大一經典高數復習資料經典最新經典全面復習

1、高等數學（本科少學時類型）第一章函數與極限第一節(jié)函數O函數基礎（高中函數部分相關知識）（）O鄰域（去心鄰域）（）Ua,XlXaoU a,X10 X a第二節(jié)數列的極限O數列極限的證明（）【題型示例】已知數列Xn ,證明 Iim XnaX【證明示例】N語言1由Xna化簡得n g ,Ng2.即對0,Ng,當nN時，始終有不等式Xna成立，Iim XnaX第三節(jié)函數的極限O X Xo時函數極限的證明（）【題型示例】已知函數 f X ,證明IimfX AX xo1由f X A化簡得0X Xgg2 即對0 ,g ,當0X X0時,始終有不等式fX A成立，Iim f XA【證明示例】語言X xoO X

2、時函數極限的證明（）【題型示例】已知函數 f X ,證明Iim f X AX【證明示例】X語言1由f X A 化簡得X g , Xg2.即對0, X g,當X X時，始終有不等式f X A成立， Iim f X AX第四節(jié)無窮小與無窮大O無窮小與無窮大的本質（）函數f X無窮小 Iim f X 0函數f X無窮大 Iim f XO無窮小與無窮大的相關定理與推論（）（定理三）假設f X為有界函數，g X為無窮小，則 Iim f X g X 0（定理四）在自變量的某個變化過程中，若f X 為無窮大，則f 1 X為無窮小；反之，若f X為無 窮小，且f X 0,則f 1 X為無窮大【題型示例】計算:

3、1 . f X IimX X0M 函數f XX (或X在X X0的任一去心鄰域U(V f XX0,內是有界的;在X D上有界；）2. HgX (imgX3 .由定理可知0即函數g X是XX0時的無窮小;0即函數時的無窮??；）IimX XXgX（lim f XX第五節(jié)極限運算法則O極限的四則運算法則（）（定理一）加減法則（定理二）乘除法則關于多項式P X設：q XP X、ma°xb°nq X商式的極限運算1max0nbn則有Iim P色nmX q X0nmfX00gXgX0f XIimgX0,f X0 g X00gXf X00（不定型）時，0子分母約去公因式即約去可去間斷點便

4、可求解出極 限值，也可以用羅比達法則求解）（特別地,IimXxOgX通常分【題型示例】求值Iim 2X 3 X2212【求解示例】解：因為 X 3 ,從而可得X 3 ,所以原解: IimXXm3Iimx 3 X 3Iimx3X其中X 3為函數f X的可去間斷點X 9倘若運用羅比達法則求解（詳見第三章第二節(jié)）解:Iim -4X 3X03 03 Iim9 LX 3X 3X29IimX 3 2xO連續(xù)函數穿越定理 （復合函數的極限求解）（） （定理五）若函數 f X是定義域上的連續(xù)函數，那么，Iim f X f Iim XX XDX x0【題型示例】【求解示例】求值:時：2 9X 3f"X

5、 3Iim I 2“ Iim 2x3x9.x3x 9第六節(jié)極限存在準則及兩個重要極限O夾迫準則（P53） （）第一個重要極限:Sin XX 0, ， Sin X X tanx2IimSX 0X OSinXIimX o Sin xlim1X OSin XXIim2x 1Iim2x 1Iim2x 1e(特別地，Iim Sin(X xo) 1)X xoX X0O單調有界收斂準則(P57) ()X1第二個重要極限：Iim 1eXXg XIim g X (It(一般地，Iim f XIim f X,其中Iim f X 0)【題型示例】求值:【求解示例】Iim 2XX3 x1X 12x 32x 12x 2

6、2x 12x 12x 1IimX2x 12X 12x 1 22x 1IimX 1X 1Iim2x 12x 12x 1Iim2x 12-2122x 12Iim X 12x 1TXe第七節(jié) 無窮小量的階（無窮小的比較） O等價無窮小（）1.U SinU tanU arcsinU arctanU ln(1 U )1 22. U 1 CoSU2（乘除可替，加減不行）【題型示例】求值：Iim In 1 x2 xIn 1 XX 0 X 3x【求解示例】0,所以原式l. In Iim1X2xIn 1 XX 0XJ3x1 X XX11IimIimx0xx 3X 0X33解：因為X0,即X1 X In 1 X

7、IimX 0 XX 3第八節(jié) 函數的連續(xù)性O函數連續(xù)的定義（）Iim f X Iim f X f X0X X0X X0O間斷點的分類（P67） （）第一類間斷點（左右極限存在）跳越間斷點（不等）可去間斷點（相等）第二類間斷點無窮間斷點（極限為（特別地，可去間斷點能在分式中約去相應公因式）【題型示例】設函數2x0應該怎樣選0擇數a ,使得f X成為在R上的連續(xù)函數?【求解示例】f 0f 02 0 1e e ea 0 aa2 .由連續(xù)函數定義Iim f XX 0Iim f XX 02x 1f 0 e第九節(jié) 閉區(qū)間上連續(xù)函數的性質O零點定理（）【題型示例】證明：方程f X g X C至少有一個根 介

8、于a與b之間【證明示例】【題型示例】求函數 f 1 X的導數【求解示例】由題可得 f X為直接函數，其在定于域 D上單調、可導，且 f X1.（建立輔助函數）函數Xf X g XC在閉區(qū)間a,b上連續(xù)；2.ab 0 (端點異號)3.由零點定理，在開區(qū)間a,b內至少有一點,使得0 ,即fgC 0 ( 01)4.這等式說明方程f Xg XC在開區(qū)間a,b內至少有一個根O復合函數的求導法則（） 【題型示例設y ln earcsinE .【求解示例】解:1arcsIn ,： e孑，求第二章導數與微分第一節(jié)導數概念O高等數學中導數的定義及幾何意義（P83） （）【題型示例】已知函數f XeX1X0卄C在

9、X 0ax bX0處可導，求a,b【求解示例】0 Jlf 0e01e0 121f0e 1，f 0bf0af 0e0 12f 0f 0a 12由函數可導定義1Jx2 1arcs in X21e2 2X aarcs in X2 1 e2 2.X a1 X2 12 . 2 a22x1arcsin .：x2 12 叮 X12xarcs in X2 1 e廠22.X a2 x22J2 a21arcsin J 1XPrXarcs in. ；x2 1 e22.X aJX 1 2一22 2XX a第四節(jié)高階導數O f nnXfnn 11X(或 dxyAy) C)2X的n階導數y 2=1arcs in、X 1

10、e. X a 1,b2f 0f 0f 0 b 2【題型示例】求 yf X在Xa處的切線與法線方程（或：過y f X圖像上點a, f a處的切線與法線方程）【求解示例】1. y f Xy 1X af:a2.切線方程：yf af a X a法線方程：yf a1X af a第二節(jié) 函數的和（差）、積與商的求導法則 O函數和（差）、積與商的求導法則（）1線性組合（定理一）：（UV） U V 特別地，當1時，有（UV） UV2.函數積的求導法則（定理二）：（UV） U V UV3函數商的求導法則（定理三）U UV UVV2第三節(jié)反函數和復合函數的求導法則O反函數的求導法則（）【題型示例】求函數 y1【求

11、解示例】n 11) (n1! (1InX nX)（第五節(jié)隱函數及參數方程型函數的導數O隱函數的求導（等式兩邊對X求導）（）y X ey所給定的曲線C :的切線方程與法線方程ye兩邊對X求導【題型示例】試求：方程y y X在點1【求解示例】由ey切線方程:e,1化簡得y1 ey y11 e法線方程：y 11 e X 1 eO參數方程型函數的求導Xt【題型示例】設參數方程，求d-yy t dx0,函數f X在閉區(qū)間間0, 上可導，并且2 由拉格朗日中值定理可得,0,x上連續(xù)，在開區(qū)0,X使得等式【求解示例】1.dydxdy2t 2 d y dx 22t dxt第六節(jié)變化率問題舉例及相關變化率（不作

12、要求） 第七節(jié)函數的微分O基本初等函數微分公式與微分運算法則（）dy f X dx第三章中值定理與導數的應用第一節(jié)中值定理O引理（費馬引理）（）O羅爾定理（）【題型示例】現(xiàn)假設函數f X在0, 上連續(xù)，在0,上可導，試證明：0,使得f cosf Sin 0成立【證明示例】1.（建立輔助函數）令 X f X Sin X顯然函數X0, 上可導；在閉區(qū)間0,上連續(xù)，在開區(qū)間2.又0f0 Sin0 0fSin0即 003.由羅爾定理知0,使得fCOSfSin0成立O拉格朗日中值定理（）【題型示例】證明不等式：當 X 1時，ex e X 【證明示例】X1.（建立輔助函數）令函數 f X e ,則對 X

13、1 ,顯然函數 f X在閉區(qū)間1,x上可導，并且f X2 .由拉格朗日中值定理可得，ex e1X 1 e 成立，1X 1又 e e , e e化簡得ex e X ,即證得：當1, X上連續(xù)，在開區(qū)間Xe ;1,x使得等式X 1 e1e X e,X 1 時，ex e X【題型示例】證明不等式：當X 0時，In 1 X X【證明示例】1.（建立輔助函數）令函數f X In 1 X ,則對In 1 X In 1 0X 0成立,11化簡得In 1 X 一 X ,又 0, X ,11 , In 1 X 1 X X,1即證得：當X 1時，eX e X第二節(jié)羅比達法則O運用羅比達法則進行極限運算的基本步驟（

14、）1. 等價無窮小的替換（以簡化運算）2. 判斷極限不定型的所屬類型及是否滿足運用羅比 達法則的三個前提條件A.屬于兩大基本不定型（,）且滿足條件,0f Xf X則進行運算：IimIimXagXXag X（再進行1、2步驟，反復直到結果得出）B . 不屬于兩大基本不定型（轉化為基本不定型） 0 型（轉乘為除，構造分式）【題型示例】求值：Iim X In XX 0【求解示例】解：m0XInXIimIn X1 LIimIn X丄XIimIim X 0a X 0般地，Iim X In XX 00,其中X型（通分構造分式，觀察分母）【題型示例】求值:【求解示例】1 1 Iimx 0 sin X XX1

15、XX解: IimX 0 SinxmoHXSin X,. X Sinx ” X SinX IimIim2-XOXSi n XX 0 Xlim -X 0CoSX o2x LXim)COSX2xO0型（對數求極限法）2X000X0【題型示例】求值：Iim XX 0【求解示例】(1)解：設y xx,兩邊取對數得：InyInxIn X Xln X1X對對數取X0時的極限：Iim In yX 0JIim XX 01通分獲得分式（通常伴有等價無窮小的替換）取倒數獲得分式（將乘積形式轉化為分式形式）取對數獲得乘積式（通過對數運算將指數提前）第三節(jié)泰勒中值定理（不作要求）第四節(jié) 函數的單調性和曲線的凹凸性O連續(xù)

16、函數單調性（單調區(qū)間）（）【題型示例】試確定函數f X 2x3 9x2 12x 3的單調區(qū)間【求解示例】1.函數f X在其定義域R上連續(xù)，且可導 f X 6x2 18x 12IxLIim0 1XIn X Iim0Iim X 0，從而有 Iim yX 0X 0（對數求極限法）【題型示例】求值:Iim cosXX 0【求解示例】IimenyX 01Sin X X1解：令y cosX Sinxx,兩邊取對數得In yIn對In y求X 0時的極限,InIimIn y Iim X 0X 0Iim In yeX 0CoSXXcosX SinxSin X2 .令 fx 6x1x20,解得：x11,x220

17、0 In cosX Sinx IimL X 0Xir、， Iim In yIim y= Iim eI yex 0X 0， X 01. cosX SinX Iim0 cosX SinXW 1,從而可得0型（對數求極限法）【題型示例】求值:【求解示例】叫IKtan X11解：令y -，兩邊取對數得Iny tanx In -XX對In y求X0時的極限，凹町Iim tan X InX 0IimX 0In X1LIimX 0tan XIn X1tan X-IimxX 0 SeC Xtan2 XmoHXX2slmoHX2si X cosX Ii mX 00,從而可得Iim y= Iim eln yX O

18、 丿 X 0Iim In yex 0O運用羅比達法則進行極限運算的基本思路（）X,111,222,f X00f XZ極大值極小值Z3.（三行表）4.函數f X的單調遞增區(qū)間為，1,2,單調遞減區(qū)間為1,2【題型示例】證明：【證明示例】當 X0時,Xe X 11 .（構建輔助函數）設XexX 1 , ( X 0)2.XX e1 0，(X '0)X0 03.既證：當 X0時，Xe X1【題型示例】證明：當 X0時,In 1 X X【證明示例】1.（構建輔助函數）設 X In 1 X X, （ X 0）3 .既證：當X 0時，In 1 X XO連續(xù)函數凹凸性（）【題型示例】試討論函數y 1

19、3x2凹凸性及拐點X3的單調性、極值、【證明示例】y363 X 21.y66 6X1y3X 2010,222.令解得：y6X 10X 1X(,0)0(0,1)1(1,2)2(2,)y0/0y/y1-(1,3)5n3.（四行表）尺代 、.一H-第八節(jié)第七節(jié)第八節(jié)函數y1 3x2X3單調遞增區(qū)間為（0,1）,（1,2單調遞增區(qū)間為（,0) ,(2,)；函數y1 3x23X的極小值在X0時取到，為f 01,極大值在X 2時取到，為f 25;函數y1 3x22X3在區(qū)間（，0）,（0,1）上凹，在區(qū)間(1,2),(2,）上凸；函數y1 3x2X3的拐點坐標為1,3U XmD，使得對 XoU Xm ,都

20、適合不等我們則稱函數f X在點m, f Xm 處有極小值令Xm則函數f Xm min f【題型示例】求函數【求解示例】1.函數f在其定義域3x21,3上連續(xù)，且可導2 .令 f X1,X2X11,111,3f X00f X極小值Z極大值解得：X13.（三行表）4 .又 f2,f 12,f 318f 318F X的導函數第五節(jié)函數的極值和最大、最小值O函數的極值與最值的關系（）設函數f X的定義域為 D ,如果 XM的某個鄰o域UXMD ,使得對 XUXM ，都適合不等式f X f XM ，我們則稱函數f X在點XM, f XM處有極大值 f Xm ；令 XMXM1, xM 2，XM3>.

21、> XMn則函數f X在閉區(qū)間a, b上的最大值 M滿足:ma f a , XM 1, XM 2，XM 3 ,., XMn , f b設函數f X的定義域為D，如果 Xm的某個鄰域Xm，Xm；m1, m2 , Xm3 ,，Xmn在閉區(qū)間a,b上的最小值 m滿足:a , Xm1, Xm2 , Xm3 ,Xmn , f bf X 3 3在1,3上的最值f 12, f X imaxmin函數圖形的描繪（不作要求） 曲率（不作要求） 方程的近似解（不作要求）第四章不定積分第一節(jié)不定積分的概念與性質 O原函數與不定積分的概念（） 原函數的概念：假設在定義區(qū)間I上，可導函數為F X ,即當自變量X

22、I時，有F X f X或dF X f X d成立，則稱 FX為f X的一 個原函數原函數存在定理：（）如果函數f X在定義區(qū)間I上連續(xù)，則在I上 必存在可導函數 F X使得FX f X ,也就是 說：連續(xù)函數一定存在原函數（可導必連續(xù)）不定積分的概念（）在定義區(qū)間I上，函數f X的帶有任意常數項 C的原函數稱為f X在定義區(qū)間I上的不定積分， 即表示為： f X dx F X C（ 稱為積分號，f X稱為被積函數，f X dx稱 為積分表達式，X則稱為積分變量）O基本積分表（）O不定積分的線性性質（分項積分公式）（）k1 f X k2 g X d k1 f X d k2 g d第二節(jié)換元積分法

23、O第一類換元法（湊微分）（）（dy f X d的逆向應用）f X XdX f Xd X11【題型示例】求PdX X【求解示例】1解： dxa X【題型示例】XXa=1dx、2x 1XIiX arcta n a a【求解示例】1解：12x 112x 1 CO第二類換元法（去根式）（dy f X dx的正向應用）對于一次根式（a 0,b R）:d 2x2*2x 1第三節(jié)分部積分法O分部積分法（）設函數U f X , VgX具有連續(xù)導數，則其分部積分公式可表示為：UdV UV VdU分部積分法函數排序次序：“反、對、幕、三、指”O(jiān)運用分部積分法計算不定積分的基本步驟：遵照分部積分法函數排序次序對被積

24、函數排序；就近湊微分：（VdX dv）使用分部積分公式： UdV UV VdU展開尾項 VdU VUdX ,判斷a.若 V UdX是容易求解的不定積分，則直接計 ax b :令 t ax b ,于是t2 bXa算出答案（容易表示使用基本積分表、換元法與有理函數積分可以輕易求解出結果）；b.若 V UdX依舊是相當復雜，無法通過 a中方則原式可化為t對于根號下平方和的形式（a0 )：、a2 x2 :令 X ata nt （ t ）， 2 2X于是t arctan ,則原式可化為a sect ； a對于根號下平方差的形式（a 0）:法求解的不定積分，則重復、，直至出現(xiàn) 容易求解的不定積分；若重復過

25、程中出現(xiàn)循環(huán)， 則聯(lián)立方程求解，但是最后要注意添上常數C【題型示例】求ex X2dx【求解示例】解：ex x2dxx2exdx x2dex x2ex exd x2x2ex 2 X exdx x2ex 2 x d ex解：a2 X2 dxX aSint(t arcs in dx a cost1 cos2t dt1Si n2t2a. 、a2x2 :令 X a si nt ( t )，2 2X于是t arcsin,則原式可化為a cost ;ab. x2 a2 :令 X a sect ( 0 t2a于是t arccos-,則原式可化為 ata nt ；X1【題型示例】求 dx (一次根式)2x 1【

26、求解示例】解： r1dx t 121 tdt dt t C 21 C2x 1X 2t 2 tdx tdt【題型示例】求.a2 X2 dx （三角換元）【求解示例】222 aa cos tdt22aC t Sin t costC2x2ex 2xex 2 exdx x2ex 2xex 2ex【題型示例】求 ex Sin XdX【求解示例】解：ex Sin XdXexd cosxX ecosxcosxd exX ecosxXXe COSXdX ecosxX . e dSin XX ecosxXe SinX SinXdX eX ecosxXXe Sinxe Sin XdX即：ex Sin XdXex

27、cosx ex Sin XSin Xd exX1Xex Sin XdXex Sin X cosx C2第四節(jié) 有理函數的不定積分O有理函數（）Pmm 1XPXaOXa/am設：-Q X q Xb0xn b1xnbnP X對于有理函數，當P X的次數小于 Q X的Q XP X次數時，有理函數是真分式；當P X的次數P X第五章定積分極其應用大于Q X的次數時，有理函數是假分式O有理函數（真分式）不定積分的求解思路（）P X將有理函數的分母Q X分拆成兩個沒有Q X公因式的多項式的乘積：其中一個多項式可以表示k為一次因式 X a ；而另一個多項式可以表示為 二次質因式 X2 PX q , （ p2

28、 4q 0）； 即：Q XQ1 X Q2 X般地：mx nm XnC ?則參數anmm2 I2bCax bxC aXX aa則參數PbC,qaa第一節(jié)定積分的概念與性質O定積分的定義（）X dXi Xi（f X稱為被積函數，f X dx稱為被積表達式，X則稱為積分變量，a稱為積分下限，b稱為積分上限,a,b稱為積分區(qū)間）O定積分的性質（）bb f X dx f U duaaa f x dx oab kf X dxa（線性性質）k1 f x k2g Xbk f x dxabdx k1 f X dxabk2 g x dxP X則設有理函數的分拆和式為:Q XP XR XP2 XQ XXk a2XP

29、Xlq其中P XAAAkk2kX aXaX aX aP2 XM1x N1M2X N22XPXql2XPXq22XPXqMlx Nl2XPXq參數 A, A,AM1NiM2N2MlNi由待定系數法（比較法）求出得到分拆式后分項積分即可求解2【題型示例】求 dX （構造法）X 1【求解示例】dx1X 1 X X 11dXX 1dXXdXdX11 2dX X X l n X 1 CX 12第五節(jié)積分表的使用（不作要求）（積分區(qū)間的可加性）bCbf X dx f x dx f x dxaaC若函數f X在積分區(qū)間a, b上滿足f X（推論一）若函數足f X（推論二）X dxX、函數g X在積分區(qū)間 a, b上滿bbg X ,貝Uf X dx g X dx ；aaX dxO積分中值定理（不作要求） 第二節(jié)微積分基本公式O牛頓-萊布尼茲公式（）X dx（定理三）若果函數 F X是連續(xù)函數f X在區(qū)間a,b上的一個原函數，則bf X dx F