函數(shù)奇偶性、對稱性與周期性有關(guān)結(jié)論

1、函數(shù)奇偶性、對稱性與周期性奇偶性、對稱性和周期性是函數(shù)的重要性質(zhì)，下面總結(jié)關(guān)于它們的一些重要結(jié)論與運(yùn)用它們解決抽象型函數(shù)的有關(guān)習(xí)題。一、幾個重要的結(jié)論一)函數(shù)y f (x)圖象本身的對稱性(自身對稱)2、f(x)f (2ax)yf (x)的圖象關(guān)于直線 xa對稱。3、f( x)f (2ax)yf (x)的圖象關(guān)于直線xa對稱。4、f (ax) f(bx)yf (x)的圖象關(guān)于直線x(a x) (b x)a b 對稱。2 25、f(ax) f (ax)2by f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a,b)對稱。6、f(x)f (2ax)2by f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a, b)對稱。7、f( x)f (2ax)2

2、by f (x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a,b)對稱。8、f(ax) f(bx)2cyf(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a b c)對稱。 2，二)兩個函數(shù)的圖象對稱性(相互對稱)(利用解析幾何中的對稱曲線軌跡方程理解)1、函數(shù)y f(a x)與y f(a x)圖象關(guān)于直線x 0對稱。2、函數(shù)y f (x)與y f(2a x)圖象關(guān)于直線x a對稱3、函數(shù)y f( x)與y f (2a x)圖象關(guān)于直線x a對稱4、函數(shù)y f (a x)與y f (b x)圖象關(guān)于直線(a x) (b x) 0對稱即直線x對稱25、函數(shù)y f (x)與y6、函數(shù)y f (x)與y7、函數(shù)y f (x)與yf (x)圖象關(guān)于X軸對稱

3、。f ( x)圖象關(guān)于Y軸對稱。f ( x)圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14、(三)函數(shù)的周期性f(xT)f(x)yf (x)的周期為Tf(xa)f (b xb)(a b)y f (x)的周期為f(xa)f(x)yf (x)的周期為T2af(xa)1f(x)yf(x)的周期為T2af(xa)1f(x)yf (x)的周期為T2aT b af(xa)1 f(x)1 f(x)f (x)的周期為T3af(xa)f(x) 1f (x)的周期為T3af(xa)1 f (X)1 f(x)f (x)的周期為T4af(x2a)f (x a)f(x) y f(x)的

4、周期為T6af (x)有兩條對稱軸x a 和 x b( a b) yf(x)周期 T 2(ba)f(x)周期 T 2(b a)f (x)有兩個對稱中心(a,0)和(b,0) yf(x)有一條對稱軸xa和一個對稱中心(b,0) y f (x)周期 T4(b a)奇函數(shù)y f (x)滿足f (ax) f (ax)y f (x)周期 T 4a。偶函數(shù)y f (x)滿足f (ax) f (ax)y f (x)周期 T 2a。、例題講授 例題1(1) yf(x)是定義在實(shí)數(shù)集 R上奇函數(shù)，x 0時，f(x) 2x 1,求y f(x)的 解析式。(2) y f (x)滿足 f(1 x) f(1 x)，x

5、1 時，f (x)2x 1，求 y f (x)的解析式。(3) 奇函數(shù) y f(x)滿足 f(1 x) f (1 x)，2 x 0 時，f(x) 2x 1，求f (log 218)(4) y f(x)滿足 f(1 x) f (1 x) 0，x 1 時，f(x)2x 1，求 y f (x)的 解析式。例題2(1) f (x) ax bsinx 2， f (2)1 求 f( 2)(2) 偶函數(shù)yf(x)定義域?yàn)镽,且恒滿足f(x 2)f(2 x)，假設(shè)方程f(x) 0在0,4上只有三個實(shí)根，且一個根是4，求方程在區(qū)間8,10中的根.2x(3) f(x) ，求 f( 5) f( 4)f (5)f(6

6、)的值例題3(1)設(shè)函數(shù)y f(x)的定義域?yàn)镽,假設(shè)y f(x)的圖象關(guān)于x 1對稱，那么函數(shù)滿足Af (x) f (1 x)B、f (x)f (2 x) 0C f (x 1)f(1 x)D f(1 x) f (1 x)(2) 函數(shù)yf(x 1)與函數(shù)yf(1 x)的圖象關(guān)于關(guān)于 對稱(3) 函數(shù)yf(x 1)和函數(shù)yf(1 x)的圖象關(guān)于關(guān)于 對稱(4) 設(shè)函數(shù)y f(x)的定義域?yàn)镽,且滿足f(x 1)f(1 x)，那么y f(x 1)的圖(5)設(shè)函數(shù) y f (x)的定義域?yàn)?R,那么以下命題中，假設(shè)y f (x)是偶函數(shù)，那么y f(x 2)圖象關(guān)于y軸對稱；假設(shè)y f(x 2)是偶

7、函數(shù)，那么y f(x)圖象關(guān)于直線 x 2對稱；假設(shè)f(x 2) f(2 x)，那么函數(shù)y f(x)圖象關(guān)于直線 x 2對稱； y f(x 2)與y f(2 x)圖象關(guān)于直線x 2對稱，其中正確命題序號為 。例題512、 設(shè)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，其圖像關(guān)于直線x=1對稱，對任意Xi,X2 0,-，都2有 f(x i+X2)=f(x 1) f(x 2)，且 f(1)=a0。11(1) 求f(丄)與f(丄)24(2) 證明f(x)是周期函數(shù)1 (3) 記 an=f(2n+ ),求證：an=a2n2n三、自我檢測1、如果函數(shù)f(x) = X2+ bx + c對任意實(shí)數(shù)t都有f(2 + t)

8、= f(2 t),那么A.f(2) V f(1) V f(4)B.f(1) V f(2) V f(4)C.f(2) V f(4) V f(1) D.f(4) V f(2) V f(1)3、 如果奇函數(shù)f(x)在區(qū)間3 , 7上是增函數(shù)且最小值為5,那么f(x)在區(qū)間7, 3 上是A.增函數(shù)且最小值為5B.增函數(shù)且最大值為5C.減函數(shù)且最小值為-5D.減函數(shù)且最大值為-54、 F(x) = 1 + Jf(x) , (x豐0)是偶函數(shù)，且f(x)不恒等于0,那么f(x)2x 1A.是奇函數(shù)B是偶函數(shù) C.可能是奇函數(shù)也可能是偶函數(shù)D.不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)5、設(shè) f(x)是(一8,8 )上的奇函數(shù)，f(x + 2) = f(x)，當(dāng) 0W x 1, f(x) = x,那么 f(7.5)=()A.0.5B. 0.5C.1.5D. 1.56、 設(shè)f(x)是定義在(8,+8)上的函數(shù)，對一切 x R均有f(x)+f(x+