尺規(guī)作圖知識歸納

1、精選文檔 考點名稱：尺規(guī)作圖尺規(guī)作圖：是指限定用沒有刻度的直尺和圓規(guī)來完成的畫圖。一把沒有刻度的直尺看似不能做什么，畫一個圓又不知道它的半徑，畫線段又沒有精確的長度。其實尺規(guī)作圖的用處很大，比如單用圓規(guī)找出一個圓的圓心，量度一個角的角度，等等。運用尺規(guī)作圖可以畫出與某個角相等的角，十分方便。尺規(guī)作圖的中基本作圖：作一條線段等于已知線段；作一個角等于已知角；作線段的垂直平分線；作已知角的角平分線；過一點作已知直線的垂線。 還有：已知一角、一邊做等腰三角形已知兩角、一邊做三角形已知一角、兩邊做三角形依據(jù)公理：還可以根據(jù)已知條件作三角形，一般分為已知三邊作三角形，已知兩邊及夾角作三角形，已

2、知兩角及夾邊作三角形等，作圖的依據(jù)是全等三角形的判定定理：SSS，SAS，ASA等。 注意：保留全部的作圖痕跡，包括基本作圖的操作程序，只有保留作圖痕跡，才能反映出作圖的操作是否合理。··尺規(guī)作圖方法：任何尺規(guī)作圖的步驟均可分解為以下五種方法：·通過兩個已知點可作一直線。·已知圓心和半徑可作一個圓。·若兩已知直線相交，可求其交點。·若已知直線和一已知圓相交，可求其交點。·若兩已知圓相交，可求其交點?！緦W習目標】1了解什么是尺規(guī)作圖2學會用尺規(guī)作圖法完成下列五種基本作圖：(1)畫一條線段等于已知線段；(2)畫一個角等

3、于已知角；(3)畫線段的垂直平分線；(4)過已知點畫已知直線的垂線；(5)畫角平分線3了解五種基本作圖的理由4學會使用精練、準確的作圖語言敘述畫圖過程5學會利用基本作圖畫三角形等較簡單的圖形6通過畫圖認識圖形的本質(zhì)，體會圖形的內(nèi)在美 【基礎(chǔ)知識精講】1尺規(guī)作圖：限定只用直尺和圓規(guī)來完成的畫圖，稱為尺規(guī)作圖注意：這里所指的直尺是沒有刻度的直尺，由于免去了度量，因此，用尺規(guī)作圖法畫出的圖形的精確度更高，它在工程繪圖等領(lǐng)域應(yīng)用比較廣泛2尺規(guī)作圖中的最基本、最常用的作圖稱為基本作圖3基本作圖共有五種：(1)畫一條線段等于已知線段如圖24-4-1，已知線段DE求作：一條線段等于已知線段作法：先

4、畫射線AB然后用圓規(guī)在射線AB上截取ACMN線段AC就是所要作的線段(2)作一個角等于已知角如圖24-4-2，已知AOB求作：AOB，使AOBAOB作法：作射線OA；以點O為圓心，以任意長為半徑作弧，交OA于C，交OB于D以點O為圓心，以O(shè)C長為半徑作弧，交OA于C以點C為圓心，以CD為半徑作弧，交前弧于D經(jīng)過點D作射線OB，AOB就是所求的角(3)作線段的垂直平分線如圖24-4-3，已知線段AB求作：線段AB的垂直平分線作法：分別以點A和點B為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧相交于點C和D作直線CD直線CD就是線段AB的垂直平分線注意：直線CD與線段AB的交點，就是AB的中點(4)經(jīng)過一點作已

5、知直線的垂線a經(jīng)過已知直線上的一點作這條直線的垂線，如圖24-4-4已知：直線AB和AB上一點C，求作：AB的垂線，使它經(jīng)過點C作法：作平角ACB的平分線CF直線CF就是所求的垂線，如圖24-4-4b經(jīng)過已知直線外一點作這條直線的垂線如圖24-4-5，已知：直線AB和AB外一點C求作：AB的垂線，使它經(jīng)過點C作法：任意取一點K，使K和C在AB的兩旁以C為圓心，CK長為半徑作弧，交AB于點D和E分別以D和E為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧交于點F作直線CF直線CF就是所求的垂線注意：經(jīng)過已知直線上的一點，作這條直線的垂線轉(zhuǎn)化成畫線段垂直平分線的方法解決(5)平分已知角如圖24-4-6，已知AOB

6、求作：射線OC，使AOCBOC作法：在OA和OB上，分別截取OD、OE分別以D、E為圓心，大于的長為半徑作弧，在AOB內(nèi)，兩弧交于點C作射線OCOC就是所求的射線注意：以上五種基本作圖是尺規(guī)作圖的基礎(chǔ)，一些復(fù)雜的尺規(guī)作圖，都是由基本作圖組成的，同學捫要高度重視，努力把這部分內(nèi)容學習好通過這一節(jié)的學習，同學們要掌握下列作圖語言：(1)過點×和點×畫射線××，或畫射線××(2)在射線××上截取××××(3)以點×為圓心，××為半徑畫弧(4)以點

7、15;為圓心，××為半徑畫弧，交××于點×(5)分別以點×，點×為圓心，以××，××為半徑作弧，兩弧相交于點×(6)在射線××上依次截取××××××(7)在×××的外部或內(nèi)部畫××××××注意：學過基本作圖后，在作較復(fù)雜圖時，屬于基本作圖的地方，不必重復(fù)作圖的詳細過程，只用一句話概括敘述就可以了如：(1)畫線

8、段××××(2)畫××××××(3)畫××平分×××，或畫×××的角平分線(4)過點×畫××××，垂足為點×(5)作線段××的垂直平分線××，等等但要注意保留全部的作圖痕跡，包括基本作圖的操作程序，不能因為作法的敘述省略而作圖就不按程序操作，只有保留作圖痕跡，才能反映出作圖的操作是否合理 【經(jīng)典例題精講】例1

9、  已知兩邊及其夾角，求作三角形如圖24-4-7，已知：，線段a、b，求作：ABC，使A，ABa，ACb作法：作MAN在射線AM、AN上分別作線段ABa，ACb連結(jié)BC如圖24-4-8，ABC即為所求作的三角形注意：一般幾何作圖題，應(yīng)有下面幾個步驟：已知、求作、作法，比較復(fù)雜的作圖題，在作圖之前可根據(jù)需要作一些分析 例2  如圖24-4-9，已知底邊a，底邊上的高h，求作等腰三角形已知線段a、h求作：ABC，使ABAC，且BCa，高ADh分析：可先作出底邊BC，根據(jù)等腰三角形的三線合一的性質(zhì)，可再作出BC的垂直平分線，從而作出BC邊上的高AD，

10、分別連結(jié)AB和AC，即可作出等腰ABC來作法：(1)作線段BCa(2)作線段BC的垂直平分線MN，MN與BC交于點D(3)在MN上截取DA，使DAh(4)連結(jié)AB、AC如圖24-4-10，ABC即為所求的等腰三角形 例3  已知三角形的一邊及這邊上的中線和高，作三角形如圖24-4-11，已知線段a，m，h(m>h)求作：ABC使它的一邊等于a，這邊上的中線和高分別等于m和h(m>h)分析：如圖24-4-12，假定ABC已作出，其中BCa，中線ADm，高AEh，在AED中ADm，AEh，AED90°，因此這個RtAED可以作出來(AED為奠基三

11、角形)當RtAED作出后，由的關(guān)系可作出點B和點C，于是ABC即可得到作法：(1)作AED，使AED90°，AEh，ADm(2)延長ED到B，使(3)在DE或BE的延長線上取(4)連結(jié)AB、AC則ABC即為所求作的三角形注意：因為三角形中，一邊上的高不能大于這邊上的中線，所以如果h>m，作圖題無解；若mh，則作出的圖形為等腰三角形 例4  如圖24-4-13，已知線段a求作：菱形ABCD，使其半周長為a，兩鄰角之比為12分析：因為菱形四邊相等，“半周長為a”就是菱形邊長為，為此首先要將線段a等分，又因為菱形對邊平行，則同旁內(nèi)角互補，由“鄰角之比為1

12、2”可知，菱形較小內(nèi)角為60°，則菱形較短對角線將菱形分成兩個全等的等邊三角形所以作圖時只要作出兩個有公共邊的等邊三角形，則得到的四邊形即為所求的菱形ABCD作法：(1)作線段a的垂直平分線，等分線段a(2)作線段AC，使(3)分別以A、C為圓心，為半徑，在AC的兩側(cè)畫弧，兩弧分別交于B，D(4)分別連結(jié)AB、BC、CD、DA得到四邊形ABCD，則四邊形ABCD為所求作的菱形(如圖24-4-14)注意：這種通過先畫三角形，然后再畫出全部圖形的方法即為“三角形奠基法” 例5  如圖24-4-15，已知AOB和C、D兩點求作一點P，使PCPD，且使點P到AO

13、B的兩邊OA、OB的距離相等分析：要使PCPD，則點P在CD的垂直平分線上，要使點P到AOB的兩邊距離相等，則P應(yīng)在AOB的角平分線上，那么滿足題設(shè)的P點就是垂直平分線與角平分線的交點了作法：(1)連結(jié)CD(2)作線段CD的中垂線l(3)作AOB的角平分線OM，交l于點P，P點為所求注意：這類定點問題應(yīng)需確定兩線，兩直線的交點即為定點，當然這兩直線應(yīng)分別滿足題目的不同要求 【中考考點】例6  (2000·安徽省)如圖24-4-16，直線表示三條相互交叉的公路，現(xiàn)要建一個貨物中轉(zhuǎn)站，要求它到三條公路的距離相等，則可供選擇的地址有(  &

14、#160; )A一處                                               

15、60; B二處C三處                                               

16、60; D四處分析：到直線距離相等的點在相交所構(gòu)成的角的平分線上，可利用作角平分線的方法找到這些點解：分別作相交所構(gòu)成的角平分線，共可作出六條，三條角平分線相交的交點共有四個答案：D注意：本題應(yīng)用了角平分線的性質(zhì)，在具體作圖時，不可只作出位于中心位置的一處，而要全面考慮其他滿足條件的點 例7  (2002·陜西省)如圖24-4-17，ABC是一塊直角三角形余料，C90°，工人師傅要把它加工成個正方形零件，使C為正方形的個頂點，其他三個頂點分別在AB、BC、AC邊上(1)試協(xié)助工人師傅用尺規(guī)畫出裁割線(不寫作法，保留作圖痕跡)；(2)工

17、人師傅測得AC80 cm，BC120cm，請幫助工人師傅算出按(1)題所畫裁割線加工成的正方形零件的邊長解：(1)作ACB的平分線與AB的交點E即為正方形頂點，作CE線段的中垂線HK與AC、BC的交點F、D即為所作正方形另兩個頂點，如圖24-4-17(2)設(shè)這個正方形零件的邊長為x cm，DEAC，x48答：這個正方形零件的邊長為48cm注意：本題是幾何作圖和幾何計算相結(jié)合題目，要求讀者對基本作圖務(wù)必掌握，同時對作出圖形的性質(zhì)要清楚 例8  (2002·山西省)如圖24-4-18，有一破殘的輪片(不小于半個輪)，現(xiàn)要制作一個與原輪片同樣大小的圓形零件，請

18、你根據(jù)所學的有關(guān)知識，設(shè)計兩種方案，確定這個圓形零件的半徑分析：欲確定這個圓形零件的半徑，可以借助三角板，T形尺或尺規(guī)作圖均可，圖中是這個零件的半徑，圖中OB是這個零件半徑解：如圖24-4-18所示 【常見錯誤分析】例9  如圖24-4-19，已知線段a、b、h求作ABC，使BCa，ACb，BC邊上的高ADh并回答問題，你作出的三角形唯一嗎？從中你可以得到什么結(jié)論呢？錯解：(1)作法：作RtADC，使ADh，ACb在直線CD上截取CBa如圖24-4-20，則ABC就是所求作的三角形(2)作出的三角形唯一(3)得出結(jié)論：有兩邊及一邊上的高對應(yīng)相等的兩三角形全等誤區(qū)分

19、析：本題錯解在于忽略了三角形的高可能在三角形內(nèi)部也可能在三角形的外部正解：如圖24-4-21，作法：作RtADC，使ADh，ACb在直線CD上截取CBa(在點C的兩側(cè))則ABC，ABC都是所求作三角形(2)作出的三角形不唯一(3)得出結(jié)論有兩邊及邊上的高對應(yīng)相等的兩三角形不一定全等注意：與三角形的高有關(guān)的題目應(yīng)慎之又慎 【學習方法指導(dǎo)】學習本單元基本作圖，主要是運用觀察法，通過具體的操作，了解各種基本作圖的步驟，掌握作圖語言 【規(guī)律總結(jié)】畫復(fù)雜的圖形時，如一時找不到作法，般是先畫出一個符合所設(shè)條件的草圖，再根據(jù)這個草圖進行分析，逐步尋找畫圖步驟有時，也可以根據(jù)已知條件和基本

20、作圖，先作局部三角形，再以此為基礎(chǔ)，根據(jù)有關(guān)條件畫出其余部分，從而完成全圖，這種方法稱為三角形奠基法考點一 尺規(guī)作圖 1定義：只用沒有刻度的直尺和圓規(guī)作圖叫做尺規(guī)作圖 2步驟： (1)根據(jù)給出的條件和求作的圖形，寫出已知和求作部分； (2)分析作圖的方法和過程； (3)用直尺和圓規(guī)進行作圖； (4)寫出作法步驟，即作法 考點二 五種基本作圖 1作一線段等于已知線段； 2作一個角等于已知角； 3作已知角的平分線； 4過一點作已知直線的垂線； 5作已知線段的垂直平分線 考點三 基本作圖的應(yīng)用 1利用基本作圖作三角形 (1)已知三邊作三角形； (2)已知兩邊及其夾角作三角形； (3)已知兩角及其夾邊

21、作三角形； (4)已知底邊及底邊上的高作等腰三角形； (5)已知一直角邊和斜邊作直角三角形 2與圓有關(guān)的尺規(guī)作圖 (1)過不在同一直線上的三點作圓(即三角形的外接圓) (2)作三角形的內(nèi)切圓 尺規(guī)作圖簡史：“規(guī)”就是圓規(guī)，是用來畫圓的工具，在我國古代甲骨文中就有“規(guī)”這個字.“矩”就像現(xiàn)在木工使用的角尺，由長短兩尺相交成直角而成，兩者間用木杠連接以使其牢固，其中短尺叫勾，長尺叫股.矩的使用是我國古代的一個發(fā)明，山東歷城武梁祠石室造像中就有“伏羲氏手執(zhí)矩，女媧氏手執(zhí)規(guī)”之圖形.矩不僅可以畫直線、直角，加上刻度可以測量，還可以代替圓規(guī).甲骨文中也有矩字，這可追溯到大禹治水(公元前2000年)前.史記卷二記載大禹治水時“左準繩，右規(guī)矩”.趙爽注周髀算經(jīng)中有“禹治洪水，望山川之形，定高下之勢，乃勾股之所由生也.”意即禹治洪水，要先測量地勢的高低，就必定要用勾股的道理.這也說明矩起源于很遠的中國古代.春秋時代也有不少著作涉及規(guī)矩的論述，墨子卷七中說“輪匠(制造車子的工匠)執(zhí)其規(guī)矩，以度天下之方圓.”孟子卷四中說“離婁(傳說中目力非常強的人)之明，公輸子(即魯班，傳說木匠的祖師)之巧，不以