淺論數(shù)學(xué)問題的解題過程

1、淺論數(shù)學(xué)問題的解題過程四川省達川第四中學(xué)廖德榮數(shù)學(xué)問題雖形形色色、不計其數(shù)，但由于數(shù)學(xué)本身是一門源于實際、服務(wù)生活的自然學(xué)科，只要我們用系統(tǒng)論的觀點去認識、探究，就會或多或少的發(fā)現(xiàn)一些潛在的規(guī)律。在教學(xué)實踐的過程中，通過對解題過程的歸納、總結(jié)，筆者認為解決數(shù)學(xué)問題的過程也是一項系統(tǒng)工程，它可分為條件系統(tǒng)、目標系統(tǒng)、知識系統(tǒng)、思維系統(tǒng)、方法系統(tǒng)等幾個主要部分。條件系統(tǒng)，含數(shù)學(xué)問題中存在的已知信息，它是依據(jù)問題的情景，客觀存在或給定的已知事實，是解題的直接依據(jù)；目標系統(tǒng)，即在條件系統(tǒng)基礎(chǔ)上，按數(shù)學(xué)本身的客觀規(guī)律必然或可能發(fā)生的結(jié)果，是解題的終極；知識系統(tǒng)，指在運用條件系統(tǒng)

2、或?qū)崿F(xiàn)目標系統(tǒng)的過程中，直接或間接涉及到的數(shù)學(xué)定義、公理、公式、法則、定理（性質(zhì)或判定）、推論等，它是解題的必要工具；思維系統(tǒng)，指充分運用智力因素，通過觀察、比較、嘗試、直覺、頓悟、回憶、類比、特殊化、一般化、反例、歸納、演譯、聯(lián)想、想象、猜想等思維活動，產(chǎn)生與條件系統(tǒng)相匹配，指向目標系統(tǒng)的切實、有效地設(shè)想（常稱基本數(shù)學(xué)思想），它是解決問題的指導(dǎo)思想，也是決定解題成敗的關(guān)鍵；方法系統(tǒng)，含在具體數(shù)學(xué)思想指導(dǎo)下，針對條件系統(tǒng)與目標系統(tǒng)的差異，在充分利用相關(guān)知識系統(tǒng)的有效信息的原則下，設(shè)計具體的解題方案，選擇并運用有效地解題手段、方法（常稱基本數(shù)學(xué)方法），以逐步消除差異，最終達到目標。同一數(shù)學(xué)問題呈

3、現(xiàn)在具有相同知識系統(tǒng)的不同解題者面前，理論上說，似應(yīng)有相同的解題效果，但實際情況卻不盡然！究其原因，問題存在于思想與方法系統(tǒng)中，事實上，不僅具有相同智商的人的數(shù)學(xué)思想水平不盡相同，而且其數(shù)學(xué)方法、解題經(jīng)驗也存在差異。隨著課改的深入，一方面，對數(shù)學(xué)知識系統(tǒng)有明顯削弱，但另一方面，隨著科學(xué)技術(shù)的不斷發(fā)展，數(shù)學(xué)問題的情景更加復(fù)雜，其難度又在不斷增加，因而，對數(shù)學(xué)能力的要求也越來越高，對此，解題者具備更好的數(shù)學(xué)思想，掌握更多的數(shù)學(xué)方法尤為重要。在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)活動中，涉及的基本數(shù)學(xué)思想主要有方程（組）思想、不等式（組）思想、函數(shù)思想、消元思想、降次思想、化歸思想、劃分思想、基本量思想等?；緮?shù)學(xué)方法主要

4、有待定系數(shù)法、配方法、換元法、數(shù)形結(jié)合法、分析法、綜合法、演繹法、歸納法、反證法、放縮法等。當然，數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)方法不是絕對獨立的，它們相輔相成，互相滲透，有不可分割的聯(lián)系。對目標系統(tǒng)與條件系統(tǒng)之間差異較小的數(shù)學(xué)問題，涉及的知識與方法較少，解題較易，但對于條件與目標之間差異大、情景復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題，涉及的知識與方法也較多，解題難度大，此時，欲收到好的解題效果，解題者除必備相關(guān)數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)思想與方法外，思維素質(zhì)與方法顯得尤為關(guān)鍵。一般地，高素質(zhì)的思維應(yīng)具有科學(xué)性、廣泛性、深刻性、敏捷性、靈活性、批判性、獨立性等特征。筆者認為，科學(xué)思維的程序是觀察一比較一聯(lián)想一想象(猜想)。茲舉兩例如下：.3.3

5、例1、已知ab2,ab1,求ab的值。思路一：用立方和公式(常規(guī)經(jīng)驗型，解法1略)思路二：解方程組后代入求值(基本技能型，解法2略)思路三：恰當變形，整體代換(異于思路一，思維、能力型)3解法3:由ab2得(ab)8即a33a2b3ab2b38a3b383ab(ab)83(1)214解法4：(a2b2)(ab)a3a2bab2b3a3b3(a2b2)(ab)ab(ab)222(a2b2)(1)22(ab)22ab22222(1)214解法5:a3b3a3a2ba2bb3a2(ab)b(ab)(ab)2a22b(ab)222a22ab2b22(a2b2)2(1)222(a2b2)2ab214例2

6、、設(shè)a,b,c是AABC的三邊長(a,b,c邊的對角分別是A,B,C),ab,/C=57,求/B的度數(shù)。abc分析：ABCt,=/A+/B+/C=180且/C=57,./A+/B=123°。欲求/B,需建立含/A、/B的方程組（另找一個含/A、/B的等式！），為簡便,先對條件等式整式化，得b2a2ac（I）,對此，給出如下三種解法。思想方法一：以（I）為載體，借助正弦定理，運用消元的思想尋求關(guān)于/A、/B的方程略解 1:設(shè) sin A sin Bcsin Ck(k 0),則第7頁aksinA,bksinB,cksinC,代入(I)并消去k,得2_2，一sinAsinAsinCsinB

7、(1)1 cos2A2sin A sin( AB)1 cos2B22sin A sin( AB) cos2A cos2B2sin A sin(A B)2sin( A B) sin(A B)(2),-A+B=123sin(AB)0,由(2)得sinAsin(AB)sin(BA)(3)-B,A(0,),BA(,)由(3)得ABA或A(BA)或A(BA)解得B2A或B(舍去)._rAB123在TJ/曰_cc由解得B82B2A思想方法二：因（I）中a,b,c之間的特征與余弦定理中邊的特征有類似'之處，故可考慮借助余弦定理探求角的聯(lián)系。略解2:;b2a2ac,且22.2acbcosB2ac222

8、acaaccacosB2ac2a即2acosBcaaksinA,bksinB,cksinC(k0)2ksinAcosBksinCksinA2sinAcosBsin(AB)sinA2sinAcosBsinAcosBcosAsinBsinAsinAsinBcosAcosBsinAsin（BA）同解法1得B2A（以下略）思想方法三：由（I）易得b2a（ac）（H）而（H）說明b是a與（ac）的比例中項，故可在ABC的基礎(chǔ)上構(gòu)造恰當?shù)南嗨迫切?，期望發(fā)現(xiàn)其角的內(nèi)在聯(lián)系略解3：由條件等式得b2a（ac）,如左圖，在ABC中，延長CB至點D,使BD=BA連結(jié)AR/c/BAb2:ba(ac)CA2CBCD即CACDCBCAvZACBWDCA.ABSADAC丁/BACWD又易知/ABC=ZD；/ABC=ZBAC（即/B=2/A）,易得/B=82°。顯然，解法1中由（1）式到（2）式用到降次與消元的思想方法。而解法3則用到數(shù)形結(jié)合的重要思想方法。解決數(shù)學(xué)問題是各系統(tǒng)之間的一個復(fù)雜而有序的循環(huán)往復(fù)的過程，它以思維為主導(dǎo)，知識與方法為主體，在條件系統(tǒng)與目標系統(tǒng)之間，通過信息收集、儲存、篩選、整合、輸出，構(gòu)建有效的解題方案，其基本流程可用框圖表示如