第一章信號(hào)與系統(tǒng)的概念

1、信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng) Signals and Systems第一章第一章 信號(hào)與系統(tǒng)的概念信號(hào)與系統(tǒng)的概念The conception of Signals and systems1.1 信號(hào)的概念信號(hào)的概念 1.1.1 信號(hào)的定義信號(hào)的定義信號(hào)（信號(hào)（signal）是運(yùn)載信息的工具，在數(shù)學(xué)上表示為一個(gè)或多個(gè)自變量的函數(shù)，自變量通常是時(shí)間，信號(hào)表示為函數(shù)。正弦信號(hào)正弦信號(hào)是電子系統(tǒng)和信號(hào)處理技術(shù)領(lǐng)域常用到的一種信號(hào)，其形式為 。根據(jù)不同的應(yīng)用場(chǎng)合和背景，正弦信號(hào)的振幅 、角頻率 、初相 均可代表（運(yùn)載）不同的信息。例一：00( )cos()f tAtA00圖1.1.2 頻移鍵控（FSK）信號(hào)的

2、波形頻移鍵控（頻移鍵控（FSK）信號(hào)）信號(hào)，常用于二進(jìn)制數(shù)字通信中 。例二：圖1.1.3 周期脈沖信號(hào)的波形例三：周期脈沖信號(hào)周期脈沖信號(hào) 1.1.2 因果信號(hào)、逆因果信號(hào)的概念因果信號(hào)、逆因果信號(hào)的概念 在信號(hào)處理中，常將信號(hào)值不恒為零的持續(xù)時(shí)間，稱為信號(hào)持續(xù)時(shí)間信號(hào)持續(xù)時(shí)間（signal duration）。 下面簡(jiǎn)要給出與信號(hào)持續(xù)時(shí)間有關(guān)的幾個(gè)術(shù)語(yǔ)，這些術(shù)語(yǔ)在后面的討論中將得到應(yīng)用。1.因果信號(hào)因果信號(hào)當(dāng) 時(shí)，若信號(hào) ，則稱為因果信號(hào)因果信號(hào)（causal signal） 。 圖1.1.5 因果信號(hào)(a)(b)0t ( )0f t 2.逆因果信號(hào)逆因果信號(hào)當(dāng)時(shí) ，若信號(hào) ，則稱為逆因果信

3、號(hào)逆因果信號(hào)或反因果信號(hào)反因果信號(hào)（anticausal signal）。 圖1.1.6 逆因果信號(hào)(a)(b)0t ( )0f t 3.時(shí)限信號(hào)時(shí)限信號(hào)當(dāng) 和 時(shí)（ ，且 、 均為有界量），若信號(hào) ，則稱信號(hào)為時(shí)限信號(hào)時(shí)限信號(hào)(finite-duration signal)。圖1.1.7 (a)1tt2tt21tt1t2t( )0f t 時(shí)限信號(hào)強(qiáng)調(diào)，在一定的時(shí)限范圍外，信號(hào)值恒為零。4.右邊信號(hào)右邊信號(hào)對(duì)有界量 ，當(dāng)時(shí) ，若信號(hào) ，則稱為右邊信號(hào)（右邊信號(hào)（right-sided signal）。 圖1.1.7 (b)1t1tt( )0f t 因果信號(hào)一定是右邊信號(hào)。5.左邊信號(hào)左邊信號(hào)對(duì)

4、有界量 ，當(dāng)時(shí) ，若信號(hào) ，則稱為左邊信號(hào)左邊信號(hào)(left-sided signal) 。 圖1.1.7 (c)2t2tt( )0f t 逆因果信號(hào)一定是左邊信號(hào)。 6.雙邊信號(hào)雙邊信號(hào)若信號(hào)不恒為零值的時(shí)間范圍延伸到正、負(fù)無(wú)窮大，則稱信號(hào)是雙邊信號(hào)（雙邊信號(hào)（two-sided signal）。圖1.1.7 (d)1.2 信號(hào)的分類信號(hào)的分類 信號(hào)的分類，是指用不同的信號(hào)特征去考察信號(hào)得到不同的類型，就好似從不同的角度去觀察人類會(huì)得到不同的結(jié)果一樣，如，從膚色的角度去觀察會(huì)得到黃種人、白種人、黑種人的類別；從財(cái)富的角度觀察會(huì)有窮人和富人之分；從性別觀察有男人和女人；等等。 1.2.1 確定

5、信號(hào)與隨機(jī)信號(hào)確定信號(hào)與隨機(jī)信號(hào)確定信號(hào)（確定信號(hào)（deterministic signal）是指可以用一個(gè)確定的數(shù)學(xué)表達(dá)式來(lái)描述的信號(hào)。 隨機(jī)信號(hào)（隨機(jī)信號(hào)（random signal）是指不能用一個(gè)確切的數(shù)學(xué)表達(dá)式來(lái)描述的信號(hào)，信號(hào)各時(shí)刻的值是一個(gè)隨機(jī)變量，通常只能用統(tǒng)計(jì)方法研究其某些特征，如概率密度函數(shù)、均值、方差、相關(guān)函數(shù)等。( )2tf tte 是確定信號(hào)。電子系統(tǒng)中的噪聲信號(hào)是一典型的隨機(jī)信號(hào)。 1.2.2 連續(xù)時(shí)間信號(hào)與離散時(shí)間信號(hào)連續(xù)時(shí)間信號(hào)與離散時(shí)間信號(hào)連續(xù)時(shí)間信號(hào)（連續(xù)時(shí)間信號(hào)（continuous-time signal），），是指自變量是可以連續(xù)取值的信號(hào)。連續(xù)時(shí)間信號(hào)

6、有時(shí)也稱為模擬信號(hào)。注意: 信號(hào) ，盡管在 時(shí)信號(hào)無(wú)定義，但該信號(hào)仍是連續(xù)時(shí)間信號(hào)，因自變量 可取包括 在內(nèi)的任意值。圖1.2.1 方波信號(hào)是連續(xù)時(shí)間信號(hào)1( )ftt0t tt0t 離散時(shí)間信號(hào)離散時(shí)間信號(hào)(discrete-time signal)，是指僅在某些離散的時(shí)刻有定義，而在其他時(shí)間無(wú)定義的信號(hào)，且這些離散時(shí)刻通常取整數(shù)。離散時(shí)間信號(hào)也常被稱為離散時(shí)間序列離散時(shí)間序列（discrete-time sequence）。）。圖1.2.2 某地7月份日平均溫度是離散時(shí)間信號(hào)例：計(jì)算機(jī)只能處理離散時(shí)間信號(hào)，因此，將日常的連續(xù)時(shí)間信號(hào)(如語(yǔ)音信號(hào)等)送給計(jì)算機(jī)處理之前，應(yīng)先將其轉(zhuǎn)換為離散時(shí)間

7、信號(hào)。簡(jiǎn)單的方法如圖1.2.3所示，以時(shí)間 T為間隔對(duì)連續(xù)時(shí)間信號(hào) ( )f t 進(jìn)行取樣，則可得到一數(shù)組,( 2 ),(),(0),( ),(2 )fTfTff TfT，可表為 ()f nf nT， , 2, 1,0,1,2,n f n便是一離散時(shí)間信號(hào)。 圖1.2.3 對(duì)連續(xù)時(shí)間 信號(hào)進(jìn)行取樣1.2.3 實(shí)信號(hào)與復(fù)信號(hào)實(shí)信號(hào)與復(fù)信號(hào)實(shí)信號(hào)實(shí)信號(hào)(real signal)，是指可用一實(shí)數(shù)函數(shù)來(lái)描述的信號(hào)，即信號(hào)的取值是實(shí)數(shù)。前面給出的有關(guān)信號(hào)的例子都是實(shí)信號(hào)。下面再給出三個(gè)經(jīng)常用到的實(shí)信號(hào)的例子。矩形信號(hào)（門(mén)函數(shù)）矩形信號(hào)（門(mén)函數(shù)） 1, /2( )(1.2.2)0, /2tg tt 圖1.

8、2.4 門(mén)函數(shù)的波形函數(shù) 的下標(biāo) 表示信號(hào)的寬度，表示該信號(hào)在 區(qū)間內(nèi)為1，其余時(shí)間信號(hào)值為0。 g/2/2t 抽樣信號(hào)（函數(shù)）抽樣信號(hào)（函數(shù)） sin( )( )(1.2.3)tSa tt 抽樣信號(hào)是信號(hào)處理中的一個(gè)重要信號(hào)，在 時(shí)，函數(shù)取得最大值1，而在 時(shí)（為非零整數(shù)），函數(shù)值為0，如圖1.2.5所示。圖1.2.5 0t tk三角脈沖信號(hào)三角脈沖信號(hào) 21, /2( )(1.2.4)0, /2ttq tt 圖1.2.6 三角脈沖信號(hào)的波形復(fù)信號(hào)復(fù)信號(hào)(complex signal)，是指可用一復(fù)函數(shù)來(lái)描述的信號(hào)，即信號(hào)的取值可以是復(fù)數(shù)。就像在實(shí)際的日常生活中復(fù)數(shù)不存在一樣，復(fù)信號(hào)本身也是

9、不存在的。但為了在某些信號(hào)處理中描述問(wèn)題的方便，常人為地將兩個(gè)實(shí)信號(hào)組合在一起，構(gòu)成復(fù)信號(hào)。將正弦信號(hào)描述為 000( )( )( )( ) cos( )Re ( )Re ( )jtjtjtjtf ta ttta t ea t ee令復(fù)信號(hào)為( )( )( )( )cos( ( )( )sin( ( )jtv ta t ea ttja tt( )( )( )(1.2.5)v ti tjq t復(fù)信號(hào)的典型例子是正弦信號(hào)。 可以看出，復(fù)信號(hào)是由兩個(gè)實(shí)信號(hào) 和 構(gòu)成的，當(dāng)然也可看成是由兩個(gè)實(shí)信號(hào) 和 構(gòu)成的，且( )( )cos( ( )i ta tt( )( )sin( ( )q ta tt或 2

10、2( )( )( )a ti tq t( )tan ( )( )q tti t( )i t( )q t( )a t( ) t1.2.4 周期信號(hào)與非周期信號(hào)周期信號(hào)與非周期信號(hào)對(duì)連續(xù)時(shí)間信號(hào) ，若存在一個(gè)非零的最小正數(shù) ，等式 對(duì)任意時(shí)間均成立，則稱 是周期信號(hào)周期信號(hào)。 稱為信號(hào) 的基本周期基本周期，簡(jiǎn)稱周期周期。對(duì)離散時(shí)間信號(hào) ，若存在一個(gè)非零的最小正整數(shù) ，等式 對(duì)任意時(shí)間 均成立,則稱 是周期信號(hào)周期信號(hào)。 稱為信號(hào) 的基本周期基本周期，簡(jiǎn)稱周期周期。離散時(shí)間信號(hào)的周期是正整數(shù)。( )f tT()( )f tTf t( )f tT( )f t f nN f nNf nn f nN f

11、n 1.2.5 能量信號(hào)與功率信號(hào)能量信號(hào)與功率信號(hào)1232( )( )p tf t2( ) p nf n和 對(duì)連續(xù)時(shí)間信號(hào) ,信號(hào)的能量定義為 2 lim( )TTTEf tdt對(duì)離散時(shí)間信號(hào) ,信號(hào)的能量定義為2lim NNnNEf n信號(hào)的平均功率分別定義為 2 1lim( )2TTTPf tdtT21lim 21NNnNPf nN和對(duì)連續(xù)時(shí)間信號(hào) ,離散時(shí)間信號(hào) ,信號(hào)的瞬時(shí)功率分別定義為( )f t f n( )f t f n能量信號(hào)能量信號(hào)(finite-energy signal)：若信號(hào)的能量有界，平 均功率趨于零， ,0EP ,則稱該信號(hào)為能量信號(hào)。功率信號(hào)功率信號(hào)(fini

12、te-power signal)：若信號(hào)的平均功率有界 能量趨于無(wú)窮大,P ,E ，則稱該信號(hào)為功率信號(hào)。若信號(hào)的平均功率和能量均趨于無(wú)窮大，則稱該信號(hào)為非能量、非能量、非功率信號(hào)。非功率信號(hào)。1.3 信號(hào)的自變量變換信號(hào)的自變量變換1.3.1 信號(hào)的時(shí)移信號(hào)的時(shí)移若已知信號(hào) 或 的波形，則信號(hào) 或 稱為信號(hào) 或 的時(shí)移時(shí)移(time shifting)。(a) 信號(hào)的波形 (b) 時(shí)移(c) 時(shí)移圖1.3.1 信號(hào) 及其時(shí)移( )f t f n0()f tt0f nn( )f t f n( )f t1.3.2 信號(hào)的時(shí)間反轉(zhuǎn)信號(hào)的時(shí)間反轉(zhuǎn) 若已知信號(hào) 或 的波形，則信號(hào) 或 稱為原信號(hào)的時(shí)間

13、反轉(zhuǎn)時(shí)間反轉(zhuǎn)(time reversal)，即求信號(hào)關(guān)于縱軸的對(duì)稱波形。 圖1.3.2是圖1.3.1(a)中信號(hào) 的時(shí)間反轉(zhuǎn)變換 。圖1.3.2 信號(hào)的時(shí)間 反轉(zhuǎn)變換( )f t f n()ftfn( )f t()ft( )f t1.3.3 信號(hào)的時(shí)間尺度變換信號(hào)的時(shí)間尺度變換 1.連續(xù)時(shí)間信號(hào)的時(shí)間尺度變換連續(xù)時(shí)間信號(hào)的時(shí)間尺度變換時(shí)間尺度變換(time scaling)就是將信號(hào)的時(shí)間變量 替換為變量 （ ）。 (a) 信號(hào) 的波形 (b) 信號(hào) 的波形(c) 信號(hào) 的波形圖1.3.3 信號(hào) 及其尺度變換tat0a ( )f t(2 )ft1()2ft( )f t2. 離散時(shí)間信號(hào)的展寬和

14、壓縮設(shè)離散時(shí)間信號(hào) 的波形如圖1.3.4(a)所示，其時(shí)間展寬 倍的情況可表示為 1, 0nfnNf nN為 整倍數(shù)， 其它 f nN 1.4 信號(hào)的基本運(yùn)算信號(hào)的基本運(yùn)算1.4.1 兩信號(hào)相加兩信號(hào)相加兩信號(hào)相加，是指兩信號(hào)對(duì)應(yīng)時(shí)刻的信號(hào)值（函數(shù)值）相加，得到一個(gè)新的信號(hào)。12( )( )( )f tf tf t或12 (1.4.1)f nfnfn(a) 信號(hào) 波形 (b) 信號(hào) 波形 (c) 信號(hào) 波形 圖1.4.11( )f t2( )f t12( )( )( )f tf tf t兩信號(hào)的相加 1.4.2 兩信號(hào)相乘兩信號(hào)相乘兩信號(hào)相乘，是指兩信號(hào)對(duì)應(yīng)時(shí)刻的信號(hào)值相乘，得到一個(gè)新的信號(hào)。

15、(a) 信號(hào) 波形 (b) 信號(hào) 波形 (d) 信號(hào) 波形圖1.4.1兩信號(hào)的相乘1( )f t2( )f t12( )( )( )f tf t f t12( )( )( )f tf t f t或 12 (1.4.2)f nf n f n1.4.3 連續(xù)時(shí)間信號(hào)的導(dǎo)數(shù)和積分連續(xù)時(shí)間信號(hào)的導(dǎo)數(shù)和積分信號(hào) 的導(dǎo)數(shù)，就是對(duì)函數(shù) 關(guān)于時(shí)間變量 求導(dǎo)，為( )( )df tf tdt( )( )df tftdt( )f t( )f tt(1)()( )( )(1.4.3)mmdftftdt定義信號(hào) 的積分為( 1)( )( )(1.4.4)tftfd再積分( 2)( 1)( )( )tftfdk次積分(

16、)(1)( )( )tkkftfd ( )f t將求導(dǎo)和積分兩種運(yùn)算統(tǒng)一表示為()( ) 0( )( ) 0( ) 0mf tmmftf tmf tmm的 階導(dǎo)數(shù),的階積分,(1.4.5)根據(jù)函數(shù)的微積分理論，按式(1.4.4)對(duì)信號(hào) 先積分，再求導(dǎo)，仍為信號(hào) 。( 1)( )( )( )tddftfdf tdtdt(1.4.6)( )f t( )f t( )f t1.4.4 離散時(shí)間信號(hào)的差分和累加離散時(shí)間信號(hào)的差分和累加一階后向差分一階后向差分(backward difference) 1(1.4.7)f nf nf n一階前向差分一階前向差分(forward difference) 1

17、(1.4.8)f nf nf n實(shí)際應(yīng)用中，常用到的是后向差分。12差分 1f nf nf n仍然是時(shí)間n的函數(shù)，是信號(hào) f n與其右移一個(gè)單位信號(hào) 1f n之差。 32 1f nf nf n 定義信號(hào)的二階差分為 4m階差分定義為11 1mmmf nf nf n 離散時(shí)間信號(hào) 的累加累加(summation)運(yùn)算，十分相似于連續(xù)時(shí)間信號(hào)的積分，其定義為( 1) (1.4.11)nkfnf k同積分運(yùn)算類似，可定義離散時(shí)間信號(hào) 的m次累加 ()(1) (1.4.12)nmmkfnfk( 1)( 1)( 1) 1fnfnfn1 nnkkf kf kf n f n f n對(duì)式(1.4.11)的累加

18、結(jié)果再作差分運(yùn)算為1.4.5 信號(hào)的奇、偶分解信號(hào)的奇、偶分解定義 或（ ）的偶部(even part)為1( ) ( )()2ef tf tft 的奇部(odd part)為 1( ) ( )()2of tf tft( )ef t是偶函數(shù)，( )of t為奇函數(shù)，且( )( )( )eof tf tf t( )f t f n( )f t例1.4.1 求圖1.4.2(a)所示離散時(shí)間信號(hào) f n的偶部 ef n和奇部 。 of n解：按照前面式(1.4.13)和式(1.4.14)信號(hào)偶部和奇部的定義，得偶部 ef n和奇部 如圖1.4.2(c) of n和1.4.2(d)所示。 (a) 信號(hào)

19、的波形 f n(b) 信號(hào) 的波形fn(c) 信號(hào) 的偶部 波形 f n ef n圖1.4.2 信號(hào) f n的奇偶分解(d) 信號(hào) 的偶部 波形 f n of n1.5 單位沖激信號(hào)和單位階躍信號(hào)單位沖激信號(hào)和單位階躍信號(hào) 1.5.1 離散時(shí)間單位沖激信號(hào)和單位階躍信號(hào)離散時(shí)間單位沖激信號(hào)和單位階躍信號(hào)1.離散時(shí)間單位沖激信號(hào) n離散時(shí)間單位沖激信號(hào)（離散時(shí)間單位沖激信號(hào)（unit impulse signal）定義為 1, 0 (1.5.1) 0, 0nnn顯然有 1nn 圖1.5.1 離散時(shí)間單位沖激信號(hào) n2.離散時(shí)間單位階躍信號(hào) u n離散時(shí)間單位階躍信號(hào)（離散時(shí)間單位階躍信號(hào)（uni

20、t step signal）的定義為 1, 0 (1.5.2) 0, 0nu nn圖1.5.2 離散時(shí)間單位階躍信號(hào) u n3. 和 的關(guān)系 n u n 1(1.5.3)nu nu n1, 0 0, 0(1.5.4)nknku nn與 是互為差分和累加的關(guān)系。 n u n1.5.2 連續(xù)時(shí)間單位沖激信號(hào)和單位階躍信號(hào)連續(xù)時(shí)間單位沖激信號(hào)和單位階躍信號(hào)0( )lim( )tt1.連續(xù)時(shí)間單位沖激信號(hào) ( ) t1, 2( )0, 2ttt圖1.5.4 信號(hào) 的波形( ) t方波的面積 恒為1。圖1.5.5 單位沖激 t信號(hào) 的波形2.連續(xù)時(shí)間單位階躍信號(hào)( )u t( )u t 1, 0( )(

21、1.5.9) 0, 0tu tt圖1.5.6 單位階躍信號(hào) 的波形連續(xù)時(shí)間單位階躍信號(hào)和單位沖激信號(hào)，常被稱為奇異信號(hào)奇異信號(hào)（singular signal）（或奇異函數(shù)）（或奇異函數(shù)）3. 和 間的關(guān)系( ) t( )u t1,0( )( )(1.5.10)0,0ttdu tt ( )( )(1.5.11)du ttdt例1.5.2 求門(mén)函數(shù) ( )gt 的導(dǎo)數(shù)。解： ( )gt 可用階躍信號(hào)表示為( )()()22gtu tu t所以，對(duì) ( )gt求導(dǎo)為( )( )()()22dgtgtttdt圖1.5.7 門(mén)函數(shù) ( )gt及其導(dǎo)數(shù)的波形1.5.3 單位沖激信號(hào)的性質(zhì)單位沖激信號(hào)的性

22、質(zhì)1.單位沖激信號(hào)是偶信號(hào) nn( )()tt2.單位沖激信號(hào)的篩選性00 nf nnnf n對(duì)離散時(shí)間信號(hào) ， ( ) ( )(0)f tt dtf 一般地，設(shè) 在 處連續(xù)，有0tt00( ) ()( )f ttt dtf t( ) ( )(0) ( )f ttft000( ) ()( ) ()f tttf ttt對(duì)連續(xù)時(shí)間信號(hào) ， f n( )f t( )f t3.單位沖激信號(hào)的各階導(dǎo)數(shù)及其篩選性()()00( )()( 1)( )(1.5.18)mmmf ttt dtft 特別地，當(dāng) 時(shí)，有()()( )( )( 1)(0)(1.5.19)mmmf tt dtf 0tt00( ) ()(

23、 )f ttt dtf t因?yàn)?兩邊對(duì)參變量 求導(dǎo)m次為 0t()00( 1)( )()( )mmmf ttt dtft)所以例1.5.3 求信號(hào) ( ) ( )(2)f tt u tu t的一階和二階導(dǎo)數(shù)。 解：信號(hào) ( )f t的波形如圖1.5.9(a)所示。 （1）在 或 時(shí)，信號(hào) 0t2t ( )0f t ，所以( )0ft 0t2t ， 或 02t 時(shí)，因?yàn)?( )f tt，有 ( )1, ft02t ( )ft的數(shù)學(xué)表達(dá)式可寫(xiě)為( ) ( )(2)2 (2)ftu tu tt1.5.9(a)也可直接根據(jù) 的表達(dá)式求 ( )f t( )ft。因?yàn)?( ) ( )(2)f tt u t

24、u t可看成函數(shù) t和另一個(gè)函數(shù) ( )(2)u tu t 的乘積，根據(jù)兩函數(shù)相乘的求導(dǎo)規(guī)則，有( ) ( )(2) ( )(2)f tu tu tttt根據(jù)式(1.5.17)，即 000( ) ()( ) ()g tttg ttt，有 ( )0 ( )0ttt， (2)2 (2)ttt所以( ) ( )(2)2 (2)ftu tu tt（2）對(duì) ( )ft繼續(xù)求導(dǎo)，可得如圖1.5.9(c)所示的結(jié)果 ( )ft ，也可用表達(dá)式描述為( )( )(2)2(2)ftttt1.5.9(c)例1.5.4 證明 1()( )atta0a ,證明：令 ，有rat1( ), 0 ()1( ), 0 r d

25、raaat dtr draa1( ), 0 1( ), 0 r draar draa1( ) 1r draa且, 0()0, 0tatt1.6 系統(tǒng)的概念系統(tǒng)的概念1.6.1 系統(tǒng)的定義系統(tǒng)的定義系統(tǒng)系統(tǒng)(system)是用于產(chǎn)生、處理、傳輸信號(hào)的物理裝置，在數(shù)學(xué)上表示為輸入信號(hào)與輸出信號(hào)間的一種映射關(guān)系(mapping)。圖1.6.1 系統(tǒng)為一映射關(guān)系( ) ( )y tM f t對(duì)積分器，其輸入輸出關(guān)系可表示為( )( )ty tfd1.6.2 系統(tǒng)的相互連接系統(tǒng)的相互連接1.系統(tǒng)的并聯(lián)系統(tǒng)的并聯(lián)(parallel interconnection)結(jié)構(gòu)如圖1.6.2所示，輸入信號(hào) 同時(shí)作為

26、系統(tǒng) 和系統(tǒng) 的輸入信號(hào)，兩個(gè)系統(tǒng)響應(yīng)的和便是整個(gè)系統(tǒng)的響應(yīng) ，可用數(shù)學(xué)關(guān)系描述為12( )( )( )(1.6.3)y ty ty t且11( ) ( )y tMf t,22( ) ( )y tMf t圖1.6.2 兩個(gè)系統(tǒng)的并聯(lián)( )f t1M2M( )y t2.系統(tǒng)的級(jí)聯(lián)11() ()y tM f t,21( ) ( )y tM y t將上兩式合二為一，可表示為21( ) ( )(1.6.5)y tMMf t圖1.6.3 兩個(gè)系統(tǒng)的級(jí)聯(lián)系統(tǒng)的級(jí)聯(lián)也稱為系統(tǒng)的串聯(lián)串聯(lián)(series interconnection)。3.系統(tǒng)的反饋連接系統(tǒng)的反饋連接反饋連接(feedback interco

27、nnection)如圖1.6.4，輸入信號(hào) 與系統(tǒng) 的輸出信號(hào) 相加，得到信號(hào) ，圖1.6.4 系統(tǒng)的反饋連接1( ) ( )(1.6.6)y tM e t且( )( )( )e tf tb t,2( ) ( )b tMy t( )f t2M( )b t( )e t( )e t再作為系統(tǒng) 的輸入信號(hào)，得到系統(tǒng)的響應(yīng) 。1M( )y t1.7 系統(tǒng)的性質(zhì)系統(tǒng)的性質(zhì)1.7.1 系統(tǒng)的記憶性或動(dòng)態(tài)特性系統(tǒng)的記憶性或動(dòng)態(tài)特性如果一個(gè)連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)，任意 時(shí)刻的響應(yīng) 僅與 時(shí)刻的輸入 有關(guān)，而與其他時(shí)刻的輸入 無(wú)關(guān)，則稱該系統(tǒng)為非記憶系統(tǒng)非記憶系統(tǒng)(memoryless system)（或系統(tǒng)無(wú)記憶性），

28、否則為記憶系統(tǒng)記憶系統(tǒng)(system with memory )。系統(tǒng)的記憶性有時(shí)也稱為系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性(dynamics)。0t0( )y t0t0( )f t( )f t系統(tǒng)的記憶特性強(qiáng)調(diào)系統(tǒng)的響應(yīng)是否僅與當(dāng)前時(shí)刻的輸入有關(guān)1.7.2 系統(tǒng)的因果性系統(tǒng)的因果性如果一個(gè)連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)，任意 時(shí)刻的響應(yīng) 與 以后的輸入f(t)無(wú)關(guān)，則稱該系統(tǒng)為因果系統(tǒng)（因果系統(tǒng)（causal system），或系統(tǒng)具有因果性（因果性（causality），），否則為非非因果系統(tǒng)因果系統(tǒng)。0t0( )y t0t如果一個(gè)連續(xù)時(shí)間系統(tǒng),任意 時(shí)刻的響應(yīng) 與 以前的輸入f(t)無(wú)關(guān),且與 以后的輸入f(t)有關(guān),這樣的系

29、統(tǒng)常被稱為逆因果系統(tǒng)或反因果系（逆因果系統(tǒng)或反因果系（anticausal system）。0t0t0t0( )yt系統(tǒng)的因果特性強(qiáng)調(diào)的是系統(tǒng)的響應(yīng)是否與未來(lái)的輸入有關(guān) 系統(tǒng)的記憶性和因果性是兩個(gè)容易混淆的概念，舉例說(shuō)明。例一：連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)輸入 ( )f t和響應(yīng) ( )y t 間的映射關(guān)系為2( )2 ( )( )y tf tft由于該系統(tǒng)任意 0t時(shí)刻的響應(yīng) 0( )y t僅與 0t時(shí)刻的輸入 0( )f t有關(guān)，故其為非記憶系統(tǒng)；且 0t時(shí)刻的響應(yīng) 0( )y t與 0t以后的輸入( )f t無(wú)關(guān)，故其為因果系統(tǒng)。 例二：離散時(shí)間系統(tǒng)由于該系統(tǒng)任意 0n時(shí)刻的響應(yīng) 0y n除與 0n時(shí)刻

30、的輸入 0f n有關(guān)外，還與時(shí)刻的輸入 1y nf nf n01n 01f n 有關(guān)，故該系統(tǒng)為記憶系統(tǒng)。 盡管該系統(tǒng) 0n時(shí)刻的響應(yīng) 0y n與 0n以前的輸入 01f n 有關(guān)，但與 0n以后的輸入 f n無(wú)關(guān)，故該系統(tǒng)為因果系統(tǒng)。1.7.3 系統(tǒng)的可逆性系統(tǒng)的可逆性“不同的輸入產(chǎn)生不同的響應(yīng)”，則系統(tǒng)是可逆的。1( )f t2( )f t設(shè)信號(hào)、 通過(guò)系統(tǒng)的響應(yīng)分別為1122( ) ( ),( )( )y tM f ty tM f t12( )( )f tf t12( )( )y ty t如果，一定有成立，則稱系統(tǒng)具有可逆性(invertibility)，或稱為可逆系統(tǒng)（invertib

31、le system）。例如，對(duì)系統(tǒng) ( )( )y tf t，如果 21( )( )f tf t ，顯然兩個(gè)輸入是不相同的，但響應(yīng)都為 1( )( )y tf t， 故該系統(tǒng)是不可逆的。 可逆系統(tǒng)由于其輸入和響應(yīng)間存在一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，如果系統(tǒng)的響應(yīng)已知，則可通過(guò)一個(gè)逆映射，求出原來(lái)的輸入信號(hào)。這個(gè)逆映射便是原系統(tǒng)的逆系統(tǒng)（逆系統(tǒng)（inverse system）。1.7.4 系統(tǒng)的穩(wěn)定性系統(tǒng)的穩(wěn)定性( )f t1( )(1.7.2)f tA ( ) ( )y tM f t2( )(1.7.3)y tA 1A2A( )f t對(duì)任意有界信號(hào) ，即 滿足 如果其通過(guò)系統(tǒng)的響應(yīng) 一定有 其中 、 是有界常

32、數(shù)，則稱系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)穩(wěn)定系統(tǒng)(stable system)，或系統(tǒng)具有穩(wěn)定性（穩(wěn)定性（stability）。穩(wěn)定系統(tǒng)的定義也可簡(jiǎn)述為，如果“有界的輸入產(chǎn)生有界的響應(yīng)”，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的。系統(tǒng)穩(wěn)定是設(shè)計(jì)一個(gè)系統(tǒng)的基本要求，對(duì)一個(gè)不穩(wěn)定的系統(tǒng)，任意一個(gè)很小的輸入（擾動(dòng)），系統(tǒng)的響應(yīng)都將趨于無(wú)窮大，這時(shí)響應(yīng)與輸入信號(hào)無(wú)關(guān)，或系統(tǒng)的響應(yīng)不受輸入信號(hào)控制。例如，系統(tǒng) 3( )( )y tft是一個(gè)穩(wěn)定系統(tǒng)，因?yàn)閷?duì) 1( )f tA ，有 312( )y tAA ，所以系統(tǒng)是穩(wěn)定的。再如， ( )( )y tft系統(tǒng)也是一個(gè)不穩(wěn)定系統(tǒng)，因?yàn)楫?dāng)輸入信號(hào)( )( )f tu t時(shí)，其響應(yīng) ( )( )y tt

33、是趨于無(wú)窮大的。不穩(wěn)定系統(tǒng)也有其特殊的用途，如電子系統(tǒng)中的許多信號(hào)發(fā)生器，便是利用系統(tǒng)的不穩(wěn)定性實(shí)現(xiàn)的。 1.7.5 系統(tǒng)的時(shí)不變性系統(tǒng)的時(shí)不變性設(shè)信號(hào) 通過(guò)系統(tǒng)的響應(yīng)為現(xiàn)有另一輸入信號(hào) ，其通過(guò)系統(tǒng)的響應(yīng)為如果對(duì)任意 ，一定有 成立，則稱系統(tǒng)是時(shí)不變系統(tǒng)時(shí)不變系統(tǒng)(time-invariant system)。( ) ( )y tM f t10( )()f tf tt11( ) ( )y tM f t0t10( )()y ty tt( )f t時(shí)不變性的物理意義為，如果一個(gè)輸入信號(hào)通過(guò)一個(gè)時(shí)不變系統(tǒng)的響應(yīng)已求得，則該輸入信號(hào)時(shí)延后通過(guò)系統(tǒng)的響應(yīng)，就是原響應(yīng)的時(shí)延。因此，系統(tǒng)的時(shí)不變性可簡(jiǎn)述為

34、，“時(shí)延的響應(yīng)等于響應(yīng)的時(shí)延”。1.7.6 系統(tǒng)的線性系統(tǒng)的線性系統(tǒng)的齊次性（齊次性（homogeneity）定義為：若信號(hào) 1( )f t通過(guò)系統(tǒng)的響應(yīng)為 ，如11( ) ( )y tM f t，現(xiàn)有另一輸入，是常數(shù)，其響應(yīng)為 21( )( )f taf t22( )( )y tM f t果21( )( )y tay t ，則稱系統(tǒng)具有齊次性。a系統(tǒng)的可加性可加性(additivity)定義為：若信號(hào) 1( )f t，如果11( ) ( )y tM f t，現(xiàn)有另一輸入( ) ( )y tM f t，則稱12( )( )( )f tf tf t，其響12( )( )( )y ty ty t2

35、2( )( )y tM f t2( )f t通過(guò)系統(tǒng)的響應(yīng)分別為 應(yīng)為系統(tǒng)具有可加性。同時(shí)滿足齊次性和可加性的系統(tǒng)，稱為線性系統(tǒng)線性系統(tǒng)(linear system)。線性系統(tǒng)的定義也可描述為： 若信號(hào) 1( )f t，2( )f t的響應(yīng)分別為 12( ),( )y ty t，令信號(hào) 12( )( )( )f tf tf t12,a a是常數(shù)，且設(shè) ( )f t的響應(yīng)為 ( )y t，如果 1122( )( )( )y ta y ta y t 一定成立，則稱該系統(tǒng)為線性系統(tǒng)。線性和的響應(yīng)等于響應(yīng)的和 系統(tǒng)的線性（linearity）和時(shí)不變性(time invariance)是信號(hào)與系統(tǒng)中兩個(gè)最重要的概念，同時(shí)滿足線性和時(shí)不變性的系統(tǒng)，稱為線性時(shí)不變系統(tǒng)（linear, time invariant system ），簡(jiǎn)稱為L(zhǎng)TI系