第2章 5 第2課時 離散型隨機變量的方差

1、.第2課時離散型隨機變量的方差1理解離散型隨機變量的方差的意義重點2能計算簡單離散型隨機變量的方差，并能解決一些實際問題難點根底·初探教材整理離散型隨機變量的方差的概念閱讀教材P61P62“習(xí)題25以上部分，完成以下問題1離散型隨機變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差1方差DX_.2標(biāo)準(zhǔn)差為_【答案】1EXEX222方差的性質(zhì)DaXb_.【答案】a2DX3方差的意義方差可用來衡量X與EX的_，方差越小，那么隨機變量的取值就越_；方差越大，那么隨機變量的取值就越_【答案】平均偏離程度集中在其均值周圍分散1判斷正確的打“，錯誤的打“×1離散型隨機變量的方差越大，隨機變量越穩(wěn)定2假設(shè)X是常數(shù)，那么

2、DX0.3假設(shè)DX0，那么X是常數(shù)4假如X是離散型隨機變量，Y3X2，那么DY9DX.【答案】1×2342隨機變量X的分布列是X123PX0.40.20.4那么DX等于A0B0.8C1D2【解析】EX1×0.42×0.23×0.42，DX0.4×1220.2×2220.4×3220.8.【答案】B質(zhì)疑·手記預(yù)習(xí)完成后，請將你的疑問記錄，并與“小伙伴們討論交流：疑問1：解惑：疑問2：解惑：小組合作型求離散型隨機變量的方差編號為1,2,3的三位學(xué)生隨意入座編號為1,2,3的三個座位，每位學(xué)生坐一個座位，設(shè)與座位編號一樣

3、的學(xué)生的人數(shù)是，求E和D.【精彩點撥】首先確定的取值，然后求出的分布列，進(jìn)而求出E和D的值【自主解答】的所有可能取值為0,1,3，0表示三位學(xué)生全坐錯了，有2種情況，即編號為1,2,3的座位上分別坐了編號為2,3,1或3,1,2的學(xué)生，那么P0；1表示三位學(xué)生只有1位學(xué)生坐對了，那么P1；3表示三位學(xué)生全坐對了，即對號入座，那么P3.所以，的分布列為013PE0×1×3×1；D×012×112×3121.求離散型隨機變量的方差的類型及解決方法1分布列型超幾何分布或二項分布：直接利用定義求解，詳細(xì)如下：1求均值；2求方差2分布列是超幾何

4、分布或二項分布型：直接套用公式求解，詳細(xì)如下，1假設(shè)X服從超幾何分布，那么DXn·.2假設(shè)XBn，p，那么DXnp1p3未知分布列型：求解時可先借助條件及概率知識求得分布列，然后轉(zhuǎn)化成1中的情況4對于DX求DaXb型，利用方差的性質(zhì)求解，即利用DaXba2DX求解再練一題1有10張卡片，其中8張標(biāo)有數(shù)字2,2張標(biāo)有數(shù)字5，從中隨機地抽取3張卡片，設(shè)3張卡片數(shù)字之和為，求E和D.【解】這3張卡片上的數(shù)字之和為，這一變量的可能取值為6,9,12.6表示取出的3張卡片上均標(biāo)有2，那么P6.9表示取出的3張卡片上兩張標(biāo)有2，一張標(biāo)有5，那么P9.12表示取出的3張卡片上一張標(biāo)有2，兩張標(biāo)有5

5、，那么P12.的分布列為6912PE6×9×12×7.8.D67.82×97.82×127.82×3.36.二項分布的方差為防止風(fēng)沙危害，某地決定建立防護(hù)綠化帶，種植楊樹、沙柳等植物某人一次種植了n株沙柳，各株沙柳的成活與否是互相獨立的，成活率為p，設(shè)為成活沙柳的株數(shù)，數(shù)學(xué)期望E為3，方差D為.1求n和p的值，并寫出的分布列；2假設(shè)有3株或3株以上的沙柳未成活，那么需要補種求需要補種沙柳的概率【精彩點撥】1利用二項分布的期望與方差計算公式求解2利用互斥事件的概率計算公式求解【自主解答】由題意知，服從二項分布Bn，p，PkCpk1pnk

6、，k0,1，n.1由Enp3，Dnp1p，得1p，從而n6，p.的分布列為0123456P2記“需要補種沙柳為事件A，那么PAP3，得PA，或PA1P>31.所以需要補種沙柳的概率為.對于變量間存在關(guān)系的方差，在求解過程中應(yīng)注意方差性質(zhì)的應(yīng)用，如D(ab)a2D，這樣處理既防止了求隨機變量ab的分布列，又防止了繁雜的計算，簡化了計算過程.再練一題21隨機變量X服從二項分布，即XBn，p，且EX7，DX6，那么p等于A.B.C. D.【解析】np7且np1p6，解得1p，p.【答案】A2的分布列為：010205060P求方差；設(shè)Y2E，求DY.【解】E0×10×20&#

7、215;50×60×16，D0162×10162×20162×50162×60162×384.Y2E，DYD2E22D4×3841 536.探究共研型均值、方差的綜合應(yīng)用探究1A，B兩臺機床同時加工零件，每消費一批數(shù)量較大的產(chǎn)品時，出次品的概率如下表：A機床次品數(shù)X10123P0.70.20.060.04B機床次品數(shù)X20123P0.80.060.040.10試求EX1，EX2.【提示】EX10×0.71×0.22×0.063×0.040.44.EX20×0.81&

8、#215;0.062×0.043×0.100.44.探究2在探究1中，由EX1EX2的值能比較兩臺機床的產(chǎn)品質(zhì)量嗎？為什么？【提示】不能因為EX1EX2.探究3在探究1中，試想利用什么指標(biāo)可以比較A，B兩臺機床加工質(zhì)量？【提示】利用樣本的方差方差越小，加工的質(zhì)量越穩(wěn)定甲、乙兩名射手在一次射擊中得分為兩個互相獨立的隨機變量，甲、乙兩名射手在每次射擊中射中的環(huán)數(shù)大于6環(huán)，且甲射中10,9,8,7環(huán)的概率分別為0.5,3a，a,0.1，乙射中10,9,8環(huán)的概率分別為0.3,0.3,0.2.1求，的分布列；2求，的數(shù)學(xué)期望與方差，并以此比較甲、乙的射擊技術(shù)【精彩點撥】1由分布列的

9、性質(zhì)先求出a和乙射中7環(huán)的概率，再列出，的分布列2要比較甲、乙兩射手的射擊程度，需先比較兩射手擊中環(huán)數(shù)的數(shù)學(xué)期望，然后再看其方差值【自主解答】1由題意得：0.53aa0.11，解得a0.1.因為乙射中10,9,8環(huán)的概率分別為0.3,0.3,0.2.所以乙射中7環(huán)的概率為10.30.30.20.2.所以，的分布列分別為10987P0.50.30.10.110987P0.30.30.20.22由1得：E10×0.59×0.38×0.17×0.19.2；E10×0.39×0.38×0.27×0.28.7；D109.22

10、×0.599.22×0.389.22×0.179.22×0.10.96；D108.72×0.398.72×0.388.72×0.278.72×0.21.21.由于E>E，D<D，說明甲射擊的環(huán)數(shù)的均值比乙高，且成績比較穩(wěn)定，所以甲比乙的射擊技術(shù)好利用均值和方差的意義分析解決實際問題的步驟1比較均值離散型隨機變量的均值反映了離散型隨機變量取值的平均程度，因此，在實際決策問題中，需先計算均值，看一下誰的平均程度高2在均值相等的情況下計算方差方差反映了離散型隨機變量取值的穩(wěn)定與波動、集中與離散的程度通過計算方

11、差，分析一下誰的程度發(fā)揮相對穩(wěn)定3下結(jié)論根據(jù)方差的幾何意義做出結(jié)論再練一題3甲、乙兩個野生動物保護(hù)區(qū)有一樣的自然環(huán)境，且野生動物的種類和數(shù)量也大致相等兩個保護(hù)區(qū)內(nèi)每個季度發(fā)現(xiàn)違背保護(hù)條例的事件次數(shù)的分布列分別為：甲保護(hù)區(qū)：X0123P0.30.30.20.2乙保護(hù)區(qū)：Y012P0.10.50.4試評定這兩個保護(hù)區(qū)的管理程度【解】甲保護(hù)區(qū)的違規(guī)次數(shù)X的數(shù)學(xué)期望和方差分別為：EX0×0.31×0.32×0.23×0.21.3；DX01.32×0.311.32×0.321.32×0.231.32×0.21.21.乙保護(hù)區(qū)

12、的違規(guī)次數(shù)Y的數(shù)學(xué)期望和方差分別為：EY0×0.11×0.52×0.41.3；DY01.32×0.111.32×0.521.32×0.40.41.因為EXEY，DX>DY，所以兩個保護(hù)區(qū)內(nèi)每季度發(fā)生的平均違規(guī)次數(shù)是一樣的，但乙保護(hù)區(qū)內(nèi)的違規(guī)事件次數(shù)更集中和穩(wěn)定，而甲保護(hù)區(qū)的違規(guī)事件次數(shù)相對分散，故乙保護(hù)區(qū)的管理程度較高構(gòu)建·體系1設(shè)一隨機試驗的結(jié)果只有A和，且PAm，令隨機變量那么的方差D等于AmB2m1mCmm1Dm1m【解析】隨機變量的分布列為：01P1mmE0×1m1×mm.D0m2×

13、;1m1m2×mm1m【答案】D2隨機變量XY8，假設(shè)XB10,0.6，那么EY，DY分別是A6和2.4B2和2.4C2和5.6D6和5.6【解析】由隨機變量XY8，所以有Y8X.因此，求得EY8EX810×0.62，DY12DX10×0.6×0.42.4.【答案】B3有兩臺自動包裝機甲與乙，包裝質(zhì)量分別為隨機變量X1，X2，EX1EX2，DX1>DX2，那么自動包裝機_的質(zhì)量較好. 【導(dǎo)學(xué)號：62690044】【解析】因為EX1EX2，DX1>DX2，故乙包裝機的質(zhì)量穩(wěn)定【答案】乙4離散型隨機變量X的分布列如下表：X1012Pabc假設(shè)EX0，DX1，那么a_，b_.【解析】由題意，解得a，bc.【答案】5某運發(fā)動投籃命中率p0.6，1求一次投籃命中次數(shù)的均值與方差；2求重復(fù)5次