2集合的基本關(guān)系及運(yùn)算參考模板

1、集合的基本關(guān)系及運(yùn)算 【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.理解集合之間包含與相等的含義，能識(shí)別一些給定集合的子集在具體情境中，了解空集和全集的含義2.理解兩個(gè)集合的交集和并集的含義，會(huì)求兩個(gè)簡(jiǎn)單集合的交集與并集理解在給定集合中一個(gè)子集的補(bǔ)集的含義，會(huì)求給定子集的補(bǔ)集【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、集合之間的關(guān)系1.集合與集合之間的“包含”關(guān)系集合A是集合B的部分元素構(gòu)成的集合，我們說集合B包含集合A；子集：如果集合A的任何一個(gè)元素都是集合B的元素，我們說這兩個(gè)集合有包含關(guān)系，稱集合A是集合B的子集(subset).記作：，當(dāng)集合A不包含于集合B時(shí)，記作AB，用Venn圖表示兩個(gè)集合間的“包含”關(guān)系：要點(diǎn)詮釋：（1）“是的子集

2、”的含義是：的任何一個(gè)元素都是的元素，即由任意的，能推出（2）當(dāng)不是的子集時(shí)，我們記作“(或)”，讀作：“不包含于”（或“不包含”）真子集：若集合，存在元素xB且，則稱集合A是集合B的真子集(proper subset).記作：AB(或BA)規(guī)定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.2.集合與集合之間的“相等”關(guān)系，則A與B中的元素是一樣的，因此A=B要點(diǎn)詮釋：任何一個(gè)集合是它本身的子集，記作要點(diǎn)二、集合的運(yùn)算1.并集一般地，由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素所組成的集合，稱為集合A與B的并集，記作：AB讀作：“A并B”，即：AB=x|xA，或xBVenn圖表示：要點(diǎn)詮釋：（1）“x

3、A，或xB”包含三種情況：“”；“”；“”（2）兩個(gè)集合求并集，結(jié)果還是一個(gè)集合，是由集合A與B的所有元素組成的集合(重復(fù)元素只出現(xiàn)一次).2.交集1 / 9一般地，由屬于集合A且屬于集合B的元素所組成的集合，叫做集合A與B的交集；記作：AB，讀作：“A交B”，即AB=x|xA，且xB；交集的Venn圖表示：要點(diǎn)詮釋：（1）并不是任何兩個(gè)集合都有公共元素，當(dāng)集合A與B沒有公共元素時(shí)，不能說A與B沒有交集，而是（2）概念中的“所有”兩字的含義是，不僅“AB中的任意元素都是A與B的公共元素”，同時(shí)“A與B的公共元素都屬于AB”（3）兩個(gè)集合求交集，結(jié)果還是一個(gè)集合，是由集合A與B的所有公共元素組成

4、的集合.3.補(bǔ)集全集：一般地，如果一個(gè)集合含有我們所研究問題中所涉及的所有元素，那么就稱這個(gè)集合為全集，通常記作U.補(bǔ)集：對(duì)于全集U的一個(gè)子集A，由全集U中所有不屬于集合A的所有元素組成的集合稱為集合A相對(duì)于全集U的補(bǔ)集(complementary set)，簡(jiǎn)稱為集合A的補(bǔ)集，記作：補(bǔ)集的Venn圖表示：要點(diǎn)詮釋：（1）理解補(bǔ)集概念時(shí)，應(yīng)注意補(bǔ)集是對(duì)給定的集合和相對(duì)而言的一個(gè)概念，一個(gè)確定的集合，對(duì)于不同的集合U，補(bǔ)集不同（2）全集是相對(duì)于研究的問題而言的，如我們只在整數(shù)范圍內(nèi)研究問題，則為全集；而當(dāng)問題擴(kuò)展到實(shí)數(shù)集時(shí)，則為全集，這時(shí)就不是全集（3）表示U為全集時(shí)的補(bǔ)集，如果全集換成其他集合

5、（如）時(shí)，則記號(hào)中“U”也必須換成相應(yīng)的集合（即）4.集合基本運(yùn)算的一些結(jié)論若AB=A，則，反之也成立若AB=B，則，反之也成立若x(AB)，則xA且xB若x(AB)，則xA，或xB求集合的并、交、補(bǔ)是集合間的基本運(yùn)算，運(yùn)算結(jié)果仍然還是集合，區(qū)分交集與并集的關(guān)鍵是“且”與“或”，在處理有關(guān)交集與并集的問題時(shí)，常常從這兩個(gè)字眼出發(fā)去揭示、挖掘題設(shè)條件，結(jié)合Venn圖或數(shù)軸進(jìn)而用集合語(yǔ)言表達(dá)，增強(qiáng)數(shù)形結(jié)合的思想方法.【典型例題】類型一、集合間的關(guān)系例1. 集合，集合，那么間的關(guān)系是（ ）. A. B. C. = D.以上都不對(duì) 【答案】B【總結(jié)升華】判斷兩個(gè)集合間的關(guān)系的關(guān)鍵在于：弄清兩個(gè)集合的元

6、素的構(gòu)成，也就是弄清楚集合是由哪些元素組成的.這就需要把較為抽象的集合具體化（如用列舉法來表示集合）、形象化（用Venn圖，或數(shù)形集合表示）.舉一反三：【變式1】若集合，則（ ）.A. B. C. = D. 【答案】C例2. 寫出集合a，b，c的所有不同的子集.【總結(jié)升華】要寫出一個(gè)集合的所有子集，我們可以按子集的元素個(gè)數(shù)的多少來分別寫出.當(dāng)元素個(gè)數(shù)相同時(shí)，應(yīng)依次將每個(gè)元素考慮完后，再寫剩下的子集.如本例中要寫出2個(gè)元素的子集時(shí)，先從a起，a與每個(gè)元素搭配有a，b，a，c，然后不看a，再看b可與哪些元素搭配即可.同時(shí)還要注意兩個(gè)特殊的子集：和它本身.舉一反三：【變式1】已知，則這樣的集合有 個(gè)

7、.【答案】7個(gè)【變式2】同時(shí)滿足：；，則的非空集合有（ ）A. 16個(gè) B. 15個(gè) C. 7個(gè) D. 6個(gè)【答案】C 例3集合A=x|y=x2+1，B=y|y=x2+1，C=(x,y)|y=x2+1，D=y=x2+1是否表示同一集合？【答案】以上四個(gè)集合都不相同【總結(jié)升華】認(rèn)清集合的屬性，是突破此類題的關(guān)鍵.首先應(yīng)當(dāng)弄清楚集合的表示方法，是列舉法還是描述法；其次對(duì)于用描述法表示的集合一定要認(rèn)準(zhǔn)代表元素，準(zhǔn)確理解對(duì)代表元素的限制條件舉一反三：【變式1】 設(shè)集合，則（ ）A. B. C. D. 【答案】D【變式2】 設(shè)集合，則與的關(guān)系是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【變式3】 設(shè)M=x

8、|x=a2+1，aN+，N=x|x=b2-4b+5，bN+，則M與N滿足( )A. M=N B. MN C. NM D. MN=【答案】B例4已知若M=N，則= A200 B200 C100 D0【思路點(diǎn)撥】解答本題應(yīng)從集合元素的三大特征入手，本題應(yīng)側(cè)重考慮集合中元素的互異性【答案】D【總結(jié)升華】解答本題易忽視集合的元素具有的“互異性”這一特征，而找不到題目的突破口因此，集合元素的特征是分析解決某些集合問題的切入點(diǎn)舉一反三：【變式1】設(shè)a，bR，集合，則b-a=( )【答案】2類型二、集合的運(yùn)算例5. 設(shè)集合，求.【答案】,【總結(jié)升華】求兩個(gè)集合的交集或并集，關(guān)鍵在于弄清兩個(gè)集合由哪些元素所構(gòu)

9、成的，因而有時(shí)需要對(duì)集合進(jìn)行轉(zhuǎn)化，或具體化、形象化.如本例中轉(zhuǎn)化為用自然語(yǔ)言來描述這些集合，有利于弄清集合的元素的構(gòu)成.類似地，若一個(gè)集合元素的特征由不等式給出時(shí)，利用數(shù)軸就能使問題直觀形象起來.舉一反三：【變式1】已知集合M=y|y=x2-4x+3，xR，N=y|y=-x2-2x+8，xR，則MN等于( )A. B. R C. -1，9 D. -1，9【答案】D例6. 設(shè)集合M=3，a，N=x|x2-2x<0，xZ，MN=1，則MN為( )A. 1，3，a B. 1，2，3，a C. 1，2，3 D. 1，3【思路點(diǎn)撥】先把集合N化簡(jiǎn)，然后再利用集合中元素的互異性解題【答案】D舉一反三

10、：【變式1】（1）已知：M=x|x2，P=x|x2-x-2=0，求MP和MP；（2）已知：A=y|y=3x2， B=y|y=-x2+4， 求：AB，AB；（3）已知集合A=-3， a2 ，1+a， B=a-3， a2+1， 2a-1， 其中aR，若AB=-3，求AB.【答案】（1）x|x2或x=-1，2；（2）y|0y4，R；（3）-4，-3，0，1，2.【總結(jié)升華】此例題既練習(xí)集合的運(yùn)算，又考察了集合元素的互異性.其中（1）易錯(cuò)點(diǎn)為求并集時(shí)，是否意識(shí)到要補(bǔ)上孤立點(diǎn)-1；而（2）中結(jié)合了二次函數(shù)的值域問題；（3）中根據(jù)集合元素的互異性，需要進(jìn)行分類討論，當(dāng)求出a的一個(gè)值時(shí)，又要檢驗(yàn)是否符合題設(shè)

11、條件.【變式2】設(shè)集合A=2，a2-2a，6，B=2，2a2，3a-6，若AB=2，3，求AB.【答案】2，3，6，18例7.已知全集，求CuA.【思路點(diǎn)撥】CuA隱含了，對(duì)于，注意不要忘記的情形.【答案】 當(dāng)時(shí)，CuA=；當(dāng)時(shí)，CuA=；當(dāng)時(shí)，CuA=.【總結(jié)升華】求集合的補(bǔ)集，只需在全集中剔除集合的元素后組成一個(gè)集合即可.由于本題中集合的元素不確定，因此必須分類討論才行.舉一反三：【變式1】 設(shè)全集U=xN+|x8，若A(CuB)=1，8，(CuA)B=2，6，(CuA)(CuB)=4，7，求集合A，B.【答案】1，3，5，8，2，3，5，6.【解析】全集U=1，2，3，4，5，6，7，8

12、由A(CuB)=1，8知，在A中且不在B中的元素有1，8；由(CuA)B=2，6，知不在A中且在B中的元素有2，6；由(CuA)(CuB)=4，7，知不在A中且不在B中的元素有4，7，則元素3，5必在AB中.由集合的圖示可得A=1，3，5，8，B=2，3，5，6.類型三、集合運(yùn)算綜合應(yīng)用例8已知全集A=x|-2x4， B=x|x>a.（1）若AB，求實(shí)數(shù) a的取值范圍；（2）若ABA，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（3）若AB且ABA，求實(shí)數(shù)a的取值范圍【思路點(diǎn)撥】（1）畫數(shù)軸；（2）注意是否包含端點(diǎn).【答案】（1）a<4；（2）a-2；（3）-2a<4【總結(jié)升華】此問題從題面上看是集

13、合的運(yùn)算，但其本質(zhì)是一個(gè)定區(qū)間，和一個(gè)動(dòng)區(qū)間的問題.思路是，使動(dòng)區(qū)間沿定區(qū)間滑動(dòng)，數(shù)形結(jié)合解決問題.舉一反三：【變式1】已知集合P=xx21,M=a.若PM=P,則a的取值范圍是（ ）A(-, -1 B1, +） C-1，1 D（-，-1 1，+） 【答案】C 例9. 設(shè)集合.（1）若，求的值；（2）若，求的值.【思路點(diǎn)撥】明確、的含義，根據(jù)問題的需要，將其轉(zhuǎn)化為等價(jià)的關(guān)系式和，是解決本題的關(guān)鍵.同時(shí)，在包含關(guān)系式中，不要漏掉的情況.【答案】（1）或；（1）2【總結(jié)升華】?jī)蓚€(gè)等價(jià)轉(zhuǎn)化：非常重要，注意應(yīng)用.另外，在解決有條件的集合問題時(shí)，不要忽視的情況.舉一反三：【變式1】已知集合，若,求實(shí)數(shù)的

14、取值范圍.【答案】或【變式2】設(shè)全集，集合，若CuA，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】【鞏固練習(xí)】11. 設(shè)A=(x, y)| |x+1|+(y-2)2=0，B=-1, 2，則必有（ ）A、 B、 C、A=B D、AB=2. 集合M=y| y=x2-1, xR， N=x| y=，則MN等于（ ） A、(-, 1), (, 1) B、 C、 D、3已知全集，則正確表示集合和關(guān)系的韋恩（Venn）圖是 （ ） 4已知集合滿足,那么下列各式中一定成立的是（ ）A AB B BA C D 5若集合，且，則的值為( )A1 B-1 C1或-1 D1或-1或06設(shè)集合，則( )A B C D7設(shè)，則.8某班有學(xué)

15、生55人，其中體育愛好者43人，音樂愛好者34人，還有4人既不愛好體育也不愛好音樂，則該班既愛好體育又愛好音樂的人數(shù)為 人.9若且，則 .10若，則= .11設(shè)全集，集合，那么等于_.12設(shè)集合，都是的含兩個(gè)元素的子集，且滿足：對(duì)任意的，（），都有（表示兩個(gè)數(shù)中的較小者）則的最大值是 .13設(shè)，其中，如果，求實(shí)數(shù)的取值范圍.14設(shè)，集合，；若，求的值.15設(shè)，集合.滿足以下兩個(gè)條件：（1）（2）集合中的所有元素的和為124，其中.求的值.【答案與解析】1.【答案】D【解析】.學(xué)生易錯(cuò)選C。錯(cuò)因是未正確理解集合概念，誤以為A=-1，2，其實(shí)(x, y)| |x+1|+(y-2)2=0=(-1,

16、2)，A是點(diǎn)集而B是數(shù)集，故正確答案應(yīng)選D。2.【答案】C【解析】 集合M中的元素是y，它表示函數(shù)y=x2-1的值域，集合N中的元素是x，它表示函數(shù)y=的定義域。 由M=y| y-1，N=x| -x，知MN=t| -1t，因此選C。3【答案】B【解析】由，得，則,選B4【答案】C【解析】5.【答案】D【解析】當(dāng)時(shí)，滿足，即；當(dāng)時(shí)，而，；.6.【答案】 B【解析】 ；，整數(shù)的范圍大于奇數(shù)的范圍.7.【答案】 【解析】.8.【答案】26 【解析】全班分類人：設(shè)既愛好體育又愛好音樂的人數(shù)為人；僅愛好體育的人數(shù)為()人；僅愛好音樂的人數(shù)為()人；既不愛好體育又不愛好音樂的人數(shù)為人 .，.9.【答案】 【解析】由，則，且.10.【答案】 【解析】，.11.【答案】 【解析】，代