初中數(shù)學(xué)壓軸題--動(dòng)態(tài)幾何證明及實(shí)驗(yàn)題

1、動(dòng)態(tài)幾何證明及實(shí)驗(yàn)題所謂動(dòng)態(tài)幾何是指題設(shè)圖形中存在一個(gè)或多個(gè)動(dòng)點(diǎn)，它們?cè)诰€段、射線或弧線上運(yùn)動(dòng)的一類開放性題目解決這類問題的關(guān)鍵是動(dòng)中求靜，靈活運(yùn)用有關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題此類題目注重對(duì)幾何圖形運(yùn)動(dòng)變化能力的考查動(dòng)態(tài)幾何問題是近幾年各地試題中常見的壓軸試題，它能考查學(xué)生的多種能力，有較強(qiáng)的選拔功能。解這類題目要“以靜制動(dòng)，即把動(dòng)態(tài)問題，變?yōu)殪o態(tài)問題來解。解動(dòng)態(tài)幾何題一般方法是針對(duì)這些點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)變化的過程中相伴隨著的數(shù)量關(guān)系如等量關(guān)系、變量關(guān)系、圖形位置關(guān)系如圖形的特殊狀態(tài)、圖形間的特殊關(guān)系等進(jìn)行研究考察抓住變化中的“不變量，以不變應(yīng)萬變實(shí)驗(yàn)操作【要點(diǎn)導(dǎo)航】通過實(shí)驗(yàn)操作觀察猜想科學(xué)論證，使我們體驗(yàn)和學(xué)

2、到了發(fā)現(xiàn)、獲得知識(shí)的過程和方法. 實(shí)驗(yàn)操作探索理解題意、實(shí)驗(yàn)操作是根本保證，觀察猜想、探索結(jié)論是關(guān)鍵，論證猜想的結(jié)論是落實(shí).【典例精析】例1 取一張矩形紙片進(jìn)行折疊，具體操作過程如下：第一步：先把矩形ABCD對(duì)折，折痕為MN，如圖1；第二步：再把B點(diǎn)疊在折痕線MN上，折痕為AE，點(diǎn)B在MN上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B，得RtABE，如圖2；第三步：沿EB線折疊得折痕EF，使A點(diǎn)落在EC的延長(zhǎng)線上，如圖3利用展開圖4探究：1AEF是什么三角形？證明你的結(jié)論；2對(duì)于任一矩形，按照上述方法能否折出這種三角形？請(qǐng)說明你的理由圖1圖2圖3圖4【思路分析】1圖形翻折后能重疊局部的圖形全等，所以BEA=AEB=FEC，它

3、們都是60角，所以AEF是等邊三角形2由操作可知AFAD時(shí)，不能完整折出這種三角形當(dāng)圖3中的點(diǎn)F、D重合時(shí)，便可求得矩形的長(zhǎng)與寬的比例為2解1AEF是等邊三角形由折疊過程可得：因?yàn)锽CAD，所以所以AEF是等邊三角形 2不一定當(dāng)矩形的長(zhǎng)恰好等于等邊AEF的邊AF時(shí)，即矩形的寬長(zhǎng)ABAF時(shí)正好能折出如果設(shè)矩形的長(zhǎng)為A，寬為B，可知當(dāng)時(shí)，按此種方法一定能折疊出等邊三角形；當(dāng)時(shí)，按此法無法折出完整的等邊三角形方法點(diǎn)睛要從操作實(shí)驗(yàn)題中抽象出數(shù)學(xué)模型來，并借助圖形運(yùn)動(dòng)的根本性質(zhì)求解ABCM例2 ：在ABC中，BAC=90，M為BC中點(diǎn)操作：將三角板的90角的頂點(diǎn)與點(diǎn)M重合，并繞著點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)，角的兩邊分別與

4、邊AB、AC相交于點(diǎn)E、F1探究1：線段BE、EF、FC是否能構(gòu)成三角形？如果可以構(gòu)成三角形，那么是什么形狀的三角形？請(qǐng)證明你的猜想2探究2：假設(shè)改變?yōu)椋骸敖堑膬蛇叿謩e與邊AB、直線AC相交于點(diǎn)E、F其它條件都不變的情況下，那么結(jié)論是否還存在？請(qǐng)畫出對(duì)應(yīng)的圖形并請(qǐng)證明你的猜想思路分析1由點(diǎn)M是BC中點(diǎn)，所以構(gòu)造繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)180重合的全等三角形，將線段BE、EF、FC移到同一個(gè)三角形中標(biāo)注三角板為陰影FCG為陰影ABCMEFG2當(dāng)角的兩邊分別與邊AB、直線AC相交于點(diǎn)E、F時(shí)，構(gòu)造和證明的方法不變標(biāo)注三角板為陰影ABCMEFG圖3FCG為陰影FCG為陰影ABCMEFG圖2證明1線段BE、EF、F

5、C可以構(gòu)成直角三角形如圖1，延長(zhǎng)EM到G，使得EM=MG，聯(lián)結(jié)GC、FG因?yàn)镸為BC中點(diǎn)，所以BM=CM，又因?yàn)镋MB =GMC，EM=MG，所以EMBGMC，所以BE=GC，EM=MG，B=MCG因?yàn)镕M垂直平分EG，所以FE=FG又因?yàn)锽AC=90，所以B+ACB=90，所以MCG +ACB=90，即FCG=90，所以，所以標(biāo)注三角板為陰影2如圖2，當(dāng)點(diǎn)F在CA的延長(zhǎng)線上時(shí)，延長(zhǎng)EM到G，使得EM=MG，聯(lián)結(jié)GC、FG因?yàn)镸為BC中點(diǎn)，所以BM=CM，又因?yàn)镋MB =GMC，EM=EG，所以EMBGMC，所以BE=GC，EM=MG，B=MCG因?yàn)镕M垂直平分EG，所以FE=FG又因?yàn)锽AC

6、=90，所以B+ACB=90，所以MCG +ACB=90，即FCG=90，所以，所以如圖3，當(dāng)點(diǎn)F在AC的延長(zhǎng)線上時(shí)，同理可證方法點(diǎn)睛線段之間常見的關(guān)系是和差關(guān)系或者滿足勾股定理假設(shè)能將所要求線段移動(dòng)到同一條直線上，那么線段之間是和差關(guān)系的可能性較大，假設(shè)能將所要求線段移動(dòng)后能構(gòu)成三角形，那么線段之間滿足勾股定理的可能性較大【星級(jí)訓(xùn)練】 第 天 ，年 月 日 1. 如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E在邊AB上點(diǎn)E與點(diǎn)A、B不重合，過點(diǎn)E作FGDE，F(xiàn)G與邊BC相交于點(diǎn)F，與邊DA的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)G1操作：由幾個(gè)不同的位置，分別測(cè)量BF、AG、AE的長(zhǎng)，從中你能發(fā)現(xiàn)BF、AG、AE的數(shù)量之間具有怎樣

7、的關(guān)系？并證明你所得到的結(jié)論；2連結(jié)DF，如果正方形的邊長(zhǎng)為2，設(shè)AE=，DFG的面積為，求與之間的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的定義域；3如果正方形的邊長(zhǎng)為2，F(xiàn)G的長(zhǎng)為，求點(diǎn)C到直線DE的距離DACB供試驗(yàn)操作用GFEDACB2. 操作：將一把三角尺放在邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD上，并使它的直角頂點(diǎn)P在對(duì)角線AC上滑動(dòng)，直角的一邊始終經(jīng)過點(diǎn)B，另一邊與射線DC相交于點(diǎn)Q探究：設(shè)A、P兩點(diǎn)間的距離為x1當(dāng)點(diǎn)Q在邊CD上時(shí)，線段PQ與線段PB之間有怎樣的大小關(guān)系？試證明你觀察得到結(jié)論；2當(dāng)點(diǎn)Q在邊CD上時(shí)，設(shè)四邊形PBCQ的面積為y，求y與x之間的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的定義域；3當(dāng)點(diǎn)P在線段AC上滑

8、動(dòng)時(shí)，PCQ是否可能成為等腰三角形？如果可能，指出所有能使PCQ成為等腰三角形的點(diǎn)Q的位置，并求出相應(yīng)的x的值；如果不可能，試說明理由圖5、圖6、圖7的形狀大小相同，圖5供操作、實(shí)驗(yàn)用，圖6和圖7備用DACB圖7DACB圖6DACB圖53. 在ABC中，AB=AC，CGBA交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G一等腰直角三角尺按如圖1所示的位置擺放，該三角尺的直角頂點(diǎn)為F，一條直角邊與AC邊在一條直線上，另一條直角邊恰好經(jīng)過點(diǎn)B1在圖1中請(qǐng)你通過觀察、測(cè)量BF與CG的長(zhǎng)度，猜想并寫出BF與CG滿足的數(shù)量關(guān)系，然后證明你的猜想；2當(dāng)三角尺沿AC方向平移到圖2所示的位置時(shí)，一條直角邊仍與AC邊在同一直線上，另一條直

9、角邊交BC邊于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作DEBA于點(diǎn)E此時(shí)請(qǐng)你通過觀察、測(cè)量DE、DF與CG的長(zhǎng)度，猜想并寫出DEDF與CG之間滿足的數(shù)量關(guān)系，然后證明你的猜想；3當(dāng)三角尺在2的根底上沿AC方向繼續(xù)平移到圖3所示的位置點(diǎn)F在線段AC上，且點(diǎn)F與點(diǎn)C不重合時(shí)，2中的猜想是否仍然成立？不用說明理由4. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線l是第一、三象限的角平分線實(shí)驗(yàn)與探究：1由圖觀察易知A0，2關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為2，0，請(qǐng)?jiān)趫D中分別標(biāo)明B(5,3) 、C(-2,5) 關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)、的位置，并寫出他們的坐標(biāo)： 、 ；歸納與發(fā)現(xiàn)：2結(jié)合圖形觀察以上三組點(diǎn)的坐標(biāo)，你會(huì)發(fā)現(xiàn)：坐標(biāo)平面內(nèi)任一點(diǎn)P(a,b)關(guān)于

10、第一、三象限的角平分線l的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為 不必證明；運(yùn)用與拓廣：3兩點(diǎn)D(1,-3)、E(-1,-4)，試在直線l上確定一點(diǎn)Q，使點(diǎn)Q到D、E兩點(diǎn)的距離之和最小，并求出Q點(diǎn)坐標(biāo)探索性問題探索性問題是指命題中缺少一定的條件或無明確的結(jié)論，需要經(jīng)過推斷，補(bǔ)充并加以證明的題型探索性問題一般有三種類型：1條件探索型問題；2結(jié)論探索型問題；3探索存在型問題條件探索型問題是指所給問題中結(jié)論明確，需要完備條件的題目；結(jié)論探索型問題是指題目中結(jié)論不確定，不唯一，或題目結(jié)論需要類比，引申推廣，或題目給出特例，要通過歸納總結(jié)出一般結(jié)論；探索存在型問題是指在一定的前提下，需探索發(fā)現(xiàn)某種數(shù)學(xué)關(guān)系是否存在的題目條件探索

11、【要點(diǎn)導(dǎo)航】 “探索是人類認(rèn)識(shí)客觀世界過程中最生動(dòng)、最活潑的思維活動(dòng)，探索性問題存在于一切學(xué)科領(lǐng)域之中，數(shù)學(xué)中的“條件探索題型，是指命題中缺少一定的題設(shè)，需經(jīng)過推斷、補(bǔ)充并加以證明的命題，因而必須利用題設(shè)大膽猜想、分析、比較、歸納、推理，由結(jié)論去探索未給予的條件。由于題型新穎、綜合性強(qiáng)、結(jié)構(gòu)獨(dú)特，此類問題的一般解題思路并無固定模式或套路，因而具體操作時(shí)要更注重?cái)?shù)學(xué)思想方法的綜合應(yīng)用【典例精析】例1 如圖，在線段的同側(cè)作正方形和正方形，連結(jié)并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，過作，垂足為，交于點(diǎn)設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為11證明CMGNBP；2設(shè)BE=x，四邊形MGBN的面積為y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出定義域3如果按照

12、題設(shè)方法作出的四邊形是菱形，求BE的長(zhǎng)4聯(lián)結(jié)PG，假設(shè)能否成為直角三角形？如果能，求BE的長(zhǎng)；如果不能，請(qǐng)說明理由5聯(lián)結(jié)AC、AF、CF，求證ACF的面積為定值 思路分析1第3小題把四邊形是菱形作為條件探索BE的長(zhǎng)2中PBG始終是45，而BPG和PGB有可能為90，要分情況討論3第5小題即可用割補(bǔ)法求也可用利用ACBF將ACF的面積轉(zhuǎn)化為ABC的面積證明1因?yàn)?正方形ABCD，所以 ，同理因?yàn)?CD/BE，所以 ，因?yàn)?，垂足為N，所以 所以 四邊形BCMN是矩形所以 ，又 因?yàn)?， ，所以 CMGNBP2因?yàn)?正方形BEFG，所以 ，所以 從而 ，所以 定義域?yàn)椋?由易得 MN/BC，MG/

13、BP所以四邊形BGMP是平行四邊形要使四邊形BGMP是菱形那么BG=MG，所以解得所以 時(shí)四邊形BGMP是菱形 4如圖2，當(dāng)PGB90時(shí)，BGPGMC，即，解得，所以BE的長(zhǎng)為如圖3，當(dāng)GPB90時(shí)，BG2MC，即，解得，所以BE的長(zhǎng)為圖4QHG圖3圖25如圖4：或者，由于，因此所以，或者因?yàn)锽FAC，所以點(diǎn)B和F到AC的距離相等，即AFC和ABC同底等高，所以方法點(diǎn)睛第5小題表達(dá)了圖形運(yùn)動(dòng)中的不變性，正方形的邊長(zhǎng)雖然改變但是AFC的面積不變ABCDMN圖3ABCDMN圖1例2 在等邊ABC的兩邊AB、AC所在直線上分別有兩點(diǎn)M、ND為ABC外一點(diǎn)，且MDN60，BDC120，BDDC 探究：

14、當(dāng)M、N分別在直線AB、AC上移動(dòng)時(shí)，BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系及AMN的周長(zhǎng)Q與等邊ABC的周長(zhǎng)L的關(guān)系A(chǔ)BCDMN圖21如圖1所示，當(dāng)點(diǎn)M、N在邊AB、AC上，且DMDN時(shí)，BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系是 ； 此時(shí) ；不必證明2如圖2所示，點(diǎn)M、N在邊AB、AC上，且當(dāng)DMDN時(shí)，猜想1問的兩個(gè)結(jié)論還成立嗎？寫出你的猜想并加以證明； 3 如圖3所示，當(dāng)M、N分別在邊AB、CA的延長(zhǎng)線上時(shí)，假設(shè)AN2，那么Q 用含有L的式子表示思路分析1當(dāng)DMDN時(shí)，BDM和CDN全等，設(shè)BM=CN=a，那么，2當(dāng)DMDN時(shí)，在AC的延長(zhǎng)線上截取CPBM，連接DP，通過兩次全等可證BM+NC=MN所以

15、，結(jié)論依然成立3當(dāng)M、N分別在邊AB、CA的延長(zhǎng)線上時(shí)，通過兩次全等可證NCBM=MN解1BMNCMN；ABCDMN圖4P21問的兩個(gè)結(jié)論任然成立如圖4，在AC的延長(zhǎng)線上截取CPBM，連接DP，在等邊ABC，ABCACB60，BDC120，BDDC，所以DBCDCB30，所以DBMDCP90在DBM與DCP中，CPBM，DBMDCP90，DBDC，所以DBMDCPSAS所以BDMCDP，DMDP，因?yàn)锽DC120，PDNCDPCDNBDMCDN1206060在DMN與DPN中，DMDP，MDNPDN60，DNDN，所以DMNDPNSAS所以MNPNNCPCNCBM，所以QAMMNANAMBMC

16、NANAB+AC=2AB而LAB+AC+BC=3AB，所以ABCDMN圖5P3QL4如圖5，在AC的上截取CPBM，連接DP，同理可證DCPDBM和DNPDNM，所以Q=AN+AM+MN= AN+AB +BM +MN = AN+AB +CP +NP =2NC=2AN+AC因?yàn)锳N2，AC=，所以Q=L4方法點(diǎn)睛旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形中構(gòu)造旋轉(zhuǎn)型全等三角形是常用的方法【星級(jí)訓(xùn)練】第 天 ，年 月 日 1. 如圖1所示，直線AB交x軸于點(diǎn)AA，0，交y軸于點(diǎn)B0，B，且A、B滿足1如圖1，假設(shè)C的坐標(biāo)為1，0，且AHBC于點(diǎn)H，AH交OB于點(diǎn)P，試求點(diǎn)P的坐標(biāo)；2如圖2，連接OH，求證：OHP45；圖33如

17、圖3，假設(shè)點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)M為y軸正半軸上一動(dòng)點(diǎn)，連接MD，過D作DNDM交x軸于N點(diǎn)，當(dāng)M點(diǎn)在y軸正半軸上運(yùn)動(dòng)的過程中，式子SBDMSADN的值是否發(fā)生改變，如發(fā)生改變，求出該式子的值的變化范圍；假設(shè)不改變，求該式子的值圖2圖1第 天 ，年 月 日2. 、分別是的邊、邊上的高，是邊的中點(diǎn)，分別聯(lián)結(jié)、1當(dāng)時(shí)，垂足、分別落在邊、上，如圖1求證：(2) 當(dāng)時(shí)，垂足、分別落在邊、所在的直線上，如圖2，問1中的結(jié)論是否依然成立？無需說明理由，直接寫出答案即可；假設(shè)，試判斷的形狀，簡(jiǎn)寫解答過程3設(shè)的度數(shù)為，的度數(shù)為，求與之間的函數(shù)關(guān)系式ABCDME圖2ABCDME圖1ABC備用圖第 天 ，年 月 日

18、3. 如圖1，ABC=90，ABE是等邊三角形，點(diǎn)P為射線BC上任意一點(diǎn)點(diǎn)P與點(diǎn)B不重合，連結(jié)AP，將線段AP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60得到線段AQ，連結(jié)QE并延長(zhǎng)交射線BC于點(diǎn)F.1如圖2，當(dāng)BP=BA時(shí)，EBF=，猜想QFC= ；2如圖1，當(dāng)點(diǎn)P為射線BC上任意一點(diǎn)時(shí)，猜想QFC的度數(shù)，并加以證明；圖1ACBEQFP3線段AB=，設(shè)BP=，點(diǎn)Q到射線BC的距離為y，求y關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式圖2ABEQPFC結(jié)論探索【要點(diǎn)導(dǎo)航】探索性問題是指命題中缺少一定的條件或無明確的結(jié)論，需要經(jīng)過推斷，補(bǔ)充并加以證明的題型探索性問題一般有三種類型：1條件探索型問題；2結(jié)論探索型問題；3探索存在型問題條件探索型問題

19、是指所給問題中結(jié)論明確，需要完備條件的題目；結(jié)論探索型問題是指題目中結(jié)論不確定，不唯一，或題目結(jié)論需要類比，引申推廣，或題目給出特例，要通過歸納總結(jié)出一般結(jié)論；探索存在型問題是指在一定的前提下，需探索發(fā)現(xiàn)某種數(shù)學(xué)關(guān)系是否存在的題目 探索型問題具有較強(qiáng)的綜合性，因而解決此類問題用到了所學(xué)過的整個(gè)初中數(shù)學(xué)知識(shí)經(jīng)常用到的知識(shí)是：一元一次方程、平面直角坐標(biāo)系、正、反比例和一次函數(shù)的求法圖象及其性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、四邊形特殊的性質(zhì)、等其中用幾何圖形的某些特殊性質(zhì)：勾股定理、相似三角形對(duì)應(yīng)線段成比例等來構(gòu)造方程是解決問題的主要手段和途徑因此復(fù)習(xí)中既要重視根底知識(shí)的復(fù)習(xí)，又要加強(qiáng)變式訓(xùn)練和數(shù)學(xué)思想方法的

20、研究，切實(shí)提高分析問題、解決問題的能力【典例精析】ABC圖1DNME例1 如圖1，在ABC中，ACB = 90，AC = BC，AB = 8，CDAB，垂足為點(diǎn)DM為邊AB上任意一點(diǎn)，點(diǎn)N在射線CB上點(diǎn)N與點(diǎn)C不重合，且MC = MN，NEAB，垂足為點(diǎn)E當(dāng)點(diǎn)M在邊AB上移動(dòng)時(shí)，試探索線段ME的長(zhǎng)是否會(huì)改變？說明你的理由思路分析射線CB包括線段CB和線段CB的延長(zhǎng)線兩局部，點(diǎn)N在射線CB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，可證明CMD和MEN全等，所以線段ME的長(zhǎng)始終和線段CD相等，所以不會(huì)改變長(zhǎng)度解：當(dāng)點(diǎn)M在邊AB上移動(dòng)時(shí)，線段ME的長(zhǎng)不變，ME = 4由點(diǎn)N在射線CB上，可知點(diǎn)N在邊BC上或點(diǎn)N在邊CB的延長(zhǎng)線上如

21、圖1，如果點(diǎn)N在邊BC上，可知點(diǎn)M在線段AD上因?yàn)?AC = BC，ACB = 90，所以 A =B = 45又因?yàn)?AC = BC，CDAB，AB = 8，所以 CD = BD = 4即得 因?yàn)?MC = MN，所以 MCN =MNC因?yàn)?MCN =MCD +BCD，MNC =B +BMN，所以 MCD =NME又因?yàn)?CDAB，NEAB，所以 CDM =MEN = 90所以 MCDMNEAAS所以 ME = CD = 4ABC圖2DNME如圖2，如果點(diǎn)N在邊CB的延長(zhǎng)線上，可知點(diǎn)M在線段BD上，且點(diǎn)E在邊AB的延長(zhǎng)線上因?yàn)锳BC =MNC +BMN = 45， BCD =MCD +MCN

22、= 45，MCN =MNC，所以MCD =BMN因?yàn)镸C = MN，CDM =MEN = 90，所以MCDNMEAAS所以 ME = CD = 4所以由、可知，當(dāng)點(diǎn)M在邊AB上移動(dòng)時(shí)，線段ME的長(zhǎng)不變，ME = 4方法點(diǎn)睛點(diǎn)M在AB上和在AB的延長(zhǎng)線上，從圖1到圖2是圖形的變式題隨著點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)線段之間的關(guān)系不變，所以證明思路不變BACDEPFG例2 如圖，在正方形ABCD中，AB = 2，P是邊BC上的任意一點(diǎn)，E是邊BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)AP過點(diǎn)P作PFAP，與DCE 的平分線CF相交于點(diǎn)F聯(lián)結(jié)AF，與邊CD相交于點(diǎn)G，聯(lián)結(jié)PG1求證：AP = FP；2探索線段BP、DG、PG之間的數(shù)量關(guān)系

23、，并給出證明過程；3當(dāng)BP取何值時(shí)，PG / CF思路分析1過點(diǎn)F作FHBC，結(jié)合所給條件無法證明ABP和PHF全等在邊AB上截取線段AH，使AH = PC，便可證明AHPPCF2由第1小題的結(jié)論得APF是等腰直角三角形，所以PAF=45，將ADG繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90后，BP與DG聯(lián)結(jié)成一條線段，通過全等三角形可證BP 與DG的和等于PG3當(dāng)PG / CF時(shí)，PCG是等腰直角三角形，由第2小題結(jié)論得PG=DG+BP，在RtPCG中，由勾股定理可求得BP的長(zhǎng)BACDEPFG圖2H證明1如圖2，在邊AB上截取線段AH，使AH = PC，聯(lián)結(jié)PH由正方形ABCD，得B =BCD =D = 90，AB

24、 = BC = AD因?yàn)锳PF = 90，所以APF =B因?yàn)锳PC =B +BAP =APF +FPC，所以PAH =FPC又因?yàn)锽CD =DCE = 90，CF平分DCE，所以FCE = 45所以PCF = 135又因?yàn)锳B = BC，AH = PC，所以BH = BP，即得BPH =BHP = 45所以AHP = 135，即得AHP =PCF在AHP和PCF中，PAH =FPC，AH = PC，AHP =PCF，所以AHPPCF所以AP = PFBACDEPFGM圖32證明：如圖3，延長(zhǎng)CB至點(diǎn)M，使BM = DG，聯(lián)結(jié)AM由AB = AD，ABM =D = 90，BM = DG，得AD

25、GABM，即得AG = AM，MAB =GAD因?yàn)锳P = FP，APF = 90，所以PAF = 45因?yàn)锽AD = 90，所以BAP +DAG = 45，即得MAP=PAG = 45于是，由AM = AG，MAP =PAG，AP = AP，得APMAPG所以PM = PG即得PB + DG = PG3解：由PG / CF，得GPC =FCE = 45于是，由BCD = 90，得GPC =PGC = 45所以PC = GC即得DG = BP設(shè)BP = x，那么DG = x由AB = 2，得PC = GC = 2 x因?yàn)镻B + DG = PG，所以PG = 2 x在RtPGC中，PCG =

26、90，得即得解得所以當(dāng)時(shí)，PG / CF方法點(diǎn)睛此題所需添加的輔助線比較特殊，在旋轉(zhuǎn)型圖形如：正方形，等邊三角形，等腰直角三角形中較為常見【星級(jí)訓(xùn)練】 第 天 ，年 月 日 1. ：在ABC中，AB=AC，點(diǎn)P在直線BC上，PDAB于點(diǎn)D，PEAC于點(diǎn)E，BH是ABC的高1當(dāng)點(diǎn)P在邊BC上時(shí)，求證：PD+PE=BH2當(dāng)點(diǎn)P在邊BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，試探索PD、PE和BH之間的數(shù)量關(guān)系第 天 ，年 月 日2. 等邊ABC和點(diǎn)P，設(shè)點(diǎn)P到ABC三邊AB、AC、BC的距離分別為H1，H2，H3，ABC的高為H“假設(shè)點(diǎn)P在一邊BC上如圖1，此時(shí)H30可得結(jié)論：H1H2H3H請(qǐng)直接應(yīng)用上述信息解決以下問題：

27、當(dāng)點(diǎn)P在ABC內(nèi)如圖2，以及點(diǎn)P在ABC外如圖3這兩種情況時(shí)，上述結(jié)論是否成立？假設(shè)成立，請(qǐng)予以證明；假設(shè)不成立，H1，H2，H3與H之間又有怎樣的關(guān)系，請(qǐng)寫出你的猜想，不需要證明圖1圖2圖3第 天 ，年 月 日 3. ABCMND在正ABC中，AB=4，點(diǎn)M是射線AB上的任意一點(diǎn)點(diǎn)M與點(diǎn)A、B不重合，點(diǎn)N在邊BC的延長(zhǎng)線上，且AM = CN聯(lián)結(jié)MN，交直線AC于點(diǎn)D設(shè)AM = x，CD = y1如圖，當(dāng)點(diǎn)M在邊AB上時(shí)，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出自變量x的取值范圍2當(dāng)點(diǎn)M在邊AB上，且四邊形BCDM的面積等于DCN面積的4倍時(shí)，求x的值3過點(diǎn)M作MEAC，垂足為點(diǎn)E當(dāng)點(diǎn)M在射線AB上移動(dòng)

28、時(shí)，線段DE的長(zhǎng)是否會(huì)改變？請(qǐng)證明你的結(jié)論第 天 ，年 月 日ABCPED300圖14. 在RtABC中，C=900，A=300，AB=4，將一個(gè)300角的頂點(diǎn)P放在AB邊上滑動(dòng)，保持300角的一邊平行于BC，且交邊AC于點(diǎn)E，300角的另一邊交射線BC于點(diǎn)D，聯(lián)結(jié)ED1如圖1，當(dāng)四邊形PBDE為等腰梯形時(shí)，求AP的長(zhǎng)；2四邊形PBDE有可能為平行四邊形嗎？假設(shè)可能，求出PBDE為平行四邊形時(shí)AP的長(zhǎng)；假設(shè)不可能，說明理由；3假設(shè)D在BC邊上不與B、C重合，試寫出線段AP取值范圍。第 天 ，年 月 日5. 在梯形ABCD中，AD/BC，AB=CD=AD=5cm，BC=11cm，點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)沿

29、DA邊以每秒1cm的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，沿BC邊以每秒2cm的速度移動(dòng)當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)A時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)Q同時(shí)停止移動(dòng)，假設(shè)點(diǎn)P移動(dòng)的時(shí)間為x秒，四邊形ABQP的面積為y平方厘米。ABDCQP1求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出它的定義域；2在移動(dòng)的過程中，求四邊形ABQP的面積與四邊形QCDP的面積相等時(shí)x的值；3在移動(dòng)的過程中，是否存在x使得PQ=AB，假設(shè)存在求出所有的x的值，假設(shè)不存在請(qǐng)說明理由6. xyCBAO如圖，平面直角坐標(biāo)系中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，正比例函數(shù)為自變量的圖像與雙曲線交于點(diǎn)，且點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1求的值；2將直線為自變量向上平移4個(gè)單位得到直線BC，直線BC分別交軸、軸于B、C，如點(diǎn)

30、D在直線BC上，在平面直角坐標(biāo)系中求一點(diǎn)P，使以O(shè)、B、D、P為頂點(diǎn)的四邊形是菱形AOxCDBy圖17. 如圖1，直線分別與x軸、y軸交于點(diǎn)A、B，點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)，點(diǎn)D在線段OC上，點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為41求點(diǎn)C的坐標(biāo)和直線AD的解析式；2P是直線AD上的點(diǎn)，請(qǐng)你找一點(diǎn)Q，使以O(shè)、A、P、Q這四個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，寫出所有滿足條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)猜想證明【要點(diǎn)導(dǎo)航】此類問題通常由一個(gè)特殊圖形到一般情況，引出一系列探究的問題經(jīng)歷對(duì)一些命題和結(jié)論的猜想、證明、推廣的過程，體會(huì)知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，感受特殊到一般、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想，對(duì)學(xué)生的想象、思維、歸納、分析都有較高的要求此類題目變式多，證明方

31、式也不盡相同，可以說是精彩紛呈借題發(fā)揮，拓寬視野，這樣做不僅有助于學(xué)生綜合而靈活的運(yùn)用知識(shí)，而且能不斷提高學(xué)生獨(dú)立探究問題解決的能力，更有助于培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性與批判性?！镜淅觥緼BCDEM圖1例1 如圖1，點(diǎn)D在AC上，ABC和ADE都是等腰直角三角形，點(diǎn)M為EC的中點(diǎn)1求證：BMD為等腰直角三角形ABCDEM圖22將ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，如圖2，1中的“BMD為等腰直角三角形是否仍然成立？請(qǐng)說明理由ABCDEM圖43將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，如圖3，1中的“為等腰直角三角形成立嗎？不用說明理由ABCDEM圖34我們是否可以猜想，將繞點(diǎn)A任意旋轉(zhuǎn)一定的角度，如圖4，1中的“為等腰直角三角形

32、均成立？ 思路分析1 利用直角三角形斜邊中線性質(zhì)和三角形的內(nèi)外角和定理不難證明DM與BM垂直且相等2 將ADE繞點(diǎn)A轉(zhuǎn)過或時(shí)，加倍延長(zhǎng)DM，可構(gòu)造出全等三角形，再利用等腰三角形三線合一的性質(zhì)可證明為等腰直角三角形3 將ADE繞點(diǎn)A任意旋轉(zhuǎn)一定的角度時(shí)，可以D、M、B為頂點(diǎn)構(gòu)造正方形再證明為等腰直角三角形ABCDEM圖5N證明1因?yàn)辄c(diǎn)M是RtBEC的斜邊EC的中點(diǎn)，所以BM=EC=MC，所以MBC=MCB所以BME=2BCM同理可證：DM=EC=MC，EMD=2MCD所以BMD=2BCA=90，所以BM=DM所以BMD是等腰直角三角形 2第1題中的結(jié)論仍然成立如圖5，延長(zhǎng)DM與BC交于點(diǎn)N，因?yàn)?/p>

33、DEAB，CBAB，所以EDB=CBD=90，所以DEBC所以DEM=MCN又因?yàn)镋MD=NMC，EM=MC，所以EDMMNC所以DM=MNDE=NC=AD又AB=BC，所以AB-AD=BC-CN，所以BD=BN所以BMDM即BMD=90因?yàn)锳BC=90，所以BM=DN=DM所以BMD是等腰直角三角形3成立ABCDEM圖6NP4為等腰直角三角形的結(jié)論仍然成立如圖6，過點(diǎn)D作DNDM，使得DN=DM，聯(lián)結(jié)BN、AN因?yàn)镋DA=NDM=90，所以EDM=AND，AD=AE，DM=DN，所以EDMAND所以ANDM，AN=EM，又因?yàn)镋M=MC，所以AN =MC利用三角形內(nèi)角和可證BCM=NAB，又

34、因?yàn)锳B=BC，BM=BN，所以MBCNBA，所以NBA=MBC，因?yàn)锳BC=90，所以NBM=90，聯(lián)結(jié)MN，所以BMD=BND=90，所以四邊形DNBM是正方形所以BMD是等腰直角三角形方法點(diǎn)睛此題還可研究將ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)后當(dāng)C、D、E三點(diǎn)一線，當(dāng)B、A、D三點(diǎn)一線，E在AC上等多種情況下BMD都是等腰直角三角形例2 點(diǎn)A、B、C在同一直線上，在直線AC的同側(cè)作和，連接AF，CE取AF、CE的中點(diǎn)M、N，連接BM，BN， MN1假設(shè)和是等腰直角三角形，且如圖1，那么是 三角形2在和中，假設(shè)BA=BE，BC=BF，且，如圖2，那么是 三角形，且 3假設(shè)將2中的繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)一定角度，如圖3，其

35、他條件不變，那么2中的結(jié)論是否成立？ 假設(shè)成立，給出你的證明；假設(shè)不成立，寫出正確的結(jié)論并給出證明ABCEFMN圖1ABCEFMN圖3ABCEFMN圖2思路分析1ABF和EBC可看作繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)90后可重合的兩個(gè)三角形，BM和BN是對(duì)應(yīng)斜邊上的中線，夾角為90，所以是等腰直角三角形2MBN可看作是兩個(gè)全等三角形ABF和EBC對(duì)應(yīng)邊上的中線，它們的夾角MBN和對(duì)應(yīng)邊的夾角ABE和FBC相等3要證明MBN和FBC相等，只要證明FBM和CBN相等，所以要證明MFB和NCB全等解1等腰直角 2等腰、 3結(jié)論仍然成立證明：在ABF和EBC中，BA=BE，ABF=EBC，BF=BC，所以ABFEBC所以AF

36、=CE，AFB=ECB因?yàn)镸，N分別是AF、CE的中點(diǎn)，所以FM=CN所以MFBNCB所以BM=BN，MBF=NBC，所以所以MBN+FBN=FBC+FBN，即MBN=FBC所以結(jié)論依然成立方法點(diǎn)睛從圖1到圖3是連續(xù)的圖形變式題圖形由特殊到一般，雖然圖形改變，但是證明思路不變【星級(jí)訓(xùn)練】 第 天 ，年 月 日 1. 如圖1，四邊形ABCD，將頂點(diǎn)為A的角繞著頂點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，假設(shè)角的一條邊與DC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，角的另一條邊與CB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E，連接EF1假設(shè)四邊形ABCD為正方形，當(dāng)EAF=45時(shí)，有EF=DFBE請(qǐng)你思考如何證明這個(gè)結(jié)論只思考，不必寫出證明過程；2如圖2，如果在四邊形AB

37、CD中，AB=AD，ABC=ADC=90，當(dāng)EAF=BAD時(shí)，EF與DF、BE之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫出它們之間的關(guān)系式只需寫出結(jié)論；3如圖3，如果四邊形ABCD中，AB=AD，ABC與ADC互補(bǔ)，當(dāng)EAF=BAD時(shí)，EF與DF、BE之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫出它們之間的關(guān)系式并給予證明4在3中，假設(shè)BC=4，DC=7，CF=2，求CEF的周長(zhǎng)直接寫出結(jié)果即可ABCDEF圖3ABCDEF圖2ABCDEF圖1第 天 ，年 月 日2. 在正方形ABCD的邊AB上任取一點(diǎn)E，作EFAB交BD于點(diǎn)F，取FD的中點(diǎn)G，連接EG、CG，如圖1，易證 EG=CG且EGCG1將BEF繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90，如

38、圖2，那么線段EG和CG有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系？請(qǐng)直接寫出你的猜想ABCDEFG圖32將BEF繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180，如圖3，那么線段EG和CG又有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系？請(qǐng)寫出你的猜想，并加以證明ABCDEFG圖1ABCDEFG圖2第 天 ，年 月 日3. 正方形ABCD中，E為對(duì)角線BD上一點(diǎn)，過E點(diǎn)作EFBD交BC于F，連接DF，G為DF中點(diǎn)，連接EG，CG1直接寫出線段EG與CG的數(shù)量關(guān)系；2將圖1中BEF繞B點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45，如圖2所示，取DF中點(diǎn)G，連接EG，CG你在1中得到的結(jié)論是否發(fā)生變化？寫出你的猜想并加以證明 3將圖1中BEF繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)任意角度，如圖3所示，再連接相應(yīng)

39、的線段，問1中的結(jié)論是否仍然成立？不要求證明FBADCEG圖1FBACE圖3DFBADCEG圖2第 天 ，年 月 日4. 如圖， 等邊三角形ABC中，點(diǎn)D、E、F分別為邊AB、AC、BC的中點(diǎn)，M為直線BC上一動(dòng)點(diǎn)，DMN為等邊三角形點(diǎn)M的位置改變時(shí)，DMN也隨之整體移動(dòng)1如圖1，當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)B左側(cè)時(shí)，請(qǐng)你連結(jié)EN，并判斷EN與MF有怎樣的數(shù)量關(guān)系？點(diǎn)F是否在直線NE上？請(qǐng)寫出結(jié)論，并說明理由；2如圖2，當(dāng)點(diǎn)M在BC上時(shí)，其它條件不變，1的結(jié)論中EN與MF的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立? 假設(shè)成立，請(qǐng)利用圖2證明；假設(shè)不成立，請(qǐng)說明理由；AEFDBNCM3如圖3，假設(shè)點(diǎn)M在點(diǎn)C右側(cè)時(shí)，請(qǐng)你判斷1的結(jié)論中

40、EN與MF的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立? 假設(shè)成立，請(qǐng)直接寫出結(jié)論；假設(shè)不成立，請(qǐng)說明理由 圖1 圖2 圖3標(biāo)注DAE和FHG為陰影實(shí)驗(yàn)操作參考答案GFEDACBH1. 解1BF +AG= AE如圖1，過點(diǎn)F作FHDA，垂足為H，因?yàn)樵谡叫蜛BCD中，DAE=B=90，所以四邊形ABFH是矩形所以FH=AB=DA因?yàn)锽DFG，所以G=90ADE=DEA又所以DAE=FHG=90，所以FHGDAE所以GH=AE，即HA+AG=AE因?yàn)锽F=HA，所以BF+AG=AE圖12因?yàn)镕HGDAE，所以FG=DE=因?yàn)?，所以定義域?yàn)?3連結(jié)CE，設(shè)點(diǎn)C到直線DE的距離為，因?yàn)镈E=FG=，所以，所以所以點(diǎn)C到

41、直線DE的距離為BMP和PNQ為陰影2. 證明1PQPBDACB圖1MNPQ過點(diǎn)P作MNBC，分別交AB于點(diǎn)M，交CD于點(diǎn)N，那么四邊形AMND和四邊形BCNM都是矩形，AMP和CNP都是等腰直角三角形如圖1所以NPNCMB因?yàn)锽PQ90，所以QPNBPM90而BPMPBM90，所以QPNPBM又因?yàn)镼NPPMB90，所以QNPPMB所以PQPB2解法一：由1QNPPMB得NQMP因?yàn)锳Px，所以AMMPNQDN，BMPNCN1，所以CQCDDQ121得SPBCBCBM11x SPCQCQPN11x2S四邊形PBCQSPBCSPCQx21即yx210xDACB圖2MNPQT解法二：作PTBC，

42、T為垂足如圖2，那么四邊形PTCN為正方形所以PTCBPN又PNQPTB90，PBPQ，所以PBTPQNS四邊形PBCQS四邊形PBTS四邊形PTCQS四邊形PTCQSPQNS正方形PTCN CN212x21，所以yx210x3PCQ可能成為等腰三角形PCQ為陰影當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合，點(diǎn)Q與點(diǎn)D重合，這時(shí)PQQC，PCQ是等腰三角形，此時(shí)x0DACB圖3MNPQ當(dāng)點(diǎn)Q在邊DC的延長(zhǎng)線上，且CPCQ時(shí)，PCQ是等腰三角形如圖3解法一：此時(shí)，QNPM，CPx，CNCP1所以 CQQNCN11當(dāng)x1時(shí)，得x1 解法二：此時(shí)CPQPCN22.5，APB9022.567.5，ABP1804567.567.5

43、，得APBABP，所以APAB1，所以x13. 解1BF=CG；證明：在ABF和ACG中，因?yàn)镕=G=90，F(xiàn)AB=GAC，AB=AC，所以ABFACGAAS，所以BF=CG2DE+DF=CG；證明：過點(diǎn)D作DHCG于點(diǎn)H如圖7因?yàn)镈EBA于點(diǎn)E，G=90，DHCG，所以四邊形EDHG為矩形，所以DE=HG，DHBG所以GBC=HDC因?yàn)锳B=AC，所以FCD=GBC=HDC又因?yàn)镕=DHC=90，CD=DC，所以FDCHCD，所以DF=CH所以GH+CH=DE+DF=CG，即DE+DF=CG3仍然成立注：此題還可以利用面積來進(jìn)行證明，比方2中連結(jié)AD4. 解1如圖：，2(b，a)3由2得，D

44、(1,-3) 關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為(-3,1)，連接E交直線l于點(diǎn)Q，此時(shí)點(diǎn)Q到D、E兩點(diǎn)的距離之和最小設(shè)過(-3,1) 、E(-1,-4)的設(shè)直線的解析式為，那么所以所以由得所以所求Q點(diǎn)的坐標(biāo)為，條件探索參考答案1. 解1因?yàn)?，所以ab0，a40， a4，b4，那么OAOB4因?yàn)锳HBC于H，所以O(shè)APOPABPHOBC90，所以O(shè)APOBC在OAP與OBC中，COBPOA90，OAOB，OAPOBC，OAPOBCASA，所以O(shè)POC1，那么P0，12過O分別做OMCB于M點(diǎn)，ONHA于N點(diǎn)，在四邊形OMHN中，MON36039090，所以COMPON90MOP在COM與PON中，CO

45、MPON，OMCONP90，OCOP，所以COMPONAAS，所以O(shè)MON因?yàn)镠O平分CHA，所以O(shè)HPCHA453SBDMSADN的值不發(fā)生改變SBDMSADN4聯(lián)結(jié)OD，那么ODAB，BODAOD45，OAD45，所以O(shè)DOA，所以MDONDA90MDA在ODM與ADN中，MDONDA，DOMDAN135，ODOA，所以O(shè)DMADNASA所以SODMSADN，SBDMSADN SBDM SODM SBODSAOBAOBO=4442. 證明1因?yàn)?、分別是的高，所以 在Rt中，因?yàn)?，所以，同理：所以ABCMED2當(dāng)時(shí)，依然成立當(dāng)時(shí)，是等腰直角三角形 理由如下：類似1題的證明，易知 所以又因?yàn)椋?/p>

46、所以同理 所以=，故時(shí)，是等腰直角三角形3類似于第2題的解答過程，可得，=，所以整理得，其中3. 解1 30，= 602=60 不妨設(shè)BP，如圖1所示圖3ACBEQFPG因?yàn)锽AP=BAE+EAP=60+EAP，EAQ=QAP+EAP=60+EAP，所以BAP=EAQ在ABP和AEQ中，AB=AE，BAP=EAQ，AP=AQ，所以ABPAEQ，所以AEQ=ABP=90，所以BEF，所以=603在圖3中，過點(diǎn)F作FGBE于點(diǎn)G因?yàn)锳BE是等邊三角形，所以BE=AB=，由1得30在RtBGF中，所以BF=2，所以EF=2，因?yàn)锳BPAEQ，所以QE=BP=，所以QF=QEEF圖4ABEQPFCH如

47、圖4，過點(diǎn)Q作QHBC，垂足為H在RtQHF中，x0即y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式是：CDEABHP圖1結(jié)論探索參考答案1. 解1如圖1，聯(lián)結(jié)AP，因?yàn)?，所?，因?yàn)锳B=AC，所以CDEABHP圖22如圖2，聯(lián)結(jié)AP，因?yàn)椋?=，因?yàn)锳B=AC，所以2. 解1當(dāng)點(diǎn)P在ABC內(nèi)時(shí)，結(jié)論H1+H2+H3=H仍然成立理由如下：聯(lián)結(jié)PA，PB，PC因?yàn)镾ABP+SBCP+SACP=SABC ，所以ABPD+BCPF+CAPE=BCAM因?yàn)锳BC是等邊三角形，所以AB=BC=CA，所以PD+PF+PE=AM，即H1+H2+H3=H2當(dāng)點(diǎn)P在ABC外時(shí)，結(jié)論H1+H2+H3=H不成立此時(shí)，它們的關(guān)系是H1+H2-H3=H理由如下：聯(lián)結(jié)PA，PB，PC因?yàn)镾ABP-SBCP+SA