壓軸：圖形動點問題

1、1.如圖，在平面直角坐標系中，點0為坐標原點，直線y=2x+4交x軸于點A，交y軸于點B，四邊形ABCO是平行四邊形，直線y=x+m經過點C，交x軸于點D（1）求m的值；（2）點P(0，t)是線段OB上的一個動點(點P不與0，B兩點重合)，過點P作x軸的平行線，分別交AB，0c，DC于點E，F(xiàn)，G設線段EG的長為d，求d與t之間的函數關系式 (直接寫出自變量t的取值范圍)； （3）在（2）的條件下，點H是線段OB上一點，連接BG交OC于點M，當以OG為直徑的圓經過點M時，恰好使BFH=ABO求此時t的值及點H的坐標2如圖，A、B兩點的坐標分別是（8，0）、（0，6），點P由點B出發(fā)沿BA方向向

2、點A作勻速直線運動，速度為每秒3個單位長度，點Q由A出發(fā)沿AO（O為坐標原點）方向向點O作勻速直線運動，速度為每秒2個單位長度，連接PQ，若設運動時間為t（0t）秒解答如下問題：（1）當t為何值時，PQBO？（2）設AQP的面積為S，求S與t之間的函數關系式，并求出S的最大值；若我們規(guī)定：點P、Q的坐標分別為（x1，y1），（x2，y2），則新坐標（x2x1，y2y1）稱為“向量PQ”的坐標當S取最大值時，求“向量PQ”的坐標3如圖，在ABC中，C=90°，BC=5米，AC=12米M點在線段CA上，從C向A運動，速度為1米/秒；同時N點在線段AB上，從A向B運動，速度為2米/秒運動時

3、間為t秒（1）當t為何值時，AMN=ANM？（2）當t為何值時，AMN的面積最大？并求出這個最大值 4如圖，在OABC中，點A在x軸上，AOC=60o，OC=4cmOA=8cm動點P從點O出發(fā)，以1cms的速度沿線段OAAB運動；動點Q同時從點O出發(fā)，以acms的速度沿線段OCCB運動，其中一點先到達終點B時，另一點也隨之停止運動 設運動時間為t秒 (1)填空：點C的坐標是(_，_)，對角線OB的長度是_cm；(2)當a=1時，設OPQ的面積為S，求S與t的函數關系式，并直接寫出當t為何值時，S的值最大? (3)當點P在OA邊上，點Q在CB邊上時，線段PQ與對角線OB交于點M.若以O、M、P為

4、頂點的三角形與OAB相似，求a與t的函數關系式，并直接寫出t的取值范圍5如圖，在RtABC中，C =900，AC = 4cm , BC = 5 cm，點D 在BC 上，且CD = 3 cm ，現(xiàn)有兩個動點P，Q 分別從點A 和點B 同時出發(fā)，其中點P以1 厘米秒的速度沿AC 向終點C 運動；點Q 以1 . 25 厘米秒的速度沿BC 向終點C 運動過點P作PE BC 交AD 于點E ，連接EQ。設動點運動時間為t秒（t > 0 )。 （1）連接DP ，經過1 秒后，四邊形EQDP能夠成為平行四邊形嗎？請說明理由；（2）連接PQ ，在運動過程中，不論t 取何值時，總有線段PQ與線段AB平行。

5、為什么？（3）當t 為何值時，EDQ為直角三角形。6在直角梯形中，高（如圖1）。動點同時從點出發(fā)，點沿運動到點停止，點沿運動到點停止，兩點運動時的速度都是。而當點到達點時，點正好到達點。設同時從點出發(fā)，經過的時間為時，的面積為（如圖2）。分別以為橫、縱坐標建立直角坐標系，已知點在邊上從到運動時，與的函數圖象是圖3中的線段。（1）分別求出梯形中的長度；（2）寫出圖3中兩點的坐標；（3）分別寫出點在邊上和邊上運動時，與的函數關系式（注明自變量的取值范圍），并在圖3中補全整個運動中關于的函數關系的大致圖象。（圖1）（圖3）（圖1）（圖1）（圖1）（圖1）（圖2）7如圖，在邊長為4的正方形ABCD中，

6、點P在AB上從A向B運動，連接DP交AC于點Q。（1）試證明：無論點P運動到AB上何處時，都有ADQABQ；（2）當點P在AB上運動到什么位置時，ADQ的面積是正方形ABCD面積的；（3）若點P從點A運動到點B，再繼續(xù)在BC上運動到點C，在整個運動過程中，當點P運動到什么位置時，ADQ恰為等腰三角形。例1【答案】解：（1）如圖，過點C作CKx軸于K，y=2x+4交x軸和y軸于A，B，A（2，0）B（0，4）。OA=2，OB=4。四邊形ABCO是平行四邊形，BC=OA=2 。又四邊形BOKC是矩形，OK=BC=2，CK=OB=4。C（2，4）。將C（2，4）代入y=x+m得，4=2+m，解得m=

7、6。（2）如圖，延長DC交y軸于N，分別過點E，G作x軸的垂線 垂足分別是R，Q，則四邊形ERQG、四邊形POQG、四邊形EROP是矩形。ER=PO=CQ=1。，即，AR=t。y=x+6交x軸和y軸于D，N，OD=ON=6。ODN=45°。，DQ=t。又AD=AO+OD=2+6=8，EG=RQ=8tt=8t。d=t+8（0t4）。（3）如圖，四邊形ABCO是平行四邊形，ABOC。ABO=BOC。BP=4t，。EP=。由（2）d=t+8，PG=dEP=6t。以OG為直徑的圓經過點M，OMG=90°，MFG=PFO。BGP=BOC。，解得t=2。BFH=ABO=BOC，OBF=

8、FBH，BHFBFO。，即BF2=BHBO。OP=2，PF=1，BP=2。=BH×4。BH=。HO=4。H（0，）?！究键c】一次函數綜合題，直線上點的坐標與方程的關系，平行四邊形和矩形的性質，平行的性質，銳角三角函數定義，勾股定理，圓周角定理，相似三角形的判定和性質?！痉治觥浚?）根據直線y=2x+4求出點A、B的坐標，從而得到OA、OB的長度，再根據平行四邊形的對邊相等求出BC的長度，過點C作CKx軸于K，從而得到四邊形BOKC是矩形，根據矩形的對邊相等求出KC的長度，從而得到點C的坐標，然后把點C的坐標代入直線即可求出m的值。（2）延長DC交y軸于N分別過點E，G作x軸的垂線 垂

9、足分別是R，Q則四邊形ERQG、四邊形POQG、四邊形EROP是矩形，再利用BAO的正切值求出AR的長度，利用ODN的正切值求出DQ的長度，再利用AD的長度減去AR的長度，再減去DQ的長度，計算即可得解。（3）根據平行四邊形的對邊平行可得ABOC，再根據平行線內錯角相等求出ABO=BOC，用t表示出BP，再根據ABO與BOC的正切值相等列式求出EP的長度，再表示出PG的長度，然后根據直徑所對的圓周角是直角可得OMC=90°，根據直角推出BGP=BOC，再利用BGP與BOC的正切值相等列式求解即可得到t的值；先根據加的關系求出OBF=FBH，再判定BHF和BFO相似，根據相似三角形對應

10、邊成比例可得，再根據t=2求出OP=2，PF=1，BP=2，利用勾股定理求出BF的長度，代入數據進行計算即可求出BH的值，然后求出HO的值，從而得到點H的坐標。例2【答案】解：（1）A、B兩點的坐標分別是（8，0）、（0，6），則OB=6，OA=8。如圖，當PQBO時，AQ=2t，BP=3t，則AP=103t。PQBO，即，解得t=。當t=秒時，PQBO。（2）由（1）知：OA=8，OB=6，AB=10如圖所示，過點P作PDx軸于點D，則PDBO。APDABO。，即，解得PD=6t。S與t之間的函數關系式為：S=（0t）。當t=秒時，S取得最大值，最大值為5（平方單位）。如圖所示，當S取最大值

11、時，t=，PD=6t=3，PD=BO。又PDBO，此時PD為OAB的中位線，則OD=OA=4。P（4，3）。又AQ=2t=，OQ=OAAQ=，Q（，0）。依題意，“向量PQ”的坐標為（4，03），即（，3）當S取最大值時，“向量PQ”的坐標為（，3）?！究键c】動點問題，平行線分線段成比例，二次函數的最值，勾股定理，三角形中位線定理?！痉治觥浚?）如圖所示，當PQBO時，利用平分線分線段成比例定理，列線段比例式，求出t的值。（2）求S關系式的要點是求得AQP的高，如圖所示，過點P作過點P作PDx軸于點D，構造平行線PDBO，由APDABO得 求得PD，從而S可求出S與t之間的函數關系式是一個關于

12、t的二次函數，利用二次函數求極值的方法求出S的最大值。求出點P、Q的坐標：當S取最大值時，可推出此時PD為OAB的中位線，從而可求出點P的縱橫坐標，又易求Q點坐標，從而求得點P、Q的坐標；求得P、Q的坐標之后，代入“向量PQ”坐標的定義（x2x1，y2y1），即可求解。例3【答案】解：（1）從C向A運動，速度為1米/秒；同時N點在線段AB上，從A向B運動，速度為2米/秒，運動時間為t秒，AM=12t，AN=2t。AMN=ANM，AM=AN，即12t=2t，解得：t=4 秒。當t為4時，AMN=ANM。 （2）如圖作NHAC于H，NHA=C=90°。NHBC。ANHABC。，即。NH=

13、。當t=6時，AMN的面積最大，最大值為。【考點】動點問題，相似三角形的判定和性質，二次函數的最值?！痉治觥浚?）用t表示出AM和AN的值，根據AM=AN，得到關于t的方程求得t值即可。 （2）作NHAC于H，證得ANHABC，從而得到比例式，然后用t表示出NH，從而計算其面積得到有關t的二次函數求最值即可。例4【答案】解：（1）C(2，2)，OB=4cm。 （2）當0<t4時， 過點Q作QDx軸于點D(如圖1)，則QD=t。 S=OP·QD=t2。 當4<t8時， 作QEx軸于點E(如圖2)，則QE=2。 S =DP·QE=t。 當8<t<12時，

14、延長QP交x軸于點F，過點P作PHAF于點H(如圖3)。 易證PBQ與PAF均為等邊三角形，OF=OA+AP=t，AP=t8。PH=(t8)。=t·2t·(t8) =t2+3t。 綜上所述， 。 中S隨t的增加而增加，中，S隨t的增加而減小，當t=8時，S最大。 （3）當OPMOAB時(如圖4)，則PQAB。 CQ=OP。 at4=t，即a=1+。 t的取值范圍是0<t8。 當OPMOBA時(如圖5)， 則， 即。OM=。 又QBOP，BQMOPM。，即。整理得tat=2，即a=1，t的取值范圍是6t8。 綜上所述：a=1+ (0<t8)或a=1 (6t8)。

15、【考點】動點問題，平行四邊形的性質，矩形的判定和性質，銳角三角函數定義，特殊角的三角函數值，勾股定理，等邊三角形的判定和性質，一次函數和二次函數的性質，相似三角形的判定和性質?！痉治觥浚?）如圖，過點C、B分別作x的垂線于點M、N， 則在RtCOM中，由AOC=60o，OC=4，應用銳角三角函數定義，可求得OM=2，CM=2， C(2，2)。由CMNB是矩形和OA=8得BM=2，ON=10，在RtOBN中，由勾股定理，得OB=4。（2）分0<t4，4<t8和8<t<12分別討論，得到函數關系式后根據一次函數和二次函數的性質求出S最大時t的值。（3）分OPMOAB和OPM

16、OBA兩種情況討論即可。例5【答案】解：（1）不能。理由如下： 假設經過t秒時四邊形EQDP能夠成為平行四邊形。 點P的速度為1 厘米秒，點Q 的速度為1 . 25 厘米秒， AP=t厘米，BQ=1.25t厘米。 又PEBC，AEPADC。AC=4厘米，BC=5厘米，CD=3厘米，解得，EP=0.75t厘米。又，由EP=QD得，解得。只有時四邊形EQDP才能成為平行四邊形。經過1 秒后，四邊形EQDP不能成為平行四邊形。（2）AP=t厘米，BQ=1.25t厘米，AC=4厘米，BC=5厘米， 。 又C=C，PQCABC。PQC=B。PQAB。 在運動過程中，不論t 取何值時，總有線段PQ與線段A

17、B平行。（3）分兩種情況討論：當EQD=90°時，顯然有EQ=PC=4t，DQ=1.25t2又EQAC，EDQADC。，即，解得。當QED=90°時，CDA=EDQ，QED=C=90°，EDQCDA。RtEDQ斜邊上的高為4t，RtCDA斜邊上的高為2.4，解得t =3.1。綜上所述，當t為2.5秒或3.1秒時，EDQ為直角三角形?！究键c】動點問題，平行四邊形的判定，相似三角形的判定和性質，平行的判定，直角三角形的判定?！痉治觥浚?）不能。應用相似三角形的判定和性質，得出只有時四邊形EQDP才能成為平行四邊形的結果，從而得出經過1 秒后，四邊形EQDP不能成為平行四邊形的結論。（2）由PQCABC得PQC=B，從而得到在運動過程中，不論t 取何值時，總有線段PQ與線段AB平行的結論。（3）分EQD=90°和QED=90°兩種情況討論即可。例6、（1）設動點出發(fā)秒后，點到達點且點正好到達點時，則（秒）則；（2）可得坐標為（3）當點在上時，；當點在上時，例7（1）證明：在正方形中，無論點運動到上何處時，都有= = = 2分(2)解法一：的面積恰好是正方