人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)：第二十四章圓

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)第二十四章 圓24.1.1 圓知識(shí)點(diǎn)一 圓的定義圓的定義：第一種：在一個(gè)平面內(nèi)，線段OA繞它固定的一個(gè)端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一周，另一個(gè)端點(diǎn)A所形成的圖形叫作圓。固定的端點(diǎn)O叫作圓心，線段OA叫作半徑。第二種：圓心為O，半徑為r的圓是所有到定點(diǎn)O的距離等于定長(zhǎng)r的點(diǎn)的集合。比較圓的兩種定義可知：第一種定義是圓的形成進(jìn)行描述的，第二種是運(yùn)用集合的觀點(diǎn)下的定義，但是都說(shuō)明確定了定點(diǎn)與定長(zhǎng)，也就確定了圓。知識(shí)點(diǎn)二 圓的相關(guān)概念（1） 弦：連接圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦，經(jīng)過(guò)圓心的弦叫作直徑。（2） 弧：圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫做圓弧，簡(jiǎn)稱弧。圓的任意一條直徑的

2、兩個(gè)端點(diǎn)把圓分成兩條弧，每一條弧都叫做半圓。（3） 等圓：等夠重合的兩個(gè)圓叫做等圓。（4） 等弧：在同圓或等圓中，能夠互相重合的弧叫做等弧。弦是線段，弧是曲線，判斷等弧首要的條件是在同圓或等圓中，只有在同圓或等圓中完全重合的弧才是等弧，而不是長(zhǎng)度相等的弧。24.1.2 垂直于弦的直徑知識(shí)點(diǎn)一 圓的對(duì)稱性 圓是軸對(duì)稱圖形，任何一條直徑所在直線都是它的對(duì)稱軸。知識(shí)點(diǎn)二 垂徑定理MABDo（1）垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧。如圖所示，直徑為MD，AB是弦， 且CDAB，垂足為CAC=BC AM=BMC 垂徑定理的推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧

3、如上圖所示，直徑MD與非直徑弦AB相交于點(diǎn)C， CDABAC=BC AM=BM AD=BD注意：因?yàn)閳A的兩條直徑必須互相平分，所以垂徑定理的推論中，被平分的弦必須不是直徑，否則結(jié)論不成立。24.1.3 弧、弦、圓心角知識(shí)點(diǎn) 弦、弧、圓心角的關(guān)系（1） 弦、弧、圓心角之間的關(guān)系定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦也相等。（2） 在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角，兩條弧，兩條弦中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余的各組量也相等。（3） 注意不能忽略同圓或等圓這個(gè)前提條件，如果丟掉這個(gè)條件，即使圓心角相等，所對(duì)的弧、弦也不一定相等，比如兩個(gè)同心圓中，兩個(gè)圓心角相同，但此時(shí)弧、弦不一

4、定相等。24.1.4 圓周角知識(shí)點(diǎn)一 圓周角定理 （1） 圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半。（2） 圓周角定理的推論：半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角，90°的圓周角所對(duì)弦是直徑。（3） 圓周角定理揭示了同弧或等弧所對(duì)的圓周角與圓心角的大小關(guān)系?！巴』虻然　笔遣荒芨臑椤巴一虻认摇钡模駝t就不成立了，因?yàn)橐粭l弦所對(duì)的圓周角有兩類。知識(shí)點(diǎn)二 圓內(nèi)接四邊形及其性質(zhì)圓內(nèi)接多邊形：如果一個(gè)多邊形的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)圓上，這個(gè)多邊形叫做圓內(nèi)接多邊形，這個(gè)圓叫做這個(gè)多邊形的外接圓。圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)：(1)圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)。 (2)四

5、個(gè)內(nèi)角的和是360°(3)圓內(nèi)接四邊形的外角等于其內(nèi)對(duì)角24.2 點(diǎn)、直線和圓的位置關(guān)系24.2.1 點(diǎn)和圓的位置關(guān)系知識(shí)點(diǎn)一 點(diǎn)與圓的位置關(guān)系（1） 點(diǎn)與圓的位置關(guān)系有：點(diǎn)在圓外，點(diǎn)在圓上，點(diǎn)在圓內(nèi)三種。（2） 用數(shù)量關(guān)系表示：若設(shè)O的半徑是r，點(diǎn)P到圓的距離OP=d，則有： 點(diǎn)P在圓外 dr；點(diǎn)p在圓上 d=r；點(diǎn)p在圓內(nèi) dr。知識(shí)點(diǎn)二 （1）經(jīng)過(guò)在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)不能作圓（2）不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓，即經(jīng)過(guò)不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)可以作圓，且只能作一個(gè)圓。知識(shí)點(diǎn)三 三角形的外接圓與外心（1） 經(jīng)過(guò)三角形三個(gè)頂點(diǎn)可以作一個(gè)圓，這個(gè)圓叫做三角形的外接圓。（2） 外

6、接圓的圓心是三角形三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)，叫做這個(gè)三角形的外心。知識(shí)點(diǎn)四 反證法（1） 反證法：假設(shè)命題的結(jié)論不成立，經(jīng)過(guò)推理得出矛盾，由矛盾斷定所作假設(shè)不正確，從而得到原命題成立，這種證明命題的方法叫做反證法。（2） 反證法的一般步驟： 假設(shè)命題的結(jié)論不成立； 從假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過(guò)邏輯推理，推出或與定義，或與公理，或與定理，或與已知等相矛盾的結(jié)論； 由矛盾判定假設(shè)不正確，從而得出原命題正確。24.2.2 直線和圓的位置關(guān)系知識(shí)點(diǎn)一 直線與圓的位置關(guān)系（1） 直線與圓的位置關(guān)系有：相交、相切、相離三種。（2） 直線與圓的位置關(guān)系可以用數(shù)量關(guān)系表示若設(shè)O的半徑是r，直線l與圓心0的距離為d，則有：

7、直線l和O相交 d r； 直線l和O相切 d = r； 直線l和O相離 d r。知識(shí)點(diǎn)二 切線的判定和性質(zhì)（1） 切線的判定定理：經(jīng)過(guò)半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。（2） 切線的性質(zhì)定理：圓的切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑。（3） 切線的其他性質(zhì)：切線與圓只有一個(gè)公共點(diǎn)；切線到圓心的距離等于半徑；經(jīng)過(guò)圓心且垂直于切線的直線必過(guò)切點(diǎn)；必過(guò)切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過(guò)圓心。知識(shí)點(diǎn)三 切線長(zhǎng)定理（1） 切線長(zhǎng)的定義：經(jīng)過(guò)圓外一點(diǎn)作圓的切線，這點(diǎn)和切點(diǎn)之間的線段的長(zhǎng)，叫做這點(diǎn)到圓的切線長(zhǎng)。（2） 切線長(zhǎng)定理：從圓外一點(diǎn)可以引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等，這一點(diǎn)和圓心的連線平分兩條切線的夾角。

8、（3） 注意：切線和切線長(zhǎng)是兩個(gè)完全不同的概念，必須弄清楚切線是直線，是不能度量的；切線長(zhǎng)是一條線段的長(zhǎng)，這條線段的兩個(gè)端點(diǎn)一個(gè)是在圓外一點(diǎn)，另一個(gè)是切點(diǎn)。知識(shí)點(diǎn)四 三角形的內(nèi)切圓和內(nèi)心(1) 三角形的內(nèi)切圓定義：與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓。這個(gè)三角形叫做圓的外切三角形。(2) 三角形的內(nèi)心：三角形內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心。(3) 注意：三角形的內(nèi)心是三角形三條角平分線的交點(diǎn)，所以當(dāng)三角形的內(nèi)心已知時(shí)，過(guò)三角形的頂點(diǎn)和內(nèi)心的射線，必平分三角形的內(nèi)角。(4) 直角三角形內(nèi)切圓半徑的求解方法： 直角三角形直角邊為a.b，斜邊為c，直角三角形內(nèi)切圓半徑為r. a-r+b-r=c,得

9、 。根據(jù)三角形面積的表示方法：ab=, .24.3 正多邊形和圓知識(shí)點(diǎn)一 正多邊形的外接圓和圓的內(nèi)接正多邊形正多邊形與圓的關(guān)系非常密切，把圓分成n（n是大于2的自然數(shù)）等份，順次連接各分點(diǎn)所得的多邊形是這個(gè)圓的內(nèi)接正多邊形，這個(gè)圓就是這個(gè)正多邊形的外接圓。正多邊形的中心：一個(gè)正多邊形的外接圓的圓心叫做這個(gè)正多邊形的中心。正多邊形的半徑：外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑。正多邊形的中心角：正多邊形每一條邊所對(duì)的圓心角叫做正多邊形的中心角。正多邊形的邊心距：中心到正多邊形一邊的距離叫做正多邊形的邊心距。知識(shí)點(diǎn)二 正多邊形的性質(zhì)（1） 各邊相等，各角相等；（2） 都是軸對(duì)稱圖形，正n邊形有n條對(duì)稱軸，

10、每一條對(duì)稱軸都經(jīng)過(guò)n邊形的中心。（3） 正n邊形的半徑和邊心距把正多邊形分成2n個(gè)全等的直角三角形。（4） 所有的正多邊形都是軸對(duì)稱圖形，每個(gè)正n邊形共有n條對(duì)稱軸，每條對(duì)稱軸都經(jīng)過(guò)正n邊形的中心；當(dāng)正n邊形的邊數(shù)為偶數(shù)時(shí)，這個(gè)正n邊形也是中心對(duì)稱圖形，正n邊形的中心就是對(duì)稱中心。（5） 正n邊形的每一個(gè)內(nèi)角等于，中心角和外角相等，等于。24.4 弧長(zhǎng)和扇形面積知識(shí)點(diǎn)一 弧長(zhǎng)公式L=在半徑為R的圓中，360°的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)就是圓的周長(zhǎng)C=2R，所以n°的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)的計(jì)算公式L=×2R=。知識(shí)點(diǎn)二 扇形面積公式在半徑為R的圓中，360°的圓心角所

11、對(duì)的扇形面積就是圓的面積S=R2，所以圓心角為n°的扇形的面積為S扇形=。比較扇形的弧長(zhǎng)公式和面積公式發(fā)現(xiàn)：S扇形=知識(shí)點(diǎn)三 圓錐的側(cè)面積和全面積圓錐的側(cè)面積是曲面，沿著圓錐的一條母線將圓錐的側(cè)面展開(kāi)，容易得到圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)扇形。設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為，底面圓的半徑為r，那么這個(gè)扇形的半徑為，扇形的弧長(zhǎng)為2r，因此圓錐的側(cè)面積。圓錐的全面積為。中考回顧1.(2017甘肅天水中考)如圖,AB是O的直徑,弦CDAB,BCD=30°,CD=4,則S陰影=( B)A.2 B. C. D.2(2017四川中考)如圖,AB是O的直徑,且AB經(jīng)過(guò)弦CD的中點(diǎn)H,已知cos CDB=,B

12、D=5,則OH的長(zhǎng)度為(D)A.B.C.1D.3.(2017甘肅蘭州中考)如圖,在O中,點(diǎn)D在O上,CDB=25°,則AOB=(B )A.45°B.50°C.55°D.60°4.(2017山東青島中考)如圖,AB是O的直徑,點(diǎn)C,D,E在O上,若AED=20°,則BCD的度數(shù)為(B )A.100°B.110° C.115°D.120°5.(2017湖北黃岡中考)如圖,在O中,OABC,AOB=70°,則ADC的度數(shù)為(B )A.30°B.35°C.45°D

13、.70°6.(2017福建中考)如圖,AB是O的直徑,C,D是O上位于AB異側(cè)的兩點(diǎn).下列四個(gè)角中,一定與ACD互余的角是(D)A.ADCB.ABDC.BACD.BAD7.(2017貴州黔東南州中考)如圖,O的直徑AB垂直于弦CD,垂足為E,A=15°,半徑為2,則弦CD的長(zhǎng)為(A )A.2B.-1C.D.4模擬預(yù)測(cè)1.如圖,點(diǎn)A,B,C在O上,ABO=32°,ACO=38°,則BOC等于(B)A.60°B.70° C.120°D.140°解析:如圖,過(guò)點(diǎn)A作O的直徑,交O于點(diǎn)D.在OAB中,OA=OB,BOD=O

14、BA+OAB=2×32°=64°.同理可得,COD=OCA+OAC=2×38°=76°,BOC=BOD+COD=140°.故選D.2.如圖,AB是O的弦,半徑OA=2,AOB=120°,則弦AB的長(zhǎng)是( B )A.2B.2 C.D.33.如圖,四邊形ABCD內(nèi)接于O,F是上一點(diǎn),且,連接CF并延長(zhǎng)交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,連接AC.若ABC=105°,BAC=25°,則E的度數(shù)為(B )A.45°B.50°C.55°D.60°4.如圖,O是ABC的外接圓,B=

15、60°,O的半徑為4,則AC的長(zhǎng)等于(A)A.4B.6 C.2D.85.如圖,AB是O的直徑,弦CD交AB于點(diǎn)E,且AE=CD=8,BAC=BOD,則O的半徑為(B.)A.4 B.5 C.4D.3BAC=BOD,ABCD.AE=CD=8,DE=CD=4.設(shè)OD=r,則OE=AE-r=8-r.在RtODE中,OD=r,DE=4,OE=8-r.OD2=DE2+OE2,r2=42+(8-r)2,解得r=5.6.若O的半徑為1,弦AB=,弦AC=,則BAC的度數(shù)為15°或75°. 7.如圖,ABC是O的內(nèi)接三角形,點(diǎn)D是的中點(diǎn),已知AOB=98°,CO

16、B=120°.則ABD的度數(shù)是101°. 8.如圖,將三角板的直角頂點(diǎn)放在O的圓心上,兩條直角邊分別交O于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)P在優(yōu)弧AB上,且與點(diǎn)A,B不重合,連接PA,PB.則APB為45°. 9.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)P在第一象限,P與x軸交于O,A兩點(diǎn),點(diǎn)A的坐標(biāo)為(6,0),P的半徑為,則點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3,2). 10.如圖,已知AB是O的直徑,AC是弦,過(guò)點(diǎn)O作ODAC于點(diǎn)D,連接BC.(1)求證:OD=BC; (2)若BAC=40°,求的度數(shù).(1)證明:(證法一)AB是O的直徑,OA=OB.又ODAC,ODA=BCA=90°.ODBC