第2章 §3 參數(shù)方程化成普通方程

1、.§3參數(shù)方程化成普通方程1.理解參數(shù)方程化成普通方程的意義.2.掌握參數(shù)方程化成普通方程的根本方法.重點(diǎn)3.可以利用參數(shù)方程化成普通方程解決有關(guān)問(wèn)題.難點(diǎn)根底·初探教材整理參數(shù)方程化為普通方程參數(shù)方程和普通方程是曲線方程的兩種不同形式，普通方程用代數(shù)式直接表示點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系；參數(shù)方程是借助于參數(shù)間接地反映點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系.兩者之間可以互化，將參數(shù)方程化成普通方程的常用方法有：1代數(shù)法消去參數(shù)代入法：從參數(shù)方程中選出一個(gè)方程，解出參數(shù)，然后把參數(shù)的表達(dá)式代入另一個(gè)方程，消去參數(shù)，得到曲線的普通方程.代數(shù)運(yùn)算法：通過(guò)乘、除、乘方等運(yùn)算把參數(shù)方程中的方程適當(dāng)?shù)刈冃危缓蟀?/p>

2、參數(shù)方程中的兩個(gè)方程進(jìn)展代數(shù)運(yùn)算，消去參數(shù)，得到曲線的普通方程.2利用三角恒等式消去參數(shù)假如參數(shù)方程中的x，y都表示為參數(shù)的三角函數(shù)，那么可以考慮用三角函數(shù)公式中的恒等式消去參數(shù)，得到曲線的普通方程.填空：1將參數(shù)方程t為參數(shù)化為普通方程是_.2將參數(shù)方程為參數(shù)化為普通方程是_.3將參數(shù)方程t為參數(shù)化為普通方程是_.【解析】1把tx代入得y2x即普通方程為y2x.2由sin2 cos2 1得x2y21.3由得ty1，代入得x2y12.【答案】1y2x2x2y213x2y12質(zhì)疑·手記預(yù)習(xí)完成后，請(qǐng)將你的疑問(wèn)記錄，并與“小伙伴們討論交流：疑問(wèn)1： 解惑： 疑問(wèn)2： 解惑： 疑問(wèn)3： 解

3、惑： 小組合作型把曲線的普通方程化為參數(shù)方程根據(jù)所給條件，把曲線的普通方程化為參數(shù)方程.11，xcos 1.為參數(shù)2x2yx10，xt1.t為參數(shù)【精彩點(diǎn)撥】根據(jù)題目要求代入可求解.【自主解答】1將xcos 1代入1得y2sin .為參數(shù).這就是所求的參數(shù)方程.2將xt1代入x2yx10得yx2x1t12t11t23t1，t為參數(shù).這就是所求的參數(shù)方程.普通方程化為參數(shù)方程時(shí)，選取參數(shù)后，要特別注意參數(shù)的取值范圍，它將決定參數(shù)方程是否與普通方程等價(jià).參數(shù)的選取不同，得到的參數(shù)方程是不同的.如本例2，假設(shè)令xtan 為參數(shù)，那么參數(shù)方程為為參數(shù).再練一題1.求xy1滿足以下條件的參數(shù)方程.1xt

4、t0；2xtan .【解】1將xt代入xy1得t·y1.t0，y，t為參數(shù)，t0.2將xtan 代入xy1得y，為參數(shù)，kZ.探究共研型將參數(shù)方程化為普通方程的方法探究1下面將參數(shù)方程t為參數(shù)，化成普通方程的過(guò)程是否正確？為什么？解：由x1，得x1，代入y12，得y2x3.這是一條過(guò)點(diǎn)0,3，且斜率為2的直線.【提示】解析過(guò)程不正確，因?yàn)闆](méi)有考慮x是有范圍的，即x11.探究2將參數(shù)方程化成普通方程應(yīng)注意什么？怎么來(lái)做？【提示】將參數(shù)方程化成普通方程，應(yīng)注意，消參過(guò)程中要求不減少也不增加曲線上的點(diǎn)，即要求參數(shù)方程和消去參數(shù)后的普通方程是等價(jià)的；消參前必須是根據(jù)參數(shù)的取值范圍確定ft和g

5、t的值域，從而得到x，y的取值范圍.探究3把參數(shù)方程化為普通方程時(shí)，常用哪些方法？【提示】消去參數(shù)的方法一般有三種：1利用解方程的技巧求出參數(shù)的表示式，然后代入消去參數(shù)；2利用三角恒等式消去參數(shù)；3根據(jù)參數(shù)方程本身的構(gòu)造特征，選用一些靈敏的方法從整體上消去參數(shù).將以下參數(shù)方程化成普通方程，并說(shuō)明方程表示的曲線.1t為參數(shù)；2a，b為大于零的常數(shù)，t為參數(shù).【精彩點(diǎn)撥】1可用代入法；2可用代數(shù)運(yùn)算法.【自主解答】1由t，代入y4t中，得4x3y40，它就是所求的普通方程，它表示的是一條直線.2x，t0時(shí)，xa，t0時(shí)，x，a.由x，兩邊平方可得x2，由y兩邊平方可得y2，并化簡(jiǎn)，得1，這就是所求

6、的曲線方程，它表示的曲線是中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線.將不含三角函數(shù)的參數(shù)方程化成普通方程時(shí)，假設(shè)兩個(gè)方程中其中一個(gè)可以解出參數(shù)t，那么用代入法消參，否那么用代數(shù)運(yùn)算法消參.再練一題2.把以下參數(shù)方程化為普通方程，并說(shuō)明它們各表示什么曲線.1t0，t為參數(shù)；2t是參數(shù)且ab0.【解】1由解得ty1，代入中，得x4y12y1，即y12xy1.方程表示的曲線是頂點(diǎn)為0,1，對(duì)稱(chēng)軸平行于x軸，開(kāi)口向左的拋物線的一部分.2由可得22得1ab0，xa，這就是所求的普通方程，方程表示的曲線是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓去掉左頂點(diǎn).將以下參數(shù)方程化為普通方程，并說(shuō)明方程表示的曲線.1t為參數(shù)，0t；2為參數(shù).【

7、精彩點(diǎn)撥】1利用sin2tcos2t1消參；2cos 212sin2消參.【自主解答】10t，1cos t1，0sin t1.3x5，2y2，x12y2216cos2t16sin2t16.x12y22163x5，2y2，它表示的曲線是以1，2為圓心，半徑為4的上半圓.2由y1cos 2，可得y2sin2，把sin2x2代入y2sin2，可得y2x2，即2xy40.又2x2sin23，所求的方程是2xy402x3，它表示的是一條線段.對(duì)于含有三角函數(shù)的參數(shù)方程化成普通方程問(wèn)題，常聯(lián)想三角恒等式，利用三角變換消去參數(shù)，而得到其普通方程，但應(yīng)注意x，y的取值范圍.再練一題3.某條曲線C的參數(shù)方程為其

8、中t是參數(shù)，aR，點(diǎn)M5,4在該曲線上.1求常數(shù)a；2求曲線C的普通方程.【解】1由題意，可知故所以a1.2由及1可得，曲線C的方程為由第一個(gè)方程，得t，代入第二個(gè)方程，得y2，即x124y為所求.構(gòu)建·體系1.曲線為參數(shù)的一條對(duì)稱(chēng)軸的方程為A.y0B.xy0C.xy0D.2xy0【解析】曲線為參數(shù)的普通方程為x12y224，圓心C的坐標(biāo)為1,2，過(guò)圓心的直線都是圓的對(duì)稱(chēng)軸，應(yīng)選D.【答案】D2.與普通方程x2y10等價(jià)的參數(shù)方程為A.t為參數(shù)B.t為參數(shù)C.t為參數(shù)D.t為參數(shù)【解析】A化為普通方程為x2y10，x1,1，y0,1.B化為普通方程為x2y10，x1,1，y0,1.C化為普通方程為x2y10，x0，y，1.D化為普通方程為x2y10，xR，y，1.【答案】D3.假設(shè)曲線為參數(shù)，那么點(diǎn)x，y的軌跡是_. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：12990028】【解析】x1cos 2112sin222y，x2y20.又x1cos 20,2，ysin20,1.點(diǎn)x，y的軌跡是以2,0和0,1為端點(diǎn)的線段.【答案】以2,0和0,1為端點(diǎn)的線段4.參數(shù)方程為參數(shù)化成普通方程為_(kāi).【解析】為參數(shù)，為參數(shù).22得x2y121，此即為所求普通方程.【答案】x2y1215.指出以下參數(shù)方程表示什么