高等數(shù)學(xué)76空間曲線及其方程

1、76 空間曲線及其方程空間曲線及其方程一、空間曲線的一般方程一、空間曲線的一般方程二、空間曲線的參數(shù)方程二、空間曲線的參數(shù)方程三、空間曲線在坐標(biāo)面上的投影三、空間曲線在坐標(biāo)面上的投影空間曲線的一般方程曲線關(guān)于坐標(biāo)面的投影柱面和投影曲線投影柱面和投影曲線的方程一、空間曲線的一般方程一、空間曲線的一般方程 空間曲線可以看作兩個曲面的交線xyzO兩曲面的交線 空間曲線可以看作兩個曲面的交線xyzO兩平面的交線一、空間曲線的一般方程一、空間曲線的一般方程所以應(yīng)滿足方程組 設(shè)F (x，y，z) 0和G (x，y，z) 0是兩個曲面方程，它們的交線為C 因為曲線C上的任何點的坐標(biāo)應(yīng)同時滿足這兩個方程， 反

2、過來，如果點 M 不在曲線C上，xyzO那么它不可能同時在兩個曲面上， 所以它的坐標(biāo)不滿足此方程組 因此， 曲線C可以用上述方程組來表示上述方程組叫做空間曲線C的一般方程F (x, y, z)0G (x, y, z)0C. 0),(, 0),(zyxGzyxF 解 方程組中第一個方程表示母線平行于 z 軸的圓柱面，準(zhǔn)線是 xOy 面上的圓，圓心在原點O，半行為1方程組中第二個方程表示一個母線平行于 y 軸的柱面，由于它的準(zhǔn)線是zOx 面上的直線，因此它是一個平面方程組就表示上述平面與圓柱面的交線xyzO632, 122zxyx 例1 方程組表示怎樣的曲線？ 例1表示上述半球面與圓柱面的交線 解

3、 方程組中第一個方程表示球心在坐標(biāo)原點O， 半行為a的上半球面第二個方程表示母線平行于z軸的圓柱面， 它的準(zhǔn)線是xOy 面上的圓，方程組就xyzO2a2a這圓的圓心在點( ，0)，半行為 22222222,ayaxyxaz 例1 方程組表示怎樣的曲線？ 例2二、空間曲線的參數(shù)方程二、空間曲線的參數(shù)方程 空間曲線C的方程除了一般方程之外， 也可以用參數(shù)形式表只要將C上動點的坐標(biāo)x、y、z表示為參數(shù)t的函數(shù)：示，當(dāng)給定tt 1時， 就得到C上的一個點(x1，y1，z1) ；隨著t的變動上述方程組叫做空間曲線的參數(shù)方程便得曲線C上的全部點).(),(),(tzztyytxx 例3 如果空間一點M 在

4、圓柱面x 2y 2a 2 上以角速度w繞z軸旋轉(zhuǎn)，同時又以線速度v 沿平行于z軸的正方向上升(其中w、v都是常數(shù))，那么點M構(gòu)成的圖形叫做螺旋線 試建立其參數(shù)方程xyzO經(jīng)過時間t，動點由A運(yùn)動到M (x，y，z) 解取時間t 為參數(shù)設(shè)當(dāng)t0時，動點位于x軸上的一點A(a，0，0)處則 xa cosw t，ya sinw tzv t 因此螺旋線的參數(shù)方程為Mw txyOM w tA.,sin,cosvtztaytaxww 螺旋線的參數(shù)方程的其它形式：令qwt ，則.,sin,cosqqqbzayax其中 wvb 三、空間曲線在坐標(biāo)面上的投影三、空間曲線在坐標(biāo)面上的投影 類似地可以定義曲線C在其

5、它坐標(biāo)面上的投影 以曲線C為準(zhǔn)線、 母線平行于z軸的柱面叫做曲線C關(guān)于xOy面的投影柱面，投影柱面與xOy面的交線叫做空間曲線C在xOy 面上的投影曲線，或簡稱投影xyzO投影柱面投影曲線C 設(shè)空間曲線C的一般方程為則由此方程組消去變量 z 后所得的方程H (x，y) 0就是曲線C關(guān)于xOy面的投影柱面 曲線C在xOy 面上的投影曲線的方程為：x yzOC. 0),(, 0),(zyxGzyxF. 0, 0),(zyxH討論： 1、曲線C關(guān)于yO z 面和zOx 面的投影柱面的方程是什么？ 2、曲線C在yO z 面和zOx 面上的投影曲線的方程是什么？求它們的交線C在xOy面上的投影方程 例4 已知兩球面的方程為x 2y 2z 21 和 x 2(y1) 2(z1) 21，兩球面的交線C在xOy面上的投影方程為 解 兩方程相減，得將z1y代入其中一個方程，得這就是交線C關(guān)于xOy面的投影柱面方程 yz1x 22y 22y0. 0, 02222zyyx求它在xOy面上的投影xyzO)(322yxz所圍成，224yxz 例5 設(shè)一個立體由上半球面和錐面 例5關(guān)于xOy面的投影柱面， 解 由兩方程消去 z 得到x 2y 21這是一個母線平行于 z 軸的圓柱面，它恰好是半球面與錐面的交線C線C在xOy面上的投影曲線為因此交該圓在xOy面上所圍的部分:x 2y 21這是xOy面上的一