2018-2020年上海四校自招數(shù)學(xué)試卷匯編版(含答案)--共9套

1、2018-2020年上海四校自招數(shù)學(xué)試卷匯編版（含答案）-共9套目錄2018交附自招數(shù)學(xué)答案2018上中自招數(shù)學(xué)2018上中自招數(shù)學(xué)答案2019復(fù)附自招數(shù)學(xué)答案2019交附自招數(shù)學(xué)2020上中、交附、七寶自招上海中學(xué)自招試題上海中學(xué)自招真題解析2018上海市上海中學(xué)自招部分真題1、因式分解：6xJ-1 lr + x + 4 = 【答案】(x-1X3 x-4)(2 x+1)【解析】試根法易得x=l時(shí)，上式值為0. 利用長除法可得原式=(x- 1X6 X2- 5 X- 4)= (x- 1X3 x- 4)(2 x+ 1)2、Klo > b>0 t a2 + b2= 4<ib，則 a

2、 + - a垂b【答案】s【解析】令a + Z> = x，a-b=y則x>y> 0 a2+ b2 = 4aba2+ b: - lab = lab/=l(x:-y2)2a-b3、若 x: + x-l = 0 i 則 xW+3= 【答案】4【解析】降次法r=l-x所以原式=x(l-x) + 2(l-x) + 34、Cftl _(5-r)* = (a-6)(e-o) Ila * 0 « 則 & f = 4a【答案】2【解Hf】2(Z>-c)' = (fl-d)(c-o)4(c-bY = 4(a-b)(c-a) (c-«7)+ (7-fe)J

3、 =4(c-a)(a-d)所以 c -fl = a 5 &+r = 2a 即&422 a5、一個(gè)袋子里裝有兩個(gè)紅球和一個(gè)白球(僅顏色不冋)，笫一次從屮取出一 個(gè)球.記下顏色后放卜1，搖勻，第二次從屮取出一個(gè)球，則兩次都是紅球的槪 率是 【答案】J9【解析】pj3 396, 、線/: y=-5/3x + >/3與j、>軸交于點(diǎn)J、B 9 關(guān)于直線.達(dá)對稱 得到么ACB，則點(diǎn)C的坐標(biāo)足 【答案】?4 2【解析】如右W所示易得 ZG4Z) = Z5JO=60° 過C作CD丄X軸于點(diǎn)D 在JCD中JC=1易解得 -1D = 1> CD = L 2 2即 二,

4、7、一張矩形紙片ABCD. -W = 9. .45 = 12.將紙片折僉.使.4、點(diǎn)甫 合，折痕的長是 【答案】！4AD【解析】如右圖所示 鉍得 JC=>/92+ 12: = 15所以ac = 2L2 6 °A（ZX?F< ABC所以藝=苧 moF=4L£F=4L.IB BC848、任給一個(gè)正整數(shù)如果。是偶數(shù)，就將它減半（即1），如果。是命 2數(shù)，則將它乘以3再加1 （即3。+ 1），不斷盥父這樣的運(yùn)算，現(xiàn)在W你研究：如 果對于正稂數(shù)。（汽項(xiàng)）按照上述規(guī)則實(shí)施變換（注：iuf以多次出現(xiàn)）后的第 八項(xiàng)為1，Wlb所有可能取值為 【答案】128/2/16/20/3/

5、21【解析】9、iH六邊形ABCDEF的而積足6平方歴米，聯(lián)結(jié)CE、EA、BD、DF、FB,求陰影部分小正六邊形的而積 【答案】2【解析】將小六邊形的相對頂點(diǎn)聯(lián)結(jié)后易得：小正六邊形的面積是大正六邊形面積的3即面積為210. tl>1 = 2x: + (4-W»)x + (4-m)與門=則在X取任S實(shí)數(shù)時(shí).至少有一個(gè) 足正數(shù)，則m的取值范鬧為 【答案】m<4【解析】(1)當(dāng)0<m 時(shí)，0< x y 2= mx > 0 » 且 時(shí)，y20 xO 時(shí) yt> 0故 4-m>O.-.Wlix.O4!/扣厶<0解得一4<7

6、1;<4 / 0<m<4(2) 當(dāng)m<0時(shí)，同理解得W<0(3) 當(dāng)m = 0時(shí)，.Vl>0恒成立 綜上所述，7M < 411、己知<7、b、C是互不相等的實(shí)數(shù).X是任憊實(shí)數(shù)， (x-by(x-c)'ru imj :十十= (a-b)(a-c) (c-b)a-b) (c-a)(c-b)【答案】1 (<7-d)(d -c)(c-fl) 【解析】原式J"-咐叫(叫(a - b)(b - c)(c - a)12、己知實(shí)數(shù)a、b 滿足 tf2 +（ib + Zr = l， t ab tr > 則r的取值范圍是 【答案】-3&

7、#171; -23【解析】由a2+b22ab9 o2+i>2> -2ab陽-ab2ab 解ab-lab3/ = ad （1 一 ab） = lab 一 1所以-3«-13、（1）求邊長是1的正五邊形的對角線長3（2）求sinl8o【答絮】（1） £1? <2）廣12 2【解析】（1）正五邊形的一個(gè)內(nèi)角大小為： （5-2）xl80°* 5=108°所以.45E和 J CD Ji與& £角形在 ABE 中 £= 其中 J£ = 1 解得 BE = BE 22（2）在ZUCD中過d作.iF垂直CD于點(diǎn)F

8、易得 ZFJD=18O1所以sml8°=5-1 AD VJ + 1214、(1) /( x)=? + ar+ + c, 0</(-1)=/(-2)=/(-3)<3,求 r 的取值范閘 (2) /(x) = Y4+a? + bx- + o + rf. /(1) = 10, /(2) = 20, /(3) = 30,求/+剌【答案】(1) 6<c9 (2) 8104【請于】(1)令/(-1)=/(-2)=/(-3)=倉，g(x) =/( x)=k. 0<3 則 g(x)=(x+l)(x + 2)(x + 3) 呼f 以 /(llr+6 + A-t&c =

9、6 + k t X0 < < 3 所以6<c9(2) /(l) =10，/(2)= 20 ./(3)= 30令 S ( x) - f( x) 10x=x4 + axi+ bx2 + (c- 10) x + tZ Og(l)=g(2)=(3)=0 令 H*)=0 的第四個(gè)根是 m則 S(x)=(x 0( x-2)(x-3)(x-m)所以 g (10)+玄(-6)= 9x8x 7x(10-«r) + (一 7)x (-8)x (-9)(-6 -m) = 8064 即 /(IO) +/(-6)=g(10)+ g(-6)+40 = 810415、我們學(xué)過良線與Ml的位賈關(guān)系

10、，報(bào)據(jù)W料完成問題(1(2) 背崠知識：平而a : .ti + By + Cz +d =0 : 球：(*-+(>»-Z»)2+| z-<r)2=/?:;點(diǎn)(a，b，c)到平Iftja的距離公式：d=VT+Tc7球心到平而的距離為</，當(dāng)時(shí).球與平而相交.當(dāng)時(shí)，球與 平面相I刀，當(dāng)/>/?時(shí).球與平面相離：問題(1):若實(shí)數(shù)m、n、k滿足m + n + k = l,求 AM 的最小值： 問題(2)：解方程l=i【解析】（1）沒點(diǎn)（W，.fr）則該點(diǎn)在平而Y + y+Z=l上Iflj所求即為該點(diǎn)刊原點(diǎn)距離的平方原點(diǎn)列1'lflf V+.|+Z=l

11、的距離為:所以+=；|= _-V ” 3(2)配方法x + y+z -2>/x + 2fy-l += 0Jx -1)- + («7>._1_1) +("z-2-”2 = O 1=1fx=l則= i 解得2 Tz2=1I交大附中自主招生試卷201803第一部分1.己知丄+x=-3，求x3 +人+1000. XX)X+1X+= XX+1=二有-求所有_之和.3. AB/7CD* AB=15> CD = 10，AD = 3，CB = 4,求4. y=x-4x+6, ?Ta <x<b時(shí)，其屮x的R小ff為a，W人ffi為b,求a+b.5. y=2(x-

12、2)2 + m. ?7拋物線與x軸交點(diǎn)與頂點(diǎn)組成正三用形，求m的伉.6 DE為SC的切線.il:方形ABCD邊K;為200, BC以BC為P柃的半閥，求DE的K.7.迮 n 角坐標(biāo)系屮，iEAABC, B(2.0) , C(.O)過點(diǎn)O 作 H 線 DMN, OM=MN.求M的橫坐標(biāo).8四圓HIWOB 4OC f-徑相同，OA過OD圓心.OA的乍徑為9,求GB的節(jié)徑.9橫縱世標(biāo)均為裕數(shù)的點(diǎn)為怡點(diǎn)，（i<m<a），y = nK+a （l<x<100，不經(jīng)過 點(diǎn)，求a可取到的最大ffi.10 G力蟲心，DE過®心，S=l.求5的記偵，并證明結(jié)論.第二部分（科學(xué)素養(yǎng)

13、）1. 己知角三角形三邊長為櫨數(shù)，打一篆邊長為85,求W叫邊長出10組）.2. 閱讀材料，報(bào)據(jù)凸函數(shù)的定義和性質(zhì)解三道小題.共屮第（3）小題為不等式證明 fbx, + （1 + b） < bf （x,） +1 bf （x）（1）b = i： （2） b = -.（注：選（1做對得10分，選（2）做對得20分） 433. 請用最優(yōu)美的講言贊美仰暉班（80字左右）（17分）4附加題（25分）(2 points) solve the following system of equations forw 2j(4 points)Compute oc JnyJn+2 >/n + l+Vn +

14、 2(6 points) Solve the equationanswer as a reduced fraction with the numerator wntten in their prime factonzationThe gauss fiinction x denotes the greatest less than or equal to xA> (3 points) Compute2018!+2015!2017!+2016!B ) < 4points) Let real numbers Xp， be the solutions of the equation X2

15、- 3X 4 = 0， find the value of xf + X； + +<C)< 6 points)Find all ordered tnples (a,b.c) of positive real that satisfy： abc = 3 abc = 4， and abc = 52018.03交大附中自主招生試卷【解W】 982, x3 +釕増根，求所打吋能的f之和.3. AB / CD , AS = 15, CD = IO. AD = 3, C及=4,求 5*.第一郁分1. 己知丄 + 文=-3,求r' + Jy + lOOO.r = -18,故x3+1 +

16、1000 = 982xx + 1 x(x + l)【解析】3,代入x = 0,= 代入x = -l, / = 2:故所fl可能的/之和力3【解扒】m = -|. y = 2(x-2):的棟點(diǎn)為(2，m) CD =|ni ( m <0),6. DE liC 的 W線，止方形 ABCD 邊K為 200. &以 BC 的 tM,求/)£ 的K.4. y = xJ-4x + 6,其屮* 的沄小俏為g 大 tff 為/>,求 <i+Z>.【解折】5. a、/> 力 y，一5x + /> = 0 的則 a+/> = 55. y = 2(x-2)2

17、+/n.若拋物線與x軸交點(diǎn)與頂盧組成止三角形求m的值.【解析】250設(shè)DE于點(diǎn)G. CD=DG . EG = BEX設(shè)5£ = x. W|200J + (200-x)2 = (200+x)2 =>x = 50 EXitt 0 = 200 + 50 = 250WL c7.在ft角坐標(biāo)系中，正M5C，5(2.0) . C(.0)i±點(diǎn)0 作ft線ZXWiV，OM = MN , 求、W的橫坐標(biāo).a【解析】8A作MH / AC. MG 1BH/K.切O月勺（DC半徑相HJ. 0 j過0DIMI心，04的半徑為9,求C尺的半徑.【解機(jī)】KAD£屮有DB: = DE2

18、+ BE2， HU (l8-x)2=/+x2 MBE= AE2 + BE2.U|J(9 + x)? = Cv+9)2+x? 則a = 8.則心=89. ffi縱華杯均為®數(shù)的點(diǎn)為»點(diǎn)./ = m + u （llOO） , +經(jīng)過S 點(diǎn).求a叫取刊的ft人（H.【測】-，過重心.= h求的R值，并證明結(jié)論. _1._4i =7*=己知S、4M = 1，15AD = mAB , AW = tiAC ,IO. G為重心，【湖S.做由FG為AAffC的逭心易知一 + = 3 m n= AD AEsinA = niAB nAC sin A = mu 當(dāng)i+i4時(shí).X故1-則晰大值；而

19、無論D' £如動，_勹-m，閃此，Sir>rmn = 2 *第_部分：科學(xué)素界）1. 12知rtffl三坧形三邊松為»數(shù)，有一條邊拉為85,求另兩邊K （寫出10組）.3. 講用W優(yōu)關(guān)的iff言折關(guān)仰呷班（肋卞左右）（17分）4. 附加題（25分! 2 points) solve the following system of equations for m，.2k+x+v + z = 1 k+2x + j + z = 2 »v+x + 2j + z = 2»v + x + y + 2z = l【解析】w = -j(4 pointsComp

20、ute / + >,4S( Jn + 2 V/i + l + V/i + 2【畎析 1 WH-2V2 + I9(6 points) Solve the equation16x + 小"卞如:'' x + 3 -a/x = 1 .Express youranswer as a reduced fraction with the numerator written in their prime factorization.I 2017!+2016!The gauss function ,v denotes the givuicsl less tliaii or eq

21、ual (o x A)(3pointS)Compuler20,8!+2°，5!'1B) (4points) Lei real numbers xpx2,-,x4 be the solutions of the equation x3 3|x)-4 = 0 find the value of+ + <C )< 6 points )Find all ordered triples (a，h，c) of positive real that satisfy： ahc = 3，ahc = 4 and abc = 5【解析】A） 2017： B） 15： C）201S031

22、 繁：6xrlli+J + 4 =2, Bl a >6> 0 , += 4z?6 s。+ 7 =alb3. s'+71 = 0,涅 J- + 2X/3"4nJMll(6 c)】=G7li)(c-a)- _a*0, D5. 二><函&4<s> - filF 建CLGssh s. -莒荖兌苕冷 fT 實(shí)B»*6 iiJS/:J = -$x+AA<lIrx- Ji«4-.> B. sk2 -7 lst.8 - .& = 9 .45 = 12.茲淥其s f：部1十=-.雉雄？ ls. (Kl-n>

23、; .巨藝二卜玲薄，涅荼r:-卷 苦一 SP3H + 1) -HSM 賦 R凍 3KW- sssQ-»sjE 規(guī) »n <M*)窈薄± 疾堪 W_1 系 ff 冷漭(it: 1 WU3 次 cf 莽 sviir9 1EA&法Bcb£FITssl6Tzf-£:;K.榮砵 JC,cnl, EA、CXJD，DF , Fa、ss10.njff>一 2XW + (4 m)x+(41 m)Jry= Bmxsffi鯫將球乎h11, b.s. (7毛 + (7是 + (v 久"(a 16)(r71 r) 91 s(a b (r I

24、 bi2nJ杏*»?»%+ao-+t = r tm 廣 R_Jr3s1a 我£*13. (1>求邊長為1的正五邊形對角線長:(2)求sinl8°14 (1) f(x) = xax2 + bx + c 9 0</(-l) = /(-2) = /(-3)S3 ,求e的取tfiffiLH：(2) /(x) = x4 + a?+6x2+cx + <y . /(I) = 10, /(2) = 20, /(3) = 30，求/(10) + /(-6).15.我們學(xué)過直線與囲的位S關(guān)系,根據(jù)材料完成問題(1> (2) 類似拾出背S知iH:平面a

25、: JA+Bv + Cz + a = 0 :球：(x-fl):+(v-6): + (z-c):=/?2：點(diǎn)(a，b，c)到平而a : Ax + By+ Cz + d = 0的距離公式:Aa + Bb + Cc + D球心到甲面的許.離為a, 'd<R時(shí)，球1j平面扣交，ld = R時(shí)，球U平面扣切，ld>R 時(shí).球與平而相離：問狴(1) : S實(shí)數(shù)th、介滿足，” + n + k = l,求m2+n2+k2的小值:問題(2):解方程7+/7+j(:r + y + z).參考答案L (x-l)(3x-4)(2x + l) 2. V3 3 44 2V3TB. 128、1、16.

26、 20' S. 214<114. (1) 6<cS9; (2)8104上海中學(xué)自主招生試題1、因式分解：6xJ -1 lx2 + x+4 = 【答案】(x-l)(3x-4)(2x+l).【解析】容易發(fā)現(xiàn)x=l是方程6x3-llx: + x+4 = 0的解，因此原式可以捉出因式(x-1), 得到(x-1X6x2-5x-4), Xt(6x2-5x-4)用十字相乘可以得到原式等于 (x-lX3x-4X2x+l).2k ® a >b >0 , a: +b: =4ab r 則 a + b = . a-b【答案】VJ.【解析】由條件可w(a + b): = 6ab

27、, (a-b): = 2ab. W此=由于a+b>0, (a-b* 2aba -b>0 .所以 3= 4 3' 若 x:+x-l = 0,則x3 + 2?r +3= . 【答案】4.【解析】對多項(xiàng)式川帶余除法nrftfx, + 2x2 + 3 = (x: + x-l)(x + l) + 4,曲山條件 (x: + x-l)(x+l) = 0.因此原式的值銪于4.4、己知(b-c)2 = 4(a -b)(c-a), Ila *0» 則= a【答案】2.【解析】令a -b = m. c-a = n» 則c-b = m+n» 代 A(b-c)'

28、 =4(a-b)(c-a)中得(m+n)- = 4um. .(m-n)2 =0. /.m= n ,即 a_b = c- a，即 2a=b + c，/.= 2 .a5、一個(gè)袋子里裝有W個(gè)紅球和一個(gè)白球(漢顏色不同.第一次從中取出一個(gè)球.記下顏色 后放回，搖勻，第二次從屮取出一個(gè)球，則兩次邢是紅球的概率是 .【答案】I'【解析】第一次取出紅球的槪率為j, fl無論第一次収出什么球.奶二次取出紅球的槪 ?7 7 4率仍為二，因此兩次部足紅球的槪率足二xS = l.33 3 96、直線ky =-力x+W與x、y軸交于點(diǎn)A、B，AAOB關(guān)于直線AB對稱得到AACB， 則點(diǎn)C的坐標(biāo)足 .答案】.2

29、 2【解析】根據(jù)函敗解析式可以算出A、B的坐鉍分別為A（1，O）, B（O、V?r由J'ACBEaA0B關(guān)于£找站對稱衍到的.所以AC=AO. BC = BO.沒C（m.n，則叫列方組(m - l): + n2 = 1 m2 +(n-V3)2 =3解得，m=22另一解與04合,舍去.因此C（曇冷）7、一張矩形紙片ABCD，AD = 9, AB = 12將紙片折S，使A、C兩點(diǎn)重合，折痕長足 番【答案】4【解析汕題息知折痕足線段AC的中垂線.沒它與AB,CD分別交于M,N.SMB = x, 則由MC = MA珂列方程x: +9'=（12-x）2，解得義=.|“j珅有DN

30、 = .作ME丄CD , 8 8垂足為E，則四邊形MECB足矩形，閃此ME=BC = 9, CE = BM =.可知8 NE = CD-DN-CE = y .而 MN = 7mE2+NE2 = 92+（）:= .因此折痕長為f .8、任給一個(gè)正S數(shù)n,如果nSffl數(shù).就將它減半一得到如果nS奇數(shù)，則將它乘 以3加1得到3n + l.不斷亟fi這樣的運(yùn)算，如果對正幣數(shù)n （視為苜項(xiàng)）按照上述 規(guī)則實(shí)施變換后（有些朽可能？次出現(xiàn)）的第8項(xiàng)為1,則n的所有可能取值為 . 【答案128, 21, 20, 3, 16. 2.【解析】設(shè)某一項(xiàng)為k,則它的前一項(xiàng)應(yīng)該為2k戎 其中1必為奇數(shù).即k = 4（

31、mod6）,按照上述方法從1幵始反向操作7次即塒.9、lE六邊形ABCDED的|fn積足6平方塒米，聯(lián)結(jié)AC . CE、EA，RD，DF、FB .求陰影部分小正六邊形的面積為 . 【？?案】2cm:.【解析】右閣中，陰彭部分足正六邊形，且與正六邊形 ABCDEF的相似比為I.禮 因此而積比為1:3.因?yàn)?ABCDEF的面積是6cm:，所以陰彭部分的曲積為6-3 = 2(cm:) 10、己知yi =2x2 +(4-m)x+(4-m)與y2 = nw在x取任實(shí)數(shù)吋 y2至少有一個(gè)足正數(shù)，m的取值范. 【答案1 m<4.【解婦r】収X = 0，則yj = 4 - m，y2 = 0 »

32、 . 4-m> 0，m<4 >此時(shí)函數(shù)為的對稱軸x = - <0,4則對任怠0總有yi>0，只S考慮x<0;若0幺m< 4，此時(shí)y, < 0, 則對任怠x<0，yt > 0 ».A = (4-m)2-8(4-m)<0,解衍0Sm<4:?7 m< 0，此時(shí) y2 > 0 對 x< 0 fti成立；綜上，m<4.11、己知a, b, c坫互不相等的丈數(shù)，x坫任怠丈數(shù)，化ffl:(x a)2 十 |xb)2 十(XC)2 (a -b)(a -c) (c -b)(a -b) (c- a)(c-b|

33、【r?案】i.【解析】令f(x) =(X-a>2, (x-吖，(x-cf(a -b)(a -c)(c-b>(a -b) (c-a)(c-b)=nix'+ nx+k 1.f(a)= f(b)= f(c) = h 即ma: + na + k = 1mb2 + nb + k = 1, .。，即 f(x)憑 1me* + nc +12、己知實(shí)數(shù)a, b滿足a2 + ab + b2=b t = ab-a2-b則t的取仉范鬧足 【答案】-3<t<-i.3【解析】方法一：考慮蓽木不等式a2+b2|ab|.則 a: +b2 = l-ab>2|ab|,又./t = ab-a

34、: -b: =2ab-l，S 3!1屮3 = 1，b = 1 時(shí)，t = 3成立：a =b=4時(shí)，t=-上成立.33方法二:逆用書達(dá)定理.ab = , (a + b)： = 0.2 1 7 2 At>-3, a+b = ±/p故a,b是方程x2 ±= 0的兩個(gè)根.13、（1）求邊長為1的lE五邊形對角線長;（2）求sinl8°.【答案】（1）今1.【解析】（1）沒正五邊形ABCDE，聯(lián)結(jié)AC,BE. fl沒它們交于點(diǎn)Nf .可以計(jì)算得到ZABN1 = ZABC = 36° ,因此可待 AB: = AM . AC .同時(shí). ZBMC = ZCBXI

35、= 72° ,所以BC = .若正五邊形邊長為1,則AB = BC=CM=1» 沒AC = x,則由AB2 = ANf-AC可列方程lxU-l）,解得（另一負(fù)銀舍 去）.山對稱性，該五邊形ft對角線長均為（2）根據(jù)誘導(dǎo)公式，sml8° = cos72°.在（1）的五邊形屮， BM = AN! = AC -CM =-.作CH丄BX1,垂足為H,則等膾三角形BMC屮BH = HM=1bM = 221.因?yàn)?ZCBM = 72° .所以 sinl8° = cos72°= =.24BC 414、(1) f(x)=xJ + ax2+b

36、x+c. 0< f(-l)= f(-2)= f(-3)<3.求 c 的取值范圍:(2) f(x) = x4+axJ+bx:+cx+d. f = 10, f = 20, f = 30,求 f (D )+). 【笞案】(1) 6<c<9 : (2) 8104.【解析】(1) .0< f(-l)= f(-2)= f(-3)<3.f(x)-k = 0有三個(gè)實(shí)根x = -K-3，/. f(x)-k = (x+l)(x+ 2)(x+3)i 展開得c = k + 6 .6<c9 ；(2)方ffif(x)-10x = 0jH個(gè)實(shí)根x = l，2.3，記第 4 個(gè)銀為

37、x=P，則 f(x)-10x«(x-p)(x-l)(x-2)(x-3), f(x) = (x- p)(x-l)(x-2)(x-3) + 10x,f(10)+ f(-6)= (10-p)x9x8x7 + 100 + (-6- p)x(-7)x(-8)x(-9)-60= 8104 15、我們學(xué)過直線與圓的位置關(guān)系，根裾材料完成問題(1)(2) 類f以給出竹景知識：平曲 cr : Ax+By+Cz+D = 0;Aa + Bb + Cc + D| VS + B'+C球：(x- a)2 +(y-b)2 +(z-c)* = R;；點(diǎn)(a，b、c)到平曲a Ax+ By + Cz+D =

38、0的距離公式:球心到平面的距離為d，當(dāng)d<R吋，球與平面相交，當(dāng)d = R時(shí)，球與平面相切,當(dāng)d>R 時(shí)，球與平面相離:問題<1)：若實(shí)數(shù)m、n、k滿足m+n+k = l.求m2+n2+k2的小值；問題(2): I?/j'frVx + Vy-T+Vz-2" = -(x+ y+z).【答案】(1) 1; <2)y=2.3z = 3【解析】(1)條件可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)(mak)在平面x+y+z-l =。上,rfinr+n2+k2的誑小值 W該點(diǎn)到除點(diǎn)距離卞:方的般小ffl.這個(gè)距織小為晚點(diǎn)到Tlftix+y+z-l = 0的距3$，ifu似點(diǎn)到平曲的距離山M料公式

39、汁算W到：d = ll2<0lx0lx0-1l = t因此 Vl2 + l2+l23m +n2 +lr的最小值為d:=-，等號在m=n=k=i時(shí)取到.33（2）移項(xiàng)配>i»>frj,fij 1（7x-1）2 + i（7y-i-1）2+1（7z-2 -i）2 = o. w此必0Vx-l = o /FT_i=o,于琺解拊>fz2-l = Q上海中學(xué)自招試題1% 因式分解：6xJ-llx2 + x+4 = 2、® a >b > 0 > a2+b2 = 4ab， 3% if x2 + x-l = Oi 則x; + 2x:+3 = 4、己知(

40、b-c)2=4(a-b)(c-a)，且a*0,則= 5、一個(gè)袋7里裝有兩個(gè)紅球和一個(gè)白球（僅領(lǐng)色不同X第一次從中取出一個(gè)球.記下顏色后放1-】，搖勻，第二次從屮取出一個(gè)球，則兩次那S紅球的概蘋足 .6、rttKl：y = -V3x+V3 與 x、y 軸交于點(diǎn) A、B. AAOB 關(guān)于 FI 線 AB 對稱 W 到 AACB， 則點(diǎn)C的坐標(biāo)是 .7、張絕形紙片ABCD, AD = 9, AB = 12,將紙片折疊，使A、C兩點(diǎn)|（介，折槍Mi S、仃給一個(gè)正S數(shù)!1，如澩n足偶數(shù)，就將它減半一一得到如果u足奇數(shù)，則將它乘 以3加1W到允+ 1,不斷承4Z這樣的運(yùn)算，如果對正稱數(shù)n （視為這項(xiàng)）按

41、照上述 規(guī)則實(shí)施變換G（訂叫B可能？次出現(xiàn)）的第s項(xiàng)為1，則11的所苻吋能取值為 . 陰影部分小正六邊形的面積為 9、六邊形ABCDED的lf!j枳足6平方W米.聯(lián)結(jié)AC、CE、EA、BD、DF、FB，求10、己知= 2x: +（4-m）x+（4-m）與y2 =n«在x取任意實(shí)數(shù)時(shí)，yP y:至少好一個(gè)是正數(shù)，m的取倂范圍 11、己知a, b, cS互不扣呀的實(shí)數(shù)，xS任總實(shí)數(shù)，化簡:(x-a)2(a-b)(a-c)I (x_b)2,(x-c): (c-b)(a -b) (c- a)(c-b|12、己知實(shí)數(shù)a，b滿足a:+ ab + b2 =1，t = ab-a: -b: 則t的取值

42、范|詞琺 13、（1）求邊長為1的正五邊形對角線長;（2）求sml8°.14、(1) f(x)=x,+ax2+bx + c. 0< f(-l)= f(-2)= f(-3)<3,求 c 的取伯范|禮(2) f(x) = x4 + ax3+bx:+cx+d, f(l)=10, f(2) = 20, f(3) = 3O，求 f (D )+f 卜).15、我們學(xué)過H線與閥的位K關(guān)系，根拖M料完成問題(1)(2) 芡似給出背景知識：平面 : Ax+By+Cz+D = 0; 球：|x-a)2+(y-b)2+(z-c): = R:;點(diǎn)(a,b,c)到平面 a: Ax+ By+Cz+ D

43、 = 0 的妒離公式：d = lA + + Cc + Dl .Va2 + b:+c2球心到平面的拒離為d,當(dāng)d<R時(shí)，球與平面ffl交，d = R時(shí)，球與平面相切，3d>R 時(shí)，球與平面相離：問題(1): ?!實(shí)數(shù)m，n、k滿足m+n + k = l，求m:+n:+k2的51小們： M題(2):解方程4 + y/y-l + y/z-2 = (x+ y+z).2019年交大附中自招數(shù)學(xué)試卷一、填空題1、求值：cos30°-sin45°-tan60= = 2. 反比例函數(shù)y =-與二次函數(shù)y = -x2 + 4x-3的圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為 .x3，巳知x2-x-l =

44、0，則a3-2x2+3 =. 4. ft 方程(.v + l)(x + ll) + ( + ll)(x + 21)+(.v + l)(x + 21) = 0 的兩根為七.V,.則( + 1)(2 + 1)= 5. 直線v = x+k (A-<0)上依次有A、B，C、D四點(diǎn)，它們分別是直線與x軸.雙曲線y = -. v軸x 的交點(diǎn)，若AB = BC = CD,則分= .6. 交大附中文化體行設(shè)施齊全.學(xué)生既能在教室專心學(xué)習(xí)，也能在操場開心運(yùn)動，德智體美勞全面發(fā) 展.某次體育課，英才班部分學(xué)生參加籃球小組、其余學(xué)生參加排球小組，籃球小組中男生比女生多 五分之一.樟球小組男女生人數(shù)相等；一ft

45、時(shí)間后，有一名男生從籃球小組轉(zhuǎn)到排球小組，一名女生 從撣球小組轉(zhuǎn)到藍(lán)球小沮.這樣籃球小沮的男女生人數(shù)相等，棑球小組女生人數(shù)比男生人教少四分之 一，問英才班有 人.1'已知a，b，c,”是互不栢等的正整敷旦丄+丄也是整敗，則n的最大值是. a b c n8. 如圖，是邊長為丨的正五邊形.則它的內(nèi)切圓與外捿圓所圍圓環(huán)的面積為 .9, 若關(guān)于x的方程(x-4)(x2-6.v + 7») = 0的三個(gè)根恰好可以組成某直角三角形的三邊長，則m= .10. 設(shè)ABC的三邊a.bx均為正整數(shù).且（7 + b + c = 40，當(dāng)*積a加最大時(shí)，的面積 為 11. 如困，在直角坐標(biāo)系中.將A

46、O踐呢點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到OCD.其中-4（-34）, B（4,3），點(diǎn)D在x軸 正半軸上，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為 .少贏H OD二.解答題12. 如圖，數(shù)抽上從左到右依次有A，B、C，D四個(gè)點(diǎn)，它們對g的實(shí)數(shù)分別為a.b'c，d，如果存在實(shí)數(shù)/i.St足：對線段bCl）上的任意A1曹，其對應(yīng)的數(shù)為X.實(shí)敷4對應(yīng)的點(diǎn)AT仍然在線»AB或CD X二.則稱（a,6，c.rf,又）為“完美數(shù)組例（12,3.6.6）就是一沮“完美教組”.己知| = 1, |灰7 = 5|, |CD| = 4,求此時(shí)所有的“完美數(shù)組”，寫出你的結(jié)論和推算過程。.4 B參考答案u手2、33、24. 2005、9326. 3

47、61、428. 9. 10、14->/304912, (23,8.12,24), (-4,-3,2,6,12), (-4,-3,2,6,12)2019年復(fù)旦附中自招數(shù)學(xué)試卷（一）1. 兩個(gè)非零實(shí)數(shù)a、b滿= u-b，求+ - c/A的俏.b a2. iJ.知|2m-l 丨丨=丨/w 3| + |/n-8|，求"？的取僨沿ffl.3. 若關(guān)子x的不等式0S（w + 2019幺M18的幣數(shù)解為丨、2、3、2018,求a的范I均.4.己知么ABC、'«?'邊松均4 2,點(diǎn)D5.已知x、.1，為實(shí)數(shù)，求5x2+4v2 -8.n +2.V + 4的最小tt.6.

48、 tEABCZ5 = 2ZC , .4D為乙4的角平分線，AB BD求 tan ZC 的 tfi.（二）I. 等腰梯形 JflCD 屮.AB = CD = 3. AD = 6, BC = 6. CELAB.（1求C£的K; （2）求aBC£|切豳的卑徑.4D /；li2. 定義v = 時(shí)，y =.v0 則稱(va.v0)4j點(diǎn)（I fr r= X+,fl 3個(gè)+動點(diǎn)6.6）、（-6,-6） 求 八 /的依： .V + P（2若v =省關(guān)于Ki點(diǎn)對稱的不動點(diǎn)，求fl、A滿足的條ft.A+&3. 己知5（”）力，的各位數(shù)卞之和，5（2019） = 2 + 0 + 1 +

49、 9 = 12.（1）*pi 1950 / 2019 吋，找出所柯滿足S5（w» = 4 的/':（2）與為正格尥吋，找;I!所介滿hL/ + S（；O + SS（/i） = 2019的".（三）1. 平行四邊形兩條鄰邊為7和8,兩條對角線為n,求w2+/r的偵.2. 己知正 fi 數(shù) Y. y；ft2rv+r+v = 127.求 r+y 的值.3. 斐波那契數(shù)列為久=1丄2.3,5義,記數(shù)列久為人中毎一項(xiàng)除以4的余數(shù),問汝J屮 第2019次出現(xiàn)I時(shí)的序數(shù)（即第幾個(gè)數(shù)）參考答案(iha1 2 3 + h' (a-hY lah =2aha b a h2. 結(jié)合

50、絕對值憊義成揮圖®，a<-X20189()193. #0<-1<1 . 2018<-<20194.4. AD + CD = AD + A'D >= 4,即 W小饑力 45. 配方 4(x-y)- I) a = 36 f A = 5 ： (2) a 0 IIn 25 » b - 5+(x + l)2+3>3> 即小泊為 36.求出 BDAti I+V2. tl止弦定埋.M一'BD sin Z. BAD倍粕公式、化切，可求得tan| = V2-l.由二倍佗公式可求tanC = l上中自招1、打足夠多的紅球和臍球.取

51、其中10個(gè)球排成一列，要求:毎個(gè)紅球至少與一個(gè)紅球相鄰,至少科多少種It法?解析：紅紅藍(lán)L藍(lán)X 藍(lán)b紅紅+a0 + l(w4)”-，()+ «-3 (w 5) aQ = La1 = l，fl2 = 2， =4，a4 = 7,n5 = 12 參o6 = 21，a7 = 37，as = 65.9 = 114，a10 = 2002、繁板上有2020個(gè)數(shù)，分別足1，W"-，一?一，每次操作，選兩個(gè)數(shù)a和d.計(jì)算得到ad + a + d,再把a(bǔ)和辦 2 32020擦掉.把計(jì)算的數(shù)寫上，這樣操作2019次最后得到的數(shù)足多少？W析：記這2020個(gè)數(shù)為aPa2，a2Q2Q.則易知.操作前后

52、n(«, + l)/£不變黽則最后一個(gè)fi2x-xlx - x-1_i = 20202 320203. isttuw心出一個(gè)叉r®數(shù)的等代2,個(gè)5.給定一個(gè)邊的If:力形.燈邊的W形.沒計(jì)把這叫|H方形今放到人lE方形內(nèi).iwifim體ft 法,并用語a典體描述解析：W禮 邊長為1的放入人II:/形的A:卜肩，邊的緊貼在邊1的心邊，邊長為；，7的雌叩巾標(biāo)記形區(qū)域內(nèi):邊長為一，一的放在閣屮標(biāo)記“一”的矩形區(qū)域內(nèi)：8158邊長為的放在閣中標(biāo)記“1”的矩形區(qū)域內(nèi): 631166、定義：»金梯形足指一條對角線能將門己分為網(wǎng)個(gè)等雅三相形的等腰悌形.則與金悌形的上下

53、底（上底小尸卜_底）比為多少？解析：等肢梯形內(nèi)接 H 山托勒密定理得：a2ab = b2七寶自招1，芟形 OABC 屮，OB、ACM 交y = -fct 點(diǎn) 3八 C. 2x04,求 g形 OABC 的面積 M 人 tfi解析：i*線的dV斜率為叢，由菱形對角線互相牟H可得：.4C的斜率為一xo）0所以.'。'、o .2y0 = x0.y0< = 2y02=> y0 = -x01、二次函數(shù)y = av2 + hA+c,其圖 M(£x軸及其上方，&t = a + 2b+i2c ,則/的il值為？少? a3 W析：由己知a0 fe2-4fle<0

54、=>(j -<02b 12c、， 2b(b if 2、2= l+ 之 1 + +3 =3 + - + a aaa) a 3) 3 3當(dāng)且僅= 時(shí)，等y成立，令無窮滿足糸件，此時(shí)婦于無窮，故'無W大Wa 3 a 36綜上：r_= j，無最大值3. 對于各數(shù)互不相同的數(shù)列apa2，a3，<n<k.an<am,則(a，aw )稱為一個(gè)逆序，數(shù)列中逆序的 總數(shù)稱為該數(shù)列的逆序數(shù)，如3,2，1中2 <3,則稱p，2)為一個(gè)逆r?.HFE(3,l),(2,也為逆序，逆序數(shù)為2 + 1 = 3. fliYj-fr數(shù)互不的數(shù)列,(7100 .逆序數(shù)AAr.則該數(shù)列赪

55、例后得到的a似，.斗逆印數(shù)力多少？ 解析：V/#和(jj)中恰宵-個(gè)逆序所以 apa2，ap，a100 與 al00，a，巧.共ft C；w = 4950 個(gè)逆序所以a，的逆序數(shù)為4950-k4、己知實(shí)數(shù)/，使fg/=1./2 = 2,r3=3,-.r"J = » 8IW求正整數(shù)/»的ft人位解析：依題怠得：1/<2.2/2<3=>>/2 </<.3</3 <4=>一般仏對/ = 1.2,3.，成立，題U®求找到W人的也 H大個(gè)S的時(shí)候，前伽的不等式組會產(chǎn)屯矛，換句話說.brpi存ft兩個(gè)數(shù)"“k，HfjKk.滿足此時(shí)"-I 就足最大的如果w = 2,考lSV2</m=>2(A- + l)這個(gè)不等式左邊足ffi數(shù)羽，右邊足二次切，所以在允大F 某個(gè)數(shù)時(shí)，必定成立口f以估一下Ar = 6即口r.所以此時(shí)w=5.表哦石t<忑、.再與卜去后公產(chǎn)在?/w = 3.貶使相/5之/1=>30 + 1>5.這個(gè)不等式在k = 5 時(shí)S成、>:的，即沢作，所以n = 4.驗(yàn)證一下即4所以鋮大fft足W = 4交附自招1. ttmjnjn.in. k中心乂