自動控制原理習題詳解1

1、自動控制原理習題詳解（上冊）配合自動控制原理夏超英主編，科學出版社。第一章 習題解答1-1什么是開環(huán)控制系統(tǒng)？什么是閉環(huán)控制系統(tǒng)？比較開環(huán)控制系統(tǒng)和閉環(huán)控制系統(tǒng)的不同，說明各自的優(yōu)缺點。答：在開環(huán)控制系統(tǒng)中，信號從控制器到執(zhí)行機構再到被控對象單方向傳遞，輸出量不對控制作用產(chǎn)生影響。開環(huán)控制系統(tǒng)結構簡單，成本低，但無法克服被控對象變化和擾動對輸出的影響。在閉環(huán)控制系統(tǒng)中，被控對象的輸出反方向被引到控制系統(tǒng)的輸入端，信號沿前向通路和反饋通路閉路傳輸，控制量不僅與參考輸入有關，還與輸出有關，即根據(jù)參考輸入和系統(tǒng)輸出之間的偏差進行控制。閉環(huán)控制系統(tǒng)需要對輸出量進行測量，存在穩(wěn)定性設計問題，較開環(huán)控制系

2、統(tǒng)復雜，但可以有效地克服被控對象變化和擾動對輸出的影響。1-2日常生活中反饋無處不在。人的眼、耳、鼻和各種感覺、觸覺器官都是起反饋作用的器官。試以駕車行駛和伸手取物過程為例，說明人的眼、腦在其中所起的反饋和控制作用。答：在駕車行駛和伸手取物過程的過程中，人眼和人腦的作用分別如同控制系統(tǒng)中的測量反饋裝置和控制器。在車輛在行駛過程中，司機需要觀察道路和行人情況的變化，經(jīng)大腦處理后，不斷對駕駛動作進行調(diào)整，才能安全地到達目的地。同樣，人在取物的過程中，需要根據(jù)觀察到的人手和所取物體間相對位置的變化，調(diào)整手的動作姿勢，最終拿到物體?？梢韵胂竺缮想p眼取物的困難程度，即使物體的方位已知。1-3 水箱水位控

3、制系統(tǒng)的原理圖如圖1-12所示，圖中浮子杠桿機構的設計使得水位達到設定高度時，電位器中間抽頭的電壓輸出為零。描述圖1-12所示水位調(diào)節(jié)系統(tǒng)的工作原理，指出系統(tǒng)中的被控對象、輸出量、執(zhí)行機構、測量裝置、給定裝置等。圖1-12 水箱水位控制系統(tǒng)原理圖答：當實際水位和設定水位不相等時，電位器滑動端的電壓不為零，假設實際水位比設定水位低，則電位器滑動端的電壓大于零，誤差信號大于零（），經(jīng)功率放大器放大后驅(qū)動電動機旋轉(zhuǎn)，使進水閥門開度加大，當進水量大于出水量時（），水位開始上升，誤差信號逐漸減小，直至實際水位與設定水位相等時，誤差信號等于零，電機停止轉(zhuǎn)動，此時，因為閥門開度仍較大，進水量大于出水量，水位

4、會繼續(xù)上升，導致實際水位比設定水位高，誤差信號小于零，使電機反方向旋轉(zhuǎn)，減小進水閥開度。這樣，經(jīng)反復幾次調(diào)整后，進水閥開度將被調(diào)整在一適當?shù)奈恢?，進水量等于出水量，水位維持在設定值上。在圖1-12所示水位控制系統(tǒng)中，被控對象是水箱，系統(tǒng)輸出量水位高，執(zhí)行機構是功率放大裝置、電機和進水閥門，測量裝置浮子杠桿機構，給定和比較裝置由電位器來完成。1-4 工作臺位置液壓控制系統(tǒng)如圖1-13所示，該系統(tǒng)可以使工作臺按照給定電位器設定的規(guī)律運動。描述圖1-13所示工作臺位置液壓控制系統(tǒng)的工作原理，指出系統(tǒng)中的被控對象、被控量、執(zhí)行機構、給定裝置、測量裝置等。圖1-13 工作臺位置液壓控制系統(tǒng)答：當給定電位

5、器的角度（電壓）和反饋電位器的角度（電壓）不同時，誤差電壓經(jīng)過放大器放大去驅(qū)動電磁閥，并帶動滑閥移動。以給定電位器的電壓大于反饋電位器的電壓為例，設在正的誤差電壓作用下，電磁閥帶動滑閥相對圖1-13所示的平衡位置向右移動，高壓油進入到動力油缸的左面，動力油缸活塞右面的油液從回油管路流出，動力油缸活塞在兩邊壓力差的作用下向右運動，誤差逐漸減小到零直至出現(xiàn)負的誤差，滑閥開始向左移動至平衡位置的左側(cè)。這樣，經(jīng)反復幾次調(diào)整后，滑閥回到平衡位置，動力油缸活塞靜止在設定的位置上。1-5 圖1-14的電加熱爐溫度控制系統(tǒng)與圖1-10所示的有所不同，試描述系統(tǒng)的溫度調(diào)節(jié)過程，它能做到加熱爐溫度的無差調(diào)節(jié)嗎，為

6、什么？圖1-14 電加熱爐溫度控制系統(tǒng)答：在圖1-14所示電加熱爐溫度控制系統(tǒng)中，誤差信號經(jīng)過功率放大器放大后，電爐絲放出的熱量與加熱爐散出去的熱量平衡，去維持爐溫不變。當某種原因引起爐溫下降時，誤差信號增大，電爐絲上的電壓升高，電爐絲放出的熱量增加，爐溫誤差向減小的方向變化。與圖1-10所示的電加熱爐溫度控制系統(tǒng)不同，圖1-14所示溫度控制系統(tǒng)不能做到加熱爐溫度的無差調(diào)節(jié)。因為，加熱爐總要散出部分熱量，而功率放大器的放大倍數(shù)是有限的，所以在爐溫穩(wěn)定后，誤差信號總是大于零的。1-6 圖1-15（a）和（b）都是自動調(diào)壓控制系統(tǒng)，圖中發(fā)電機由一原動機帶著恒速旋轉(zhuǎn)，通過改變勵磁電流來改變發(fā)電機的端

7、電壓。設空載時，發(fā)電機的端電壓均為，而當帶上一恒定負載時，發(fā)電機的輸出電流要在其內(nèi)阻上產(chǎn)生壓降，故端電壓會出現(xiàn)一定的電壓降，后經(jīng)系統(tǒng)的調(diào)節(jié)作用，發(fā)電機的端電壓會得到恢復。試問，經(jīng)過調(diào)節(jié)恢復圖（a）和（b）中的哪個系統(tǒng)能保持電壓不變？哪個系統(tǒng)的電壓會稍低于？為什么？（a） （b）圖1-15 自動調(diào)壓控制系統(tǒng)答：圖1-15（a）所示系統(tǒng)能保持電壓不變，圖1-15（b）所示系統(tǒng)的電壓會稍低于。因為，對圖（a）所示系統(tǒng)，給定不變，加載調(diào)整過程完成后，由于電機轉(zhuǎn)速到轉(zhuǎn)角的積分作用，當誤差信號為零電機停止時，會使可調(diào)電阻器的阻值比加載前小，并維持在這一位置上，發(fā)電機的電動勢升高，以抵消負載電流在發(fā)電機內(nèi)阻

8、上的壓降，實現(xiàn)誤差調(diào)節(jié)。而對圖（b）所示系統(tǒng)來說，加載調(diào)整過程完成后，提高電動勢增加勵磁電流必然對應較大的誤差，即系統(tǒng)的輸出電壓會稍低于。1-7 圖1-16為一調(diào)速系統(tǒng)的示意圖。圖中為電樞回路的總電阻、為電樞回路的總電感，勵磁電流恒定。電機空載運行時，一定的設定電壓對應一定的電動機轉(zhuǎn)速。當負載增加時，電樞電流隨之增大，電樞電流在電阻上的壓降會引起電機轉(zhuǎn)速的下降。如圖所示，在電機主回路中串入一個小的采樣電阻來測量電樞電流，用反饋的方法減少電機轉(zhuǎn)速的下降。試問由采樣電阻引入的是電樞電流的正反饋還是負反饋？系統(tǒng)的工作原理如何？圖1-16 調(diào)速系統(tǒng)答：采樣電阻引入的是電樞電流的正反饋，其作用原理為，當

9、負載增加時，電樞電流隨之增大，在電阻上的壓降經(jīng)電壓放大器放大后得到，功率放大器的輸入電壓。這樣，負載增加時，增大，增大引起增大，即電樞電流正反饋的作用使功率放大器的輸出電壓得到提高，以部分補償負載增大引起的轉(zhuǎn)速下降。1-8 圖1-17是谷物濕度控制系統(tǒng)示意圖。在谷物磨粉的生產(chǎn)過程中，有一個最佳的出粉濕度，因此磨粉之前要給谷物加水，以得到希望的濕度。圖中，谷物輸送裝置按一定流量通過加水點，加水量用自動閥門控制。在加水過程中，谷物流量、加水前谷物濕度以及水壓都是對谷物濕度控制的擾動作用。為了提高控制精度，系統(tǒng)中采用了加水前谷物濕度擾動的補償控制和谷物濕度的反饋控制，試畫出系統(tǒng)的框圖。1-17 谷物

10、濕度控制系統(tǒng)解：系統(tǒng)框圖如下圖所示。1-9張力控制系統(tǒng)如圖1-18所示，它可以使輸送帶上各處的速度一致。如圖中所示，輸送帶左邊前一個分部用的是速度反饋控制，輸送帶右邊后一個分部用的是張力反饋控制。試說明當速度主給定發(fā)生變化時，該系統(tǒng)是如何通過張力控制來使得速度跟隨的變化的？后一個分部用張力反饋控制的好處是什么？1-18 張力控制系統(tǒng)答：當速度主給定發(fā)生變化時，命令信號同時給到前面一個分部和后面一個分部，在測速反饋作用下，前面一個分部的轉(zhuǎn)速跟隨指令發(fā)生變化，前面一個分部也同樣。由于前后分部參數(shù)和性能上總存在差異，無論動態(tài)下還是靜態(tài)下都不可能做到絕對的同步，這種不同步的影響累計起來會被后一個分布的

11、張力測量環(huán)節(jié)測知。當張力小于設定值時，后一個分布會適當增加速度，反之會減小速度，以使得兩個分部間轉(zhuǎn)速微小偏差的影響不會被累加起來，兩個分部的平均速度精確地相等。1-10晶體管穩(wěn)壓電路如圖1-19所示，圖中是輸入電壓，它在一定范圍內(nèi)變化，是輸出電壓，輸出電壓的穩(wěn)壓值由分壓電阻、和穩(wěn)壓二極管的參數(shù)決定。試分別說明輸入電壓和負載電阻發(fā)生變化時，晶體管穩(wěn)壓電路的穩(wěn)壓過程和工作原理。1-19 晶體管穩(wěn)壓電路答：輸入電壓發(fā)生變化時，以輸入電壓升高為例，圖1-19所示晶體管穩(wěn)壓電路的穩(wěn)壓過程如下：輸入電壓升高，帶動輸出電壓也升高，晶體管的基極電流增加，晶體管的基電極電流增加，晶體管的基極電流減小，晶體管上的

12、壓降增加，輸出電壓的升高得到抑制。這是一個反饋過程，只要這種反饋作用足夠強，就可以將輸出電壓穩(wěn)定在一定范圍內(nèi)。負載電阻發(fā)生變化時，以負載電阻減小為例，圖1-19所示晶體管穩(wěn)壓電路的穩(wěn)壓過程如下：負載電阻減小，負載電流加大，晶體管上的壓降增加導致輸出電壓降低。輸出電壓降低，晶體管的基極電流減小，晶體管的基電極電流減小，晶體管的基極電流增大，晶體管上的壓降減小，輸出電壓的降低得到抑制。1-11工人工資的增加，經(jīng)過一段時間以后會導致物價的上漲，物價的上漲又帶生活費用的提高，為保證工人的生活質(zhì)量，就需要進一步提高工資。這是一個正反饋過程。增加存款的利率和刺激消費哪個可以減緩物價的上漲速度？為什么？國家

13、的工資、物價和稅收政策是怎樣影響這個反饋系統(tǒng)的？答：增加存款利率會抑制消費，可以減緩物價的上漲速度，降低勞動力成本。反之，刺激消費，會加速物價的上漲，增加勞動力成本。提高工資會刺激消費和加快物價的上漲速度，加快經(jīng)濟的發(fā)展，但也會引發(fā)過渡投機，惡化投資環(huán)境。通過稅收和物價政策的調(diào)整，可以有效抑制在經(jīng)濟發(fā)展過程中的不良投資傾向，改善投資環(huán)境。1-12 總起來說，人們總會優(yōu)先選擇報酬高的職業(yè)，但任何一個職業(yè)的報酬都將隨上崗人數(shù)的增加而降低。請用社會反饋機制來討論經(jīng)濟參與者之間的競爭問題。以某行業(yè)的社會需求人數(shù)為輸入，以流入該行業(yè)的實際職工人數(shù)為輸出，繪制系統(tǒng)的框圖，這是一個負反饋過程還是一個正反饋過

14、程？解：系統(tǒng)的框圖如下圖，這是一個負反饋過程。1-13為改善系統(tǒng)的控制性能，需要從諸如控制策略、執(zhí)行器功率和性能、檢測環(huán)節(jié)的精度、對被控對象的改造等方面同時入手。片面強調(diào)或不適當?shù)赝怀瞿骋环矫嫱_不到預期的效果。那么，具體到某一方面，他們可能受到的限制是什么？請分別說明。答：控制策略的改進受到理論研究成果、算法的復雜程度及軟硬件成本的限制，一般來說越精確和高性能的控制算法對對象模型精度的要求也越高，對環(huán)境要求也越苛刻。快和穩(wěn)在系統(tǒng)設計中是一對矛盾，響應速度的提高往往給系統(tǒng)穩(wěn)定性的設計帶來大的負擔，同時所需執(zhí)行器的功率和能量損耗損耗也大，設備的磨損也多。高的控制精度與測量裝置的精度密切相關，但

15、高精密高性能的傳感器會增加系統(tǒng)的成本。總之，設計中應該根據(jù)實際需求，綜合考慮性能、系統(tǒng)成本、使用成本、可靠性等多種制約因素，不能片面追求高性能。1-14用一句話概括一下控制理論的內(nèi)容，然后再給出一個進一步的闡述。答：控制理論研究的內(nèi)容是控制系統(tǒng)的分析與綜合問題。經(jīng)典控制理論研究的是單輸入單輸出反饋控制系統(tǒng)的分析與綜合問題，以傳遞函數(shù)描述為基礎，主要有時域和頻域兩種方法，主要適用于單輸入單輸出線性定常系統(tǒng)。現(xiàn)代控制理論研究的是多輸入多輸出、復雜控制系統(tǒng)的分析與綜合問題，以狀態(tài)空間描述為基礎，主要是時域法，借住計算機求解，適用于多輸入多輸出、線性或非線性、確定性系統(tǒng)或有隨機擾動輸入的系統(tǒng)。第三章

16、習題解答3-1已知系統(tǒng)特征方程為試用勞斯判據(jù)和胡爾維茨判據(jù)確定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：（1）勞斯判據(jù)： 第一列中有兩次符號變化，系統(tǒng)不穩(wěn)定。（2）胡爾維茲判據(jù)：特征方程的系數(shù)全部為正，只需計算奇次階的胡爾維茲行列式，故系統(tǒng)不穩(wěn)定。3-2已知系統(tǒng)特征方程如下，試求系統(tǒng)在右半平面根的個數(shù)和虛根值。（1）（2）（3）解：（1）計算老斯表如下對應的一行全為零，應用其上一行的系數(shù)組成輔助方程，輔助方程對求導數(shù)得到。將求導后的方程的系數(shù)取代全為零的行的系數(shù)，繼續(xù)將勞斯表計算下去，得到第一列無變號，沒有根在右半平面，用輔助方程求得系統(tǒng)的虛根為。（b）計算老斯表如下對應的一行全為零，應用其上一行的系數(shù)組成輔助方程，

17、輔助方程對求導數(shù)得到。將求導后的方程的系數(shù)取代全為零的行的系數(shù)，繼續(xù)將勞斯表計算下去，得到第一列變號兩次，有2個根在右半平面。輔助方程由此求得系統(tǒng)6個特征根中的4個根（其中包括1對共軛虛根）為，（c）計算勞斯表如下對應的一行全為零，應用其上一行的系數(shù)組成輔助方程，輔助方程對求導數(shù)得到。將求導后的方程的系數(shù)取代全為零的行的系數(shù)，繼續(xù)將勞斯表計算下去，得到第一列無變號，沒有根在右半平面，用輔助方程求得系統(tǒng)的虛根為。3-3已知單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試確定系統(tǒng)穩(wěn)定時的取值范圍。解：閉環(huán)傳遞函數(shù)為系統(tǒng)的特征方程為計算由勞斯表如下得到方程組即有的到解為所求。3-4系統(tǒng)如圖3.53所示，試用勞斯穩(wěn)定判

18、據(jù)確定系統(tǒng)穩(wěn)定時的取值范圍。圖3.53 習題3-4圖解：系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為系統(tǒng)的特征方程為根據(jù)胡爾維茨判據(jù)，系統(tǒng)穩(wěn)定的條件為得到即為所求。3-5系統(tǒng)如圖3.54所示，試應用勞斯判據(jù)確定系統(tǒng)穩(wěn)定時比例-積分控制器增益、的取值范圍，并給出圖示。圖3.54 習題3-5圖解：系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為特征方程為根據(jù)胡爾維茨判據(jù)，系統(tǒng)穩(wěn)定的條件為即、的取值范圍如下圖所示，為斜線上方與軸所夾區(qū)域。3-6質(zhì)量彈簧系統(tǒng)如圖3.55所示，圖中為彈簧的彈性系數(shù)，為阻尼器的摩擦系數(shù)，為質(zhì)量塊的質(zhì)量，為外力，以時重力作用下質(zhì)量塊的平衡位置為位移的原點。（a）設在單位階躍外力作用下，質(zhì)量塊的穩(wěn)態(tài)位移為，系統(tǒng)的無阻尼自然振蕩頻

19、率，阻尼比，求系統(tǒng)參數(shù)、。（b）求階躍輸入下系統(tǒng)的動態(tài)響應指標、（按誤差計算）和。圖3.55 習題3-6圖解：（a）根據(jù)牛頓力學第二定律有得系統(tǒng)的輸入輸出微分方程描述為傳遞函數(shù)描述為令，得，。單位階躍（1牛頓力）輸入下，質(zhì)量塊穩(wěn)態(tài)下的位移是（米）。由此得到，。（b）階躍輸入下系統(tǒng)的動態(tài)響應指標3-7設單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試求系統(tǒng)在單位階躍輸入下的動態(tài)性能。解：系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為根據(jù)帶零點二階系統(tǒng)階躍響應性能指標的計算公式，有，。3-8已知二階系統(tǒng)的單位階躍響應為試求系統(tǒng)的超調(diào)量，峰值時間和調(diào)節(jié)時間。解：將與標準二階系統(tǒng)的階躍響應表達式相比較有，。于是有3-9已知控制系統(tǒng)的單位階躍響應

20、為試確定系統(tǒng)的阻尼比和自然振蕩頻率。解：取階躍響應的拉氏變換得到系統(tǒng)輸入為，得系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為于是得，。3-10已知控制系統(tǒng)的單位階躍響應為（a）求該系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。（b）利用峰值時間及超調(diào)量的定義求該系統(tǒng)在零初值條件下，單位階躍響應的峰值時間和超調(diào)量。解：（a）求輸出的拉氏變換為系統(tǒng)輸入為，得系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為（b）根據(jù)峰值時間的定義，階躍響應求時間的導數(shù)有即有，解得超調(diào)量為3-11圖3.56是簡化的飛行控制系統(tǒng)結構圖，試選擇參數(shù)和，使系統(tǒng)的、。圖3.56 習題3-11圖解：系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為令得，。3-12試分別求出圖3.57所示各系統(tǒng)的自然振蕩頻率和阻尼比，并比較其性能。 （a） （b）

21、 （c）圖3.57 習題3-12圖（a）系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為于是有，（b）系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為為有零點的二階系統(tǒng)，。根據(jù)有零點的二階系統(tǒng)性能指標的計算公式有（c）系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為于是有，秒，3-13某直流電動機的運動方程為設其中，。（a）問時，電動機的穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)速是多少？（b）引入位置反饋，即為比例調(diào)節(jié)器的增益，若希望，求的取值。解：（a）將已知參數(shù)帶入微分方程得以轉(zhuǎn)速為輸出即得到傳遞函數(shù)所以，輸入等于時穩(wěn)態(tài)輸出轉(zhuǎn)速為（b）引入位置反饋后系統(tǒng)方程變?yōu)榧聪到y(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為從設計要求，得，從，得，從，得。3-14設3階系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為其單位階躍響應為式中（a）當較大時，給出和的估值，中的哪一

22、項起主要作用？系統(tǒng)的響應特性如何？（b）當較小時，給出和的估值，中的哪一項起主要作用？系統(tǒng)的響應特性如何？解：（a）當較大時，動態(tài)分量中的第2項起主要作用，系統(tǒng)的響應特性趨于典型二階系統(tǒng)的響應特性。（b）當較小時，動態(tài)分量中的第1項起主要作用，系統(tǒng)的響應特性趨于典型一階系統(tǒng)的響應特性。3-15系統(tǒng)框圖如圖3.58所示。圖3.58 習題3-15圖（a）試確定使系統(tǒng)穩(wěn)定時，和應滿足的條件。（b）當，求使，寫出此時系統(tǒng)單位階躍響應的表達式。（c）對使系統(tǒng)穩(wěn)定的和，寫出在作用下系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差的表達式。解：（a）閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為系統(tǒng)穩(wěn)定時應滿足即，。（b）時系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為，由題知，得。此時系統(tǒng)的

23、單位階躍響應為（c）系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為可知位置誤差系數(shù)，速度誤差系數(shù)，加速度誤差系數(shù)，于是有3-16設控制系統(tǒng)如圖3.59所示。（a）取，計算測速反饋作用下系統(tǒng)的超調(diào)量、調(diào)節(jié)時間和速度誤差系數(shù)。（b）取，計算比例微分作用下系統(tǒng)的超調(diào)量、調(diào)節(jié)時間和速度誤差系數(shù)。圖3.59 習題3-16圖解：（a），時，等價的單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為從而有，。所以有從等價的單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)得速度誤差系數(shù)。（2），時，等價的單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為是有零點的二階系統(tǒng)，。從等價的單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)，系統(tǒng)的速度誤差系數(shù)。3-17已知單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)（a）（b）（

24、c）試求輸入分別為和時，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。解：（a）閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為，各項系數(shù)大于零，系統(tǒng)穩(wěn)定。從開環(huán)傳遞函數(shù)有，輸入為和時的穩(wěn)態(tài)誤差都為。（b）閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為，各系數(shù)大于零，且，系統(tǒng)穩(wěn)定。從開環(huán)傳遞函數(shù)有，輸入為時穩(wěn)態(tài)誤差，輸入為時穩(wěn)態(tài)誤差都為。（c）閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為，由勞斯判據(jù)知系統(tǒng)穩(wěn)定。從開環(huán)傳遞函數(shù)有，輸入為時穩(wěn)態(tài)誤差，輸入為時穩(wěn)態(tài)誤差都為。3-18已知單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)（a）（b）（c）試求位置誤差系數(shù)，速度誤差系數(shù)和加速度誤差系數(shù)。解：（a），。（b），。（c），。3-19設控制系統(tǒng)如圖3.60所示，圖中，輸入以及擾動和均為單位階躍函數(shù)。試求（a）在作用下系統(tǒng)的

25、穩(wěn)態(tài)誤差；（b）在作用下系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差；（c）在和同時作用下系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。圖3.60 習題3-19圖解：（a）系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)有2個積分環(huán)節(jié)，在系統(tǒng)穩(wěn)定的條件下，對階躍輸入的穩(wěn)態(tài)誤差為零。（b）系統(tǒng)從誤差到擾動作用點之間的傳遞函數(shù)為，有1個積分環(huán)節(jié)，在系統(tǒng)穩(wěn)定的條件下，在階躍擾動輸入作用下的穩(wěn)態(tài)誤差為零。（c）系統(tǒng)從誤差到擾動作用點之間的傳遞函數(shù)為，有1個積分環(huán)節(jié)，從誤差到擾動作用點之間的傳遞函數(shù)為，有2個積分環(huán)節(jié)，在系統(tǒng)穩(wěn)定的條件下，在階躍擾動輸入和作用下的穩(wěn)態(tài)誤差為零。3-20設隨動系統(tǒng)的微分方程為 其中，、和為正常數(shù)。若要求時，的穩(wěn)態(tài)誤差不大于正常數(shù)，試問應滿足什么條件？。解：畫出系

26、統(tǒng)方框圖如下圖所示。求出系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為系統(tǒng)穩(wěn)定的條件為系統(tǒng)的速度誤差系數(shù)按設計要求，時的穩(wěn)態(tài)誤差即綜上，得到參數(shù)應滿足的條件為3-21二階反饋控制系統(tǒng)如圖3.61所示。圖3.61 習題3-21圖（a）將系統(tǒng)等效于一個單位反饋系統(tǒng)，求對應的開環(huán)傳遞函數(shù)。（b）若定義系統(tǒng)的誤差為，問當取何值時系統(tǒng)對單位階躍輸入無靜差？計算這時系統(tǒng)的上升時間、調(diào)節(jié)時間（誤差按計算）和超調(diào)量。解：（a）系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為構造一單位反饋系統(tǒng)，有上面相同的閉環(huán)傳遞函數(shù)，根據(jù)單位反饋系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)和閉環(huán)傳遞函數(shù)之間的關系，單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為（b）誤差定義為，則系統(tǒng)對單位階躍輸入無靜差

27、要求至少包含1個積分環(huán)節(jié)，這可以令得到，故得。時系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為即，于是有系統(tǒng)的上升時間調(diào)節(jié)時間超調(diào)量3-22考慮圖3.62所示的系統(tǒng)。（a）試求從參考輸入到誤差之間的傳遞函數(shù)。（b）設系統(tǒng)在形式為的參考輸入下，穩(wěn)態(tài)誤差為零，試給出、應該滿足的條件。圖3.62 習題3-22圖解：（a）從參考輸入到誤差之間的傳遞函數(shù)為系統(tǒng)在的參考輸入下，穩(wěn)態(tài)誤差為零的條件為，同時閉環(huán)特征方程的所有根都穩(wěn)定。3-23圖3.63為擾動作用下控制系統(tǒng)的典型方框圖。圖3.63 習題3-23圖圖中，、為被控對象固有的傳遞函數(shù)，為作用于其上的擾動，為作用于反饋通道的高頻測量噪聲?？刂破鞯脑O計保證系統(tǒng)是穩(wěn)定的，試證明下面

28、的事實：（a）設，在典型擾動輸入的作用下，穩(wěn)態(tài)誤差的充分必要條件是，多項式的積必須包含典型擾動輸入的分母多項式作為它的一個因子。（b）要使擾動作用下引起的動態(tài)誤差小，控制器應該有足夠大的增益。解：（a）設，典型擾動輸入作用下的誤差為為典型輸入擾動，它的分母多項式的根全在原點或虛軸上，要穩(wěn)態(tài)誤差，多項式必須與的分母多項式相消。（b）從的上述表達式容易看出，時，與成比例，所以，要使擾動作用下的動態(tài)誤差小，控制器就應該有足夠大的增益。3-24圖3.64所示為史密斯給出的預測控制方法，圖中為有延時環(huán)節(jié)的被控對象。首先在被控對象無延時的假設下，根據(jù)設計一個適當?shù)目刂破鳌Ｈ缓笤O計控制器如圖中所示，它等于虛

29、線框中的小閉環(huán)的傳遞函數(shù)。求系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)，并對系統(tǒng)的性能進行分析。圖3.64 習題3-24圖解：系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為從系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)可以看出，在被控對象的傳遞函數(shù)及時間延遲準確已知的條件下，按照上面給出的設計步驟得到的控制器，可以使閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性與時間延遲環(huán)節(jié)無關。第四章 習題解答4-1設單位反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試用解析法繪出增益從變化時的閉環(huán)根軌跡，并用根軌跡的相角條件加以驗證。解：系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為特征方程的兩個特征根為當從變化時，的變化情況如下圖所示。從上圖4.2看出，當從到變化時，閉環(huán)特征方程的根從開始、從開始往變化；當時，出現(xiàn)一對重根；當從到變化時，閉環(huán)特征方程

30、的根為一對共軛復根，實部為，的虛部從零開始往正無窮大變化，的虛部從零開始往負無窮大變化。對于根軌跡上的檢驗點，有滿足相角條件。同樣對于根軌跡上的檢驗點、點，也進行檢驗，同樣滿足相角條件。4-2已知開環(huán)零極點分布如圖4.42所示，試概略繪出相應的閉環(huán)根軌跡。 圖4.42 習題4-2圖解：概略繪出相應的閉環(huán)根軌跡如下圖所示。 4-3設單位反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)分別為（a）（b）（c）試概略繪出相應的從變化時的閉環(huán)根軌跡（要求確定分離點坐標）。解：（a）根軌跡共有3個分支，分別起始于開環(huán)極點，3個分支都終止于無窮遠處。終止于無窮遠處根軌跡的漸近線與實軸的夾角、與實軸的交點為由，分離點坐標滿足解方

31、程得到，不在根軌跡上，故得分離點坐標為。系統(tǒng)臨界穩(wěn)定時，時的閉環(huán)特征方程為得根軌跡與虛軸的交點為。用MATLAB繪制的根軌跡如下圖所示。（b）根軌跡共有2個分支，分別起始于開環(huán)極點，1個分支終止于開環(huán)零點，另1個分支沿負實軸終止無窮遠處。根軌跡的復平面部分是一個圓，圓心位于開環(huán)零點，圓的半徑為由此得到實軸上的2個分離點坐標。 除外，根軌跡與虛軸無交點。用MATLAB繪制的根軌跡如下圖所示。（c）根軌跡共有3個分支，分別起始于開環(huán)極點，1個分支終止于開環(huán)零點，另2個分支終止于無窮遠處。終止于無窮遠處根軌跡的漸近線與實軸的夾角、與實軸的交點為由，分離點坐標滿足解方程得到，和不在根軌跡上，故得分離點

32、坐標為。時系統(tǒng)總是穩(wěn)定的，根軌跡與虛軸無交點。用MATLAB繪制的根軌跡如下圖所示。4-4已知單位反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)分別為（a）（b）（c）試概略繪出相應的從變化時的閉環(huán)根軌跡（要求算出起始角）。解：（a）系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為實軸上的根軌跡區(qū)段為。起始于的根軌跡的起始角為。起始于的根軌跡的起始角為由對稱性得系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為因為，所以時系統(tǒng)總是穩(wěn)定的，根軌跡沒有與虛軸的交點。令得到它的解為，都不在根軌跡上，根軌跡沒有分離點。 用MATLAB繪制的根軌跡如下圖所示。（b）系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為實軸上的根軌跡區(qū)段為。起始于的根軌跡的起始角為。起始于的根軌跡的起始角為由對稱性得系統(tǒng)閉環(huán)特征方程

33、為因為，所以時系統(tǒng)總是穩(wěn)定的，根軌跡沒有與虛軸的交點。令得到它的解為，都不在根軌跡上，根軌跡沒有分離點。 用MATLAB繪制的根軌跡如下圖所示。（c）系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為實軸上的根軌跡區(qū)段為。起始于的根軌跡的起始角為，起始于根軌跡的起始角為，起始于的根軌跡的起始角為由對稱性得系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為系統(tǒng)穩(wěn)定的條件為以及，得的取值范圍為。將代入特征方程，得根軌跡與虛軸的交點為。令得到它的解為，在根軌跡上，是分離點。用MATLAB繪制的根軌跡如下圖所示。4-5設單位反饋控制系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)如為試確定閉環(huán)產(chǎn)生純虛根的值和值。解: 系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為令，代入特征方程得令實部和虛部分別等于零有把代入得，。4

34、-6已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試概略繪出閉環(huán)根軌跡，確定分離點坐標，與虛軸交點坐標及相應的值。解：開環(huán)兩重極點，開環(huán)零點。實軸上的根軌跡區(qū)段為。漸近線與實軸的夾角和交點為實軸上的分離點坐標滿足即得 (舍去)。與虛軸交點：閉環(huán)特征方程為把代入，令實部和虛部分別為零有得與虛軸交點坐標及相應的值為根軌跡起始于開環(huán)極點的起始角滿足解出。用MATLAB繪制的根軌跡如下圖所示。4-7反饋控制系統(tǒng)前向通道的傳遞函數(shù)為（a）設反饋通道的傳遞函數(shù)，概略繪出系統(tǒng)根軌跡圖，判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。（b）設反饋通道的傳遞函數(shù)，判斷改變后系統(tǒng)的穩(wěn)定性，研究由于改變所產(chǎn)生的影響。解：（a）系統(tǒng)有4個極點，沒有零點。實軸上的根

35、軌跡區(qū)段為。漸近線與實軸的夾角和交點為實軸上的分離點坐標滿足即得， (舍去)。根軌跡如下圖所示，無論取何值，始終存在右半平面根，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。（b）反饋通道的傳遞函數(shù)，此時系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為與（a）比較，增加了開環(huán)零點。實軸上的根軌跡區(qū)段為, 。漸近線與實軸的夾角和交點為閉環(huán)特征方程為把代入，令實部和虛部分別為零有得與虛軸交點坐標及相應的值為即時閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。根軌跡如下圖所示。4-8試繪出下列多項式的根軌跡。（a）（b）解：（a）等效的開環(huán)傳遞函數(shù)為實軸上的根軌跡區(qū)段為。3條根軌跡分別起始于開環(huán)極點，其中1條趨于開環(huán)零點，2條趨于無窮遠處，趨于無窮遠處根軌跡的漸近線與實軸的夾角和交點為閉環(huán)

36、特征方程為系統(tǒng)穩(wěn)定的條件為，即。將代入特征方程，得與虛軸交點坐標。根軌跡如下圖所示。（b）等效的開環(huán)傳遞函數(shù)為實軸上的根軌跡區(qū)段為，。3條根軌跡分別起始于開環(huán)極點，其中1條趨于開環(huán)零點，2條趨于無窮遠處，趨于無窮遠處根軌跡的漸近線與實軸的夾角和交點為實軸上的分離點坐標滿足即解得，(舍去)，(舍去)。閉環(huán)特征方程為系統(tǒng)穩(wěn)定的條件為，即。將代入特征方程，得與虛軸交點坐標。根軌跡如下圖所示。4-9將下述特征方程化為適合于用根軌跡法進行分析的形式，寫出等價的系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)。（a），以為可變參數(shù)。（b），分別以和為可變參數(shù)。（c），分別以、和為可變參數(shù)。解：（a）系統(tǒng)的特征方程為得適合于用根軌跡法進行

37、分析的等價的開環(huán)傳遞函數(shù)為（b）系統(tǒng)的特征方程為以為可變參數(shù)時，等價的開環(huán)傳遞函數(shù)為以為可變參數(shù)時，等價的開環(huán)傳遞函數(shù)為（c）系統(tǒng)的特征方程為以為可變參數(shù)時，等價的開環(huán)傳遞函數(shù)為以為可變參數(shù)時，等價的開環(huán)傳遞函數(shù)為以為可變參數(shù)時，等價的開環(huán)傳遞函數(shù)為以為可變參數(shù)時，等價的開環(huán)傳遞函數(shù)為4-10設系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為（a）繪出，從變化時系統(tǒng)的根軌跡。（b）在（a）的根軌跡上，求出閉環(huán)極點阻尼比時的值。（c）固定等于（b）中得到的數(shù)值，繪制從變化時的根軌跡。（d）從（c）的根軌跡中，求出閉環(huán)極點為臨界阻尼時的值。解：（a）時，系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為實軸上的根軌跡區(qū)段為，復平面上的根軌跡為圓心在原點，

38、半徑為的圓，根軌跡如下圖所示。（b）時，系統(tǒng)的特征方程為令其中的系數(shù)得。（c）時，系統(tǒng)的特征方程以為可變參數(shù)等價開環(huán)傳遞函數(shù)為從變化時，實軸上的根軌跡區(qū)段為，從得實軸上分離點的坐標滿足（舍去）。復平面上的根軌跡為過等價的開環(huán)極點和分離點的圓的一部分，根軌跡如下圖所示。（d）根據(jù)根軌跡的模值條件，求出閉環(huán)極點為臨界阻尼時的值為4-11系統(tǒng)如圖4.43所示。（a）試繪制時的根軌跡。（b）試繪制，時，從變化時的根軌跡。（c）應用根軌跡的幅值條件，求（b）中閉環(huán)極點為臨界阻尼時的值。圖4.43 習題4-11圖解：（a），系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為實軸上的根軌跡區(qū)段為，2條根軌跡分別起始于開環(huán)極點，趨于無窮遠

39、處，趨于無窮遠處根軌跡的漸近線與實軸的夾角和交點為實軸上的分離點坐標滿足解得。根軌跡如下圖所示。（b），時，系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為繪制根軌跡等價的開環(huán)傳遞函數(shù)為實軸上的根軌跡區(qū)段為，2條根軌跡分別起始于開環(huán)極點，1條趨于開環(huán)零點，1條趨沿負實軸方向趨于無窮遠處。根軌跡的復平面部分為圓心在原點半徑等于的圓。根軌跡如下圖所示。（c）根據(jù)根軌跡的模值條件，求出（c）中閉環(huán)極點為臨界阻尼時的值為4-12單位正反饋系統(tǒng)如圖4.44所示。（a）試繪制從變化時系統(tǒng)的全根軌跡。（b）求使閉環(huán)系統(tǒng)阻尼比時的取值。圖4.44 習題4-12圖解：（a）等價為負反饋系統(tǒng)，等價后系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為從

40、變化，故應繪制零度根軌跡。于是，實軸上的根軌跡區(qū)段為，2條根軌跡分別起始于開環(huán)極點，1條趨于開環(huán)零點，1條趨沿正實軸方向趨于無窮遠處。根軌跡的復平面部分為圓心在點半徑等于的圓。根軌跡如下圖所示。（b）在系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程中令阻尼比，有得到即有解（舍去）。4-13單位反饋系統(tǒng)如圖4.45所示。（a）設，繪制從變化時系統(tǒng)的根軌跡，確定系統(tǒng)臨界阻尼時的取值，確定系統(tǒng)臨界穩(wěn)定時的取值。（b）設，繪制從變化時系統(tǒng)的根軌跡，確定系統(tǒng)閉環(huán)根的阻尼比時的取值。圖4.45 習題4-13圖解：（a）時，系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為從變化，故應繪制零度根軌跡。于是，實軸上的根軌跡區(qū)段為，2條根軌跡分別起始于開環(huán)極點，1條趨

41、于開環(huán)零點，1條趨沿正實軸方向趨于無窮遠處。根軌跡的復平面部分為圓心在點半徑等于的圓。根軌跡如下圖所示。（b）時，系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為繪制根軌跡等價的開環(huán)傳遞函數(shù)為從變化，故應繪制一般根軌跡。實軸上的根軌跡區(qū)段為，2條根軌跡分別起始于開環(huán)極點，1條趨于開環(huán)零點，1條趨沿負實軸方向趨于無窮遠處。根軌跡的復平面部分為圓心在原點半徑等于的圓。根軌跡如下圖所示。在特征方程中令阻尼比，有得。4-14設單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為（a）試繪制從變化時系統(tǒng)的根軌跡。（b）求系統(tǒng)臨界穩(wěn)定和臨界阻尼時的取值。解：（a）系統(tǒng)的特征方程為繪制根軌跡等價的開環(huán)傳遞函數(shù)為從變化，故應繪制零度根軌跡。實軸上的根軌跡區(qū)段為

42、，2條根軌跡分別起始于開環(huán)極點和無窮遠處，終止于開環(huán)零點和。根軌跡的復平面部分為圓心在開環(huán)極，半徑等于的圓。根軌跡如下圖所示。（b）根據(jù)系統(tǒng)的特征方程，系統(tǒng)穩(wěn)定的條件為，故得系統(tǒng)臨界穩(wěn)定時的。根據(jù)根軌跡圓的半徑，得知左半復平面分離點的坐標為，根據(jù)根軌跡的模值條件有系統(tǒng)臨界阻尼時的取值為4-15系統(tǒng)如圖4.46所示。（a）試繪制從變化時閉環(huán)系統(tǒng)的根軌跡。（b）求的取值范圍，使系統(tǒng)的階躍響應無振蕩。圖4.46 習題4-15圖解：（a）系統(tǒng)的特征方程為繪制根軌跡等價的開環(huán)傳遞函數(shù)為從變化，故應繪制一般根軌跡。實軸上的根軌跡區(qū)段為，2條根軌跡分別起始于開環(huán)極點處，1條終止于開環(huán)零點，1條終止于無窮遠處

43、。根軌跡的復平面部分為圓心在原點，半徑等于的圓。根軌跡如下圖所示。（b）實軸上分離點坐標，根據(jù)模值條件，分離點處的取值為使系統(tǒng)的階躍響應無振蕩的的取值范圍為。4-16對于第二章例2.15的磁懸浮試驗模型的例子，靜態(tài)工作點附近被控對象的傳遞函數(shù)描述為（a）試確定反饋的極性和比例微分控制器的參數(shù)，使閉環(huán)極點的阻尼比，無阻尼自然振蕩頻率。（b）試繪制、兩參數(shù)變化時系統(tǒng)的根軌跡族。解：（a）采用比例微分控制器時系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為其中正號對應正反饋，負號對應負反饋，為使系統(tǒng)穩(wěn)定應采用正反饋。在特征方程中令得，。（b）采用正反饋，取不同值時，開環(huán)傳遞函數(shù)的零點的位置發(fā)生變化，繪制系統(tǒng)根軌跡的開環(huán)傳遞函數(shù)

44、為對的情況，從變化時的根軌跡簇，其復平面上的部分為以為圓心，半徑等于的圓，其實軸上的根軌跡區(qū)段為，。如下圖所示。對情況，從變化時的根軌跡簇，只有實軸上的部分，實軸上的根軌跡區(qū)段為，。如下圖所示。4-17設系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試分別畫出正反饋系統(tǒng)和負反饋系統(tǒng)的根軌跡圖，并指出它們的穩(wěn)定情況有何不同？解：負反饋情況，繪制一般的根軌跡，實軸上的根軌跡區(qū)段為，4條根軌跡分別起始于開環(huán)極點，1條趨于開環(huán)零點，3條趨于無窮遠處，趨于無窮遠處根軌跡的漸近線與實軸的夾角和交點為系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為令代入特征方程，令實部和虛部分別為零得解得系統(tǒng)穩(wěn)定的條件為。根軌跡如下圖所示。正反饋情況，繪制零度根軌跡，實軸上的

45、根軌跡區(qū)段為，4條根軌跡分別起始于開環(huán)極點，1條趨于開環(huán)零點，3條趨于無窮遠處，趨于無窮遠處根軌跡的漸近線與實軸的夾角和交點為無論取任何值，閉環(huán)系統(tǒng)總是不穩(wěn)定的。根軌跡如下圖所示。4-18已知某單位負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為（a）試繪制系統(tǒng)的根軌跡。（b）求閉環(huán)系統(tǒng)出現(xiàn)重根時的取值。（c）求使得閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定且工作在欠阻尼狀態(tài)的的取值范圍。解：（a）實軸上根軌跡區(qū)段為。3條根軌跡分別起始于開環(huán)極點，1條終止于開環(huán)零點，2條趨于無窮遠處。趨于無窮遠處根軌跡的漸近線與實軸的夾角和交點為實軸上的分離點坐標滿足 即 得（舍去）。系統(tǒng)的特征方程為，根軌跡與虛軸的交點滿足即分別令實部和虛部等于零有和，解得。

46、根軌跡如下圖所示。（b）根據(jù)模值條件根軌跡分離點處的根軌跡增益為（3）當時，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定且工作在欠阻尼狀態(tài)。4-19設單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為（a）繪制從變化時閉環(huán)系統(tǒng)的根軌跡。（b）確定使閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的的取值范圍。（c）為使閉環(huán)系統(tǒng)的調(diào)節(jié)時間秒（按誤差計算），求的取值。解：（a）1、 有3條分支，分別起始于開環(huán)極點，終止于無窮遠處。2、 實軸上的根軌跡區(qū)段為，。3、 漸近線與實軸交點為，夾角為。4、 由得分離點滿足，解為，（舍去，因為它不在根軌跡上），對應得值為0.385。5、與虛軸的交點，將實虛部分開有 有解根軌跡圖如下圖所示。（b）時，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。（c）按得主導極點的實部，系統(tǒng)的閉

47、環(huán)特征方程為式中為系統(tǒng)的3個閉環(huán)特征根，設為閉環(huán)共軛主導極點，顯然有這樣得到。根據(jù)模值條件，時的根軌跡增益4-20設單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為式中，為變化參數(shù)。（a）試繪制參數(shù)變化時閉環(huán)系統(tǒng)的根軌跡圖，給出系統(tǒng)為穩(wěn)定時的取值范圍。（b）求使成為一個閉環(huán)極點時的取值。（c）?。╞）中給出的值時，求系統(tǒng)其余的兩個閉環(huán)極點，并據(jù)此計算系統(tǒng)的調(diào)節(jié)時間（按誤差計算）和超調(diào)量。解：（a）系統(tǒng)的特征方程為繪制根軌跡等效的開環(huán)傳遞函數(shù)為繪制根軌跡如下圖。圖中根軌跡與虛軸的交點可從系統(tǒng)為臨界穩(wěn)定的條件得到。時系統(tǒng)的特征方程為得與虛軸交點的坐標為。從根軌跡得到系統(tǒng)穩(wěn)定的的取值范圍為。（b）成為一個閉環(huán)極點時，從

48、根軌跡的模值條件有得。（c）時，系統(tǒng)的另外兩個閉環(huán)根從特征方程求出為，顯然它是系統(tǒng)的主導極點。系統(tǒng)的調(diào)節(jié)時間和超調(diào)量分別為4-21某電梯的位置控制系統(tǒng)，要求在高速運行時仍能以高精度?？吭谥付ǖ臉菍樱淇刂葡到y(tǒng)可以用單位反饋系統(tǒng)來表示，開環(huán)傳遞函數(shù)為試確定使閉環(huán)復數(shù)根的阻尼比時的取值。解：設系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為比較兩邊的系數(shù)有即式中?？梢酝频冒凑盏囊?，求得實根為，代入得4-22系統(tǒng)如圖4.47所示。試繪制系統(tǒng)的根軌跡，并求當閉環(huán)共軛復數(shù)極點的阻尼比時的取值。圖4.47 習題4-22圖解：系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為根軌跡如下圖所示，其中為閉環(huán)系統(tǒng)的一個特征根，與開環(huán)增益的大小無關。

49、令即得。4-23某單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為繪制時閉環(huán)系統(tǒng)的根軌跡圖，說明系統(tǒng)是條件穩(wěn)定的，求能使系統(tǒng)穩(wěn)定的的取值范圍。4-23解：3個根軌跡分支起始于開環(huán)極點，2條終止于開環(huán)零點，1條沿負實軸方向趨于無窮遠處。系統(tǒng)的特征方程為系統(tǒng)穩(wěn)定的條件為即得。將代入特征方程，令得到，令實部為零得到解得根軌跡與虛軸的交點坐標為。根軌跡如下圖所示，系統(tǒng)是條件穩(wěn)定的。4-24某單位反饋系統(tǒng)如圖4.48所示。當輸入為單位階躍信號時，系統(tǒng)的輸出響應有超調(diào)，但穩(wěn)態(tài)值達到了。當輸入為斜坡信號時，系統(tǒng)的輸出響應以有限的穩(wěn)態(tài)誤差跟蹤輸入。當增益時，系統(tǒng)出現(xiàn)了正弦等幅振蕩，振蕩周期為秒。試確定系統(tǒng)參數(shù)、的取值。圖4.48

50、 習題4-24圖解：因為當輸入為單位階躍信號時，系統(tǒng)的輸出響應有超調(diào)，且穩(wěn)態(tài)值達到了，當輸入為斜坡信號時，系統(tǒng)的輸出響應以有限的穩(wěn)態(tài)誤差跟蹤輸入。系統(tǒng)是單位反饋的，所以開環(huán)傳遞函數(shù)應包含1個積分環(huán)節(jié)，所以。這樣，時系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為根據(jù)題中給出的條件，這時系統(tǒng)出現(xiàn)了頻率為的等幅振蕩，故進一步設系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為比較等式兩邊有得到，。4-25某單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為其中秒。若將時間延遲環(huán)節(jié)取一階Pade近似，即試繪制時閉環(huán)系統(tǒng)的根軌跡圖，并據(jù)此確定系統(tǒng)穩(wěn)定時的取值范圍。解：用一階Pade近似代替時間延遲環(huán)節(jié)，系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為顯然，應繪制零度根軌跡。有2條根軌跡分支，起始于開環(huán)極點，1

51、條終止于開環(huán)零點，1條沿正實軸趨于無窮遠處。實軸上的根軌跡區(qū)段為，。根軌跡的復平面部分為圓心在零點，半徑等于的圓，并由此得到實軸上的分離點坐標為，。系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為系統(tǒng)穩(wěn)定的條件為。時特征方程為得根軌跡與虛軸的交點坐標為。根軌跡如下圖所示。第五章 習題解答5-1試給出圖5.56所示(a)、(b)網(wǎng)絡的頻率特性的表達式。 (a) (b)圖5.56 習題5-1圖解：（a）（b）5-2某系統(tǒng)如圖5.57所示，試根據(jù)頻率特性的物理意義，求下列輸入信號作用時，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出和穩(wěn)態(tài)誤差。圖5.57 習題5-2圖（a）（b）解：系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為于是有因此有（a）時，。（b）時，。5-3證明二階振蕩環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)它的幅相頻率特性滿足解：因為故有5-4已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試就下面兩種情況繪制幅相頻率特性的大致曲線。（a）。（b）。解：（a），時有時有，故幅相頻率特性的大致曲線如下圖所示。（b），時有時有，故幅相頻率特性的大致曲線如下圖所示。5-5設系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為（a）（b）繪制它們的幅相頻率特性曲線，求與實軸交點的角頻率及相應的幅