移頻移x*(n)x(-n)x(n)* y(n) 時域卷積定理時域卷積定理0jne0()jnjeXe0()()jnXe()jXe()jY e()()jjaXebY e()jXe()jXe()()jjXeY elDTFT對稱性

6、對稱性lDTFT對稱性對稱性lDTFT對稱性對稱性lDTFT對稱性對稱性l實(shí)序列實(shí)序列DTFT奇、偶、虛、實(shí)對稱性質(zhì)奇、偶、虛、實(shí)對稱性質(zhì)l抽樣原理（抽樣原理（采樣、采樣、sample）周期周期序列序列l(wèi)需要解決的問題需要解決的問題)()()(tstftfs)(*)(21)(jSjFjFs1()*2sF jF jS j 1 ()snSF jnT ()()ssS jn ( )()f tF j( )( )( )() ()ssTssf tf ttf nTtnTf(t)：有限帶寬信號有限帶寬信號s( )( )()Tss tttnT1) 當(dāng)當(dāng)s 2m時，時，F(xiàn)s(j )是是F(j )在不在不同同s倍數(shù)上

7、的重復(fù)與再現(xiàn)，幅值為原值倍數(shù)上的重復(fù)與再現(xiàn)，幅值為原值的的1/Ts 。2) 當(dāng)當(dāng)s2m時，時，F(xiàn)s(j )中出現(xiàn)中出現(xiàn)F(j ) 的的疊加與混合（混迭現(xiàn)象）疊加與混合（混迭現(xiàn)象） 。2ssT1)2sm 2)2sm 3)2sm 即：從即：從 fs(t)中恢復(fù)中恢復(fù)f(t)實(shí)現(xiàn)：低通濾波器實(shí)現(xiàn)：低通濾波器要求低通濾波器要求低通濾波器：()scH jT mcsm 0()t 理想沖激抽樣時理想沖激抽樣時結(jié)論：結(jié)論： 一個周期為N的周期序列，即 其中，k為任意整數(shù)，N為周期； 周期序列不能進(jìn)行Z變換，因?yàn)槠湓?n=-到+都周而復(fù)始永不衰減，即z平面上沒有收斂域。但是，正象連續(xù)時間周期信號可用傅氏級數(shù)表達(dá)

8、，周期序列也可用離散的傅氏級數(shù)來表示，也即用周期為N的正弦序列來表示。 )()(kNnxnx00( )()(1)jktkx tX ke02002200()( )()()()()sssssjknTjknTTst nTkkjknTjnkNTNkkx nTx tX keX keX keX ke)2(0T()sTNT0022()( )ssNX kNTTNX k 是周期的，周期為點(diǎn)的周期序列，取一個周期，并簡記作2. 時域頻域各取一個周期,得到DFT22()210210222111000,()( )()( )( )( )(2)( )( )jnkjn k lNNNNjnkNsksNjnkNkNNNjlnjnkjlnNNNnnkeelx nTX k eNx nTx nx nX k ex n eX k ee 又因?yàn)椋簽槿我庹麛?shù)所以前面的求和可以寫成：上式只能計算出 個獨(dú)立的值，也就是的一個周期，記作則：求反變換作如下運(yùn)算：211()0021()0210210( )0,2,0( )( )1( )( )(3)NNjk l nNknNjk l nNnNjlnNnNjnkNnX keNklNNex n eNX lX kx n eN 由于其它習(xí)慣上將以上的式（習(xí)慣上將以上的式（2），（），（3）中