高考數(shù)學(xué)-表面及體積選擇題專練30題

1、表面及體積選擇題專練30題一選擇題（共30小題）1有一個(gè)各條棱長均為的正四棱錐，現(xiàn)用一張正方形的包裝紙將其完全包住，不能裁剪，可以折疊，那么包裝紙的最小邊長為（）A（1+）aBaCaD（+）a2將棱長為3的正四面體的各頂點(diǎn)截去四個(gè)棱長為1的小正四面體（使截面平行于底面），所得幾何體的表面積為（）A7B6C3D93一個(gè)正四棱臺的上、下底面邊長分別為a、b，高為h，且側(cè)面及等于兩底面積之和，則下列關(guān)系正確的是（）ABCD4正四棱臺的上底面邊長為4，下底面邊長為6，高為，則該四棱臺的表面積為（）A92B52+20C40D50+205三棱錐的中截面面積與該三棱錐底面面積的比為（）A1：2B1：3C1：

2、4D1：56將一個(gè)邊長為a的正方體，切成27個(gè)全等的小正方體，則表面積增加了（）A6a2B12a2C18a2D24a27已知各面均為等邊三角形的三棱錐的棱長為2，則它的表面積是（）AB2C4D88已知某正方體對角線長為a，那么，這個(gè)正方體的全面積是（）AB2a2CD9（2008四川）若三棱柱的一個(gè)側(cè)面是邊長為2的正方形，另外兩個(gè)側(cè)面都是有一個(gè)內(nèi)角為60°的菱形，則該棱柱的體積等于（）ABCD10各棱長均為a的三棱錐的表面積為（）ABCD11棱長都是1的三棱錐的表面積為（）ABCD12（2004貴州）正三棱柱側(cè)面的一條對角線長為2，且與底面成45°角，則此三棱柱的體積為（）A

3、BCD13（2004陜西）正三棱錐的底面邊長為2，側(cè)面均為直角三角形，則此三棱錐的體積為（）ABCD14（2004山東）已知正四面體ABCD的表面積為S，其四個(gè)面的中心分別為E、F、G、H設(shè)四面體EFGH的表面積為T，則等于（）ABCD15（2007陜西）一個(gè)正三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在半徑為1的球面上，其中底面的三個(gè)頂點(diǎn)在該球的一個(gè)大圓上，則該正三棱錐的體積是（）ABCD16以正方體的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)作正四面體，則正方體的表面積與正四面體的表面積之比為（）A3：1BCD17一個(gè)圓臺的上、下底面面積分別是1cm2和49cm2，一個(gè)平行底面的截面面積為25cm2，m則這個(gè)截面與上、下底面的距離之比是（）A2

4、：1B3：1C：1D：118（2011遼寧）己知球的直徑SC=4，A，B是該球球面上的兩點(diǎn)AB=2，ASC=BSC=45°，則棱錐SABC的體積為（）ABCD19圓錐的側(cè)面展開圖是圓心角為的扇形，側(cè)面積為2，則過兩條母線的截面的最大面積為（）A2B3CD20圓臺的上、下底面半徑和高的比為1：4：4，母線長為10，則圓臺的側(cè)面積為（）A81B100C14D16921中心角為，面積為B的扇形圍成一個(gè)圓錐，若圓錐的表面積為A，則A：B等于（）A11：8B3：8C8：3D13：822（2011遼寧）已知球的直徑SC=4，A，B是該球球面上的兩點(diǎn)，AB=，ASC=BSC=30°，則棱

5、錐SABC的體積為（）A3B2CD123（2011湖北）設(shè)球的體積為V1，它的內(nèi)接正方體的體積為V2，下列說法中最合適的是（）AV1比V2大約多一半BV1比V2大約多兩倍半CV1比V2大約多一倍DV1比V2大約多一倍半24（2006山東）正方體的內(nèi)切球與其外接球的體積之比為（）A1：B1：3C1：3D1：925（2005江西）在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，沿AC將矩形ABCD折成一個(gè)直二面角BACD，則四面體ABCD的外接球的體積為（）ABCD26（2009陜西）若正方體的棱長為，則以該正方體各個(gè)面的中心為頂點(diǎn)的凸多面體的體積為（）ABCD27（2008湖北）用與球心距離為1的平面去截

6、球，所得的截面面積為，則球的體積為（）ABCD28（2005安徽）一個(gè)與球心距離為1的平面截球所得的圓面面積為，則球的表面積為（）AB8CD429（2004湖北）四面體ABCD四個(gè)面的重心分別為E、F、G、H，則四面體EFGH的表面積與四面體ABCD的表面積的比值是（）ABCD30（2000北京）一個(gè)圓錐的底面直徑和高都同一個(gè)球的直徑相等，那么圓錐與球的體積之比是（）A1：3B2：3C1：2D2：92012年12月必修二第一章表面及體積選擇題專練30題參考答案與試題解析一選擇題（共30小題）1有一個(gè)各條棱長均為的正四棱錐，現(xiàn)用一張正方形的包裝紙將其完全包住，不能裁剪，可以折疊，那么包裝紙的最小

7、邊長為（）A（1+）aBaCaD（+）a分析：根據(jù)題設(shè)，用一張正方形的包裝紙將其完全包住，近似于將正四棱錐的表面展開圖重新折回 因此，首先要將四棱錐的四個(gè)側(cè)面沿底面展開，觀察展開的圖形易得出包裝紙的對角線處在什么位置是，包裝紙面積最小，進(jìn)而獲得問題的解答解答：解：將正四棱錐沿底面將側(cè)面都展開如圖所示：當(dāng)以PP為正方形的對角線時(shí)，所需正方形的包裝紙的面積最小，此時(shí)邊長最小設(shè)此時(shí)的正方形邊長為x則：（PP）2=2x2， 又因?yàn)?，解得：故選C點(diǎn)評：本題體現(xiàn)了空間問題平面化的處理問題方法，考查分析解決問題能力以及問題轉(zhuǎn)化的思想強(qiáng)調(diào)的是所需的最小紙張是以PP為對角線的正方形，而非PP為中位線的正方形2

8、將棱長為3的正四面體的各頂點(diǎn)截去四個(gè)棱長為1的小正四面體（使截面平行于底面），所得幾何體的表面積為（）A7B6C3D9分析：先計(jì)算出原正四面體的表面積，再計(jì)算每截去一個(gè)小正四面體時(shí)，減少的表面積，然后求得結(jié)果解答：解：原正四面體的表面積為4×=9，每截去一個(gè)小正四面體，表面減小三個(gè)小正三角形，增加一個(gè)小正三角形，故表面積減少4×2×=2，故所得幾何體的表面積為7故選A3一個(gè)正四棱臺的上、下底面邊長分別為a、b，高為h，且側(cè)面及等于兩底面積之和，則下列關(guān)系正確的是（）ABCD專題：計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想分析：利用勾股定理求出斜高，求出側(cè)面積，利用題中的條件建立等式，化簡變

9、形等式解答：解：正四棱臺的斜高m=，由題意得 4×=a2+b2，（a+b）=a2+b2，（a+b）24h2+（a+b）2（ba）2=（a2+b2）2，（a+b）24h2=4a2b2，=，=+， 故選A點(diǎn)評：本題考查棱臺的結(jié)構(gòu)特征，求棱臺的側(cè)面積的方法，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想4正四棱臺的上底面邊長為4，下底面邊長為6，高為，則該四棱臺的表面積為（）A92B52+20C40D50+20分析：求出正四棱臺的斜高，直接利用棱臺的表面積公式求解即可解答：解：因?yàn)檎睦馀_的上底面邊長為4，下底面邊長為6，高為，則該四棱臺的斜高為：=2S表=S側(cè)+S上+S下=故選A點(diǎn)評：本題考查正四棱臺的表面積的求

10、法，求出斜高是解題的關(guān)鍵，考查計(jì)算能力5三棱錐的中截面面積與該三棱錐底面面積的比為（）A1：2B1：3C1：4D1：5分析：利用幾何體中，面積之比是相似比的平方，求出結(jié)果得到選項(xiàng)解答：解：因?yàn)槿忮F的中截面與該三棱錐底面是相似三角形，所以，故選C6將一個(gè)邊長為a的正方體，切成27個(gè)全等的小正方體，則表面積增加了（）A6a2B12a2C18a2D24a2分析：求出正方體的表面積，然后求出一個(gè)小正方體的表面積，即可得到結(jié)論解答：解：由題意可知正方體的表面積為：6a2；小正方體的棱長為：，小正方體的表面積為：6×=；27個(gè)全等的小正方體的表面積為：18a2，表面積增加了：12a2故選B點(diǎn)評

11、：本題是基礎(chǔ)題，考查正方體的表面積，的求法，考查計(jì)算能力，送分題7已知各面均為等邊三角形的三棱錐的棱長為2，則它的表面積是（）AB2C4D8分析：由題意知，三棱錐的各個(gè)面都是邊長為2的等邊三角形，求出一個(gè)面的面積，乘以4可得它的表面積解答：解：三棱錐的棱長為2，各面均為等邊三角形，三棱錐的一個(gè)側(cè)面的面積為 ×2×2×=，故它的表面積為4，故選 C點(diǎn)評：本題考查三棱錐的表面積的求法，等邊三角形的面積的計(jì)算方法8已知某正方體對角線長為a，那么，這個(gè)正方體的全面積是（）AB2a2CD分析：先求正方體的棱長，然后求全面積解答：解：設(shè)正方體的棱長為x，則有：a2=3x2，所

12、以正方體的表面積是6x2=2a2故選B點(diǎn)評：本題考查正方體的對角線和邊長的關(guān)系，是基礎(chǔ)題，學(xué)生必須會做題目9（2008四川）若三棱柱的一個(gè)側(cè)面是邊長為2的正方形，另外兩個(gè)側(cè)面都是有一個(gè)內(nèi)角為60°的菱形，則該棱柱的體積等于（）ABCD考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺的體積專題：計(jì)算題分析：先求側(cè)棱與底面所成角的余弦，然后求出棱柱的高，再求棱柱的體積解答：解：如圖在三棱柱ABCA1B1C1中，設(shè)AA1B1=AA1C1=60°，由條件有C1A1B1=60°，作AO面A1B1C1于點(diǎn)O，則故選B點(diǎn)評：此題重點(diǎn)考查立體幾何中的最小角定理和柱體體積公式，同時(shí)考查空間想象能力；具有較強(qiáng)

13、的空間想象能力，準(zhǔn)確地畫出圖形是解決此題的前提，熟悉最小角定理并能準(zhǔn)確應(yīng)用是解決此題的關(guān)鍵10各棱長均為a的三棱錐的表面積為（）ABCD分析：判斷三棱錐是正四面體，它的表面積就是四個(gè)三角形的面積，求出一個(gè)三角形的面積即可求解本題解答：解：由題意可知三棱錐是正四面體，各個(gè)三角形的邊長為a，三棱錐的表面積就是四個(gè)全等三角形的面積，即：4×=故選D點(diǎn)評：本題考查棱錐的側(cè)面積表面積，考查空間想象能力，計(jì)算能力，是基礎(chǔ)題11棱長都是1的三棱錐的表面積為（）ABCD分析：棱長都是1的三棱錐，四個(gè)面是全等的正三角形，求出一個(gè)面積即可求得結(jié)果解答：解：因?yàn)樗膫€(gè)面是全等的正三角形，則故選A點(diǎn)評：本題考

14、查棱錐的面積，是基礎(chǔ)題12（2004貴州）正三棱柱側(cè)面的一條對角線長為2，且與底面成45°角，則此三棱柱的體積為（）ABCD分析：先求正三棱柱的底面棱長，求出高，然后求底面面積，求出體積解答：解：因?yàn)檎庵鶄?cè)面的一條對角線長為2，且與底面成45°角，所以底面棱長為，高為所以此三棱柱的體積為：故選A點(diǎn)評：本題考查棱柱、棱錐、棱臺的體積，考查計(jì)算能力，是基礎(chǔ)題13（2004陜西）正三棱錐的底面邊長為2，側(cè)面均為直角三角形，則此三棱錐的體積為（）ABCD考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺的體積專題：計(jì)算題分析：先求正三棱錐的側(cè)棱長，然后求出體積解答：解：由題意正三棱錐的底面邊長為2，側(cè)面均

15、為直角三角形，可知：側(cè)棱長為，三條側(cè)棱兩兩垂直，所以此三棱錐的體積為故選C點(diǎn)評：本題考查棱錐的體積，考查學(xué)生的空間想象能力，邏輯思維能力，是基礎(chǔ)題14（2004山東）已知正四面體ABCD的表面積為S，其四個(gè)面的中心分別為E、F、G、H設(shè)四面體EFGH的表面積為T，則等于（）ABCD分析：因?yàn)檎拿骟w四個(gè)面都是正，其中心到頂點(diǎn)的距離等于到對邊距離的一半，通過作出輔助線，可得兩四面體的邊長比，由面積比是邊長比的平方，可得出答案解答：解：如圖所示，正四面體ABCD四個(gè)面的中心分別為E、F、G、H，四面體EFGH也是正四面體連接AE并延長與CD交于點(diǎn)M，連接AG并延長與BC交于點(diǎn)NE、G分別為面的中心

16、，=又MN=BD，=面積比是相似比的平方，兩四面體的面積比為；=故答案為：A點(diǎn)評：本題考查了多面體的面積比是邊長比的平方，本題關(guān)鍵是求邊長比是多少；類似的有體積比是邊長比的立方，三角形的高，中線，角平分線的比等于邊長的比15（2007陜西）一個(gè)正三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在半徑為1的球面上，其中底面的三個(gè)頂點(diǎn)在該球的一個(gè)大圓上，則該正三棱錐的體積是（）ABCD分析：由題意確定正三棱錐的頂點(diǎn)到底面的距離為1，求出正三棱柱的棱長，求出底面面積，然后可得體積解答：解：由題意易知正三棱錐的頂點(diǎn)到底面的距離為1底面是正三角形且球半徑為1底面邊長為，底面積為，V=××1=故選C點(diǎn)評：本題考查球

17、的內(nèi)接體的體積，考查空間想象能力，邏輯思維能力，是中檔題16以正方體的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)作正四面體，則正方體的表面積與正四面體的表面積之比為（）A3：1BCD分析：設(shè)出正方體的棱長，求出正方體的表面積，再求正四面體的表面積，求比值即可解答：解：設(shè)正方體的棱長為a，則正方體的表面積是 6a2，以正方體的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)作正四面體，棱長為，它的表面積是正方體的表面積與正四面體的表面積之比為故選B點(diǎn)評：本題考查棱柱、棱錐的表面積，是基礎(chǔ)題17一個(gè)圓臺的上、下底面面積分別是1cm2和49cm2，一個(gè)平行底面的截面面積為25cm2，則這個(gè)截面與上、下底面的距離之比是（）A2：1B3：1C：1D：1分析：根據(jù)圓臺數(shù)學(xué)底

18、面面積比，求出上下底面半徑的比，推出截面與上下底面半徑的比，求出圓臺擴(kuò)展為圓錐的高的比，然后求出截面分圓臺上下部分的距離之比解答：解：圓臺上下兩底面的半徑比為1：7，截面與底面半徑比為5：7，圓臺擴(kuò)展為圓錐，軸截面如圖：所以h2+h3=6h1，h2=4h1；所以h3=2h1這個(gè)截面與上、下底面的距離之比s：2：1故選A點(diǎn)評：本題是基礎(chǔ)題，考查圓臺有關(guān)面積的計(jì)算問題，注意面積之比與相似比的平方的關(guān)系，軸面積的應(yīng)用，?？碱}型、18（2011遼寧）己知球的直徑SC=4，A，B是該球球面上的兩點(diǎn)AB=2，ASC=BSC=45°，則棱錐SABC的體積為（）ABCD分析：由題意求出SA=AC=S

19、B=BC=2，SAC=SBC=90°，說明球心O與AB的平面與SC垂直，求出OAB的面積，即可求出棱錐SABC的體積解答：解：如圖：由題意求出SA=AC=SB=BC=2，SAC=SBC=90°，所以平面ABO與SC垂直，則進(jìn)而可得：VSABC=VCAOB+VSAOB，所以棱錐SABC的體積為：=故選C點(diǎn)評：本題是基礎(chǔ)題，考查球的內(nèi)接三棱錐的體積，考查空間想象能力，計(jì)算能力，球心O與AB的平面與SC垂直是本題的解題關(guān)鍵，?？碱}型19圓錐的側(cè)面展開圖是圓心角為的扇形，側(cè)面積為2，則過兩條母線的截面的最大面積為（）A2B3CD分析：根據(jù)圓錐的側(cè)面展開圖是圓心角為的扇形，側(cè)面積為2

20、，我們易計(jì)算出圓錐母線長及底面半徑，進(jìn)而得到圓錐軸截面的夾角（即過兩條件母線的截面的最大頂角）代入三角形面積公式S=l2sin（0），即可得到答案解答：解：圓錐的側(cè)面展開圖是圓心角為的扇形，側(cè)面積為2，則圓錐的母線長l=2，圓錐軸截面的頂角為過兩條母線的截面的S=l2sin（0）故當(dāng)=時(shí)，S取最大值2故選A點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是圓錐的側(cè)面積，截面面積，其中在計(jì)算過圓錐的兩條母線的截面的最大面積時(shí)，要分兩種情況，一是圓錐軸截面的夾角是銳角，此時(shí)軸軸截面面積最大，二是圓錐軸截面的夾角不是銳角，此時(shí)頂角為直角的軸截面面積最大20圓臺的上、下底面半徑和高的比為1：4：4，母線長為10，則圓臺的側(cè)面積

21、為（）A81B100C14D169分析：利用圓臺的兩底面的半徑、高、母線構(gòu)成一個(gè)直角梯形，構(gòu)造直角三角形利用勾股定理求出底面半徑，代入圓臺的面積公式進(jìn)行運(yùn)算解答：解：圓臺的上、下底面半徑和高的比為1：4：4，母線長為10，設(shè)圓臺上底面的半徑為 r，則下底面半徑和高分別為4r 和4r，由 100=（4r）2+（4rr）2 得，r=2，故圓臺的側(cè)面積等于（r+4r）l=（2+8）×10=100，故選 B點(diǎn)評：本題考查圓臺的側(cè)面積的求法，利用圓臺的兩底面的半徑、高、母線構(gòu)成一個(gè)直角梯形21中心角為，面積為B的扇形圍成一個(gè)圓錐，若圓錐的表面積為A，則A：B等于（）A11：8B3：8C8：3D

22、13：8分析：設(shè)扇形半徑為R，l為扇形弧長，也為圓錐底面周長，由扇形面積公式求得側(cè)面積，再利用展開圖的弧長為底面的周長，求得底面半徑，進(jìn)而求底面面積，從而求得表面積，最后兩個(gè)結(jié)果取比即可解答：解：設(shè)扇形半徑為R，l為扇形弧長，也為圓錐底面周長則S側(cè)=lR=|R2=R2，設(shè)圓錐底面圓半徑為r， 2r=|R=R， r=RS圓=r2=R2，故S表=S側(cè)+S底=R2+R2=R2 S表：S側(cè)=R2：R2=11：8故選A點(diǎn)評：本題主要考查圓錐的側(cè)面積和表面積的求法，同時(shí)，還考查了平面與空間圖形的轉(zhuǎn)化能力，屬基礎(chǔ)題22（2011遼寧）已知球的直徑SC=4，A，B是該球球面上的兩點(diǎn)，AB=，ASC=BSC=3

23、0°，則棱錐SABC的體積為（）A3B2CD1分析：設(shè)球心為點(diǎn)O，作AB中點(diǎn)D，連接OD，CD，說明SC是球的直徑，利用余弦定理，三角形的面積公式求出SSCD，和棱錐的高AB，即可求出棱錐的體積解答：解：設(shè)球心為點(diǎn)O，作AB中點(diǎn)D，連接OD，CD 因?yàn)榫€段SC是球的直徑，所以它也是大圓的直徑，則易得：SAC=SBC=90° 所以在RtSAC中，SC=4，ASC=30° 得：AC=2，SA=2又在RtSBC中，SC=4，BSC=30° 得：BC=2，SB=2 則：SA=SB，AC=BC因?yàn)辄c(diǎn)D是AB的中點(diǎn)所以在等腰三角形ASB中，SDAB且SD=在等腰三角

24、形CAB中，CDAB且CD=又SD交CD于點(diǎn)D 所以：AB平面SCD 即：棱錐SABC的體積：V=ABSSCD，因?yàn)椋篠D=，CD=，SC=4 所以由余弦定理得：cosSDC=（SD2+CD2SC2）=（+16）= 則：sinSDC=由三角形面積公式得SCD的面積S=SDCDsinSDC=3 所以：棱錐SABC的體積：V=ABSSCD= 故選C點(diǎn)評：本題是中檔題，考查球的內(nèi)接棱錐的體積的求法，考查空間想象能力，計(jì)算能力，有難度的題目，?？碱}型23（2011湖北）設(shè)球的體積為V1，它的內(nèi)接正方體的體積為V2，下列說法中最合適的是（）AV1比V2大約多一半BV1比V2大約多兩倍半CV1比V2大約多

25、一倍DV1比V2大約多一倍半分析：設(shè)出球的半徑，求出球的體積，內(nèi)接正方體的體積，然后比較即可得到正確選項(xiàng)解答：解：設(shè)球的半徑為r，所以球的體積為：；球的內(nèi)接正方體的對角線就是球的直徑，所以正方體的棱長為：，正方體的體積為：=； 所以= 故選D點(diǎn)評：本題是基礎(chǔ)題，考查球的體積，球的內(nèi)接正方體的體積，考查計(jì)算能力，?？碱}型24（2006山東）正方體的內(nèi)切球與其外接球的體積之比為（）A1：B1：3C1：3D1：9分析：設(shè)出正方體的棱長，分別求出正方體的內(nèi)切球與其外接球的半徑，然后求出體積比解答：解：設(shè)正方體的棱長為a，則它的內(nèi)切球的半徑為，它的外接球的半徑為，故所求的比為1：3，選C點(diǎn)評：本題考查正

26、方體的內(nèi)切球和外接球的體積，是基礎(chǔ)題25（2005江西）在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，沿AC將矩形ABCD折成一個(gè)直二面角BACD，則四面體ABCD的外接球的體積為（）ABCD分析：球心到球面各點(diǎn)的距離相等，即可知道外接球的半徑，就可以求出其體積了解答：解：由題意知，球心到四個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，所以球心在對角線AC上，且其半徑為AC長度的一半，則V球=×（）3= 故選C點(diǎn)評：本題考查學(xué)生的思維意識，對球的結(jié)構(gòu)和性質(zhì)的運(yùn)用，是基礎(chǔ)題26（2009陜西）若正方體的棱長為，則以該正方體各個(gè)面的中心為頂點(diǎn)的凸多面體的體積為（）ABCD分析：由題意可知，凸多面體為八面體，八面體體積是兩個(gè)底面邊長為1，高為的四棱錐，求出棱錐的體積，即可求出八面體的體積解答：解：所求八面體體積是兩個(gè)底面邊長為1，高為的四棱錐的體積和，一個(gè)四棱錐體積V1=×1×=，故八面體體積V=2V1=故選B點(diǎn)評：本題是基礎(chǔ)題，開心棱錐的體積，正方體的內(nèi)接多面體，體積的求法常