學(xué)案2同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式及正余弦誘導(dǎo)公式

1、學(xué)案學(xué)案2 2 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式 及正余弦的誘導(dǎo)公式及正余弦的誘導(dǎo)公式名師伴你行2021/4/22考點(diǎn)一考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)二考點(diǎn)三考點(diǎn)三名師伴你行2021/4/231.同角三角函數(shù)之間的三個(gè)基本關(guān)系式同角三角函數(shù)之間的三個(gè)基本關(guān)系式是是 ， ， .sin2+cos2= 1 tancot=1 coscossinsin tantan名師伴你行2021/4/242.正弦、余弦的誘導(dǎo)公式：正弦、余弦的誘導(dǎo)公式： - - + 2- Z Z) )k k2 2k k - -2 2 2 2 - -2 23 3 2 23 3- Sin sin - Sin - Sin sin cos

2、 - Cos - Cos - Sin cos cos - Cos - Cos cos cos sin - Sin - Sin sin cos 名師伴你行2021/4/25考點(diǎn)一考點(diǎn)一 同角三角函數(shù)關(guān)系式的應(yīng)用同角三角函數(shù)關(guān)系式的應(yīng)用 【例【例1】（1）已知）已知sin= ,且且為第二象限角，求為第二象限角，求tan；（2）已知）已知sin= ，求，求tan；（3）已知）已知sin=m(m0,m1)，求，求tan.【分析】【分析】三個(gè)問題的區(qū)別有二：一是角三個(gè)問題的區(qū)別有二：一是角是否給出象限是否給出象限的問題；二是的問題；二是的正弦值是字母還是數(shù)值的問題的正弦值是字母還是數(shù)值的問題.3 31

3、13 31 1名師伴你行2021/4/26【解析】【解析】（1）sin= ，為第二象限角，為第二象限角，cos=tan= .（2）sin= 0,為第一或第二象限角為第一或第二象限角.當(dāng)當(dāng)為第一象限角時(shí)，為第一象限角時(shí)，cos= ,tan= ;當(dāng)當(dāng)為第二象限角時(shí)，由（為第二象限角時(shí)，由（1）知，）知，tan= .3 31 13 32 22 2) )3 31 1( (1 1s si in n1 12 22 24 42 23 31 13 32 22 2s si in n1 12 24 42 2coscos sinsin 4 42 2名師伴你行2021/4/27（3）sin=m(m0,m1), cos

4、= (當(dāng)當(dāng)為一、四象限角為一、四象限角時(shí)取正號，當(dāng)時(shí)取正號，當(dāng)為二、三象限角時(shí)取負(fù)號為二、三象限角時(shí)取負(fù)號).當(dāng)當(dāng)為一、四象限角時(shí)為一、四象限角時(shí),tan= ; 當(dāng)當(dāng)為二、三象限角時(shí)，為二、三象限角時(shí)，tan= .2 22 2m m1 1s si in n1 12 2m m1 1m m2 2m m1 1m m名師伴你行2021/4/28【評析】【評析】已知一個(gè)角的某一個(gè)三角函數(shù)值，求這個(gè)角的已知一個(gè)角的某一個(gè)三角函數(shù)值，求這個(gè)角的其他三角函數(shù)值，這類問題用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系其他三角函數(shù)值，這類問題用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式求解，一般分成三種情況：式求解，一般分成三種情況：（1）一個(gè)角的某一

5、個(gè)三角函數(shù)值和這個(gè)角所在的象限或）一個(gè)角的某一個(gè)三角函數(shù)值和這個(gè)角所在的象限或終邊落在哪個(gè)坐標(biāo)軸上都是已知的，此類情況只有一組終邊落在哪個(gè)坐標(biāo)軸上都是已知的，此類情況只有一組解解.（2）一個(gè)角的某一個(gè)三角函數(shù)值是已知的，但這個(gè)角所）一個(gè)角的某一個(gè)三角函數(shù)值是已知的，但這個(gè)角所在的象限或終邊落在哪個(gè)坐標(biāo)軸上沒有給出（如例），在的象限或終邊落在哪個(gè)坐標(biāo)軸上沒有給出（如例），解答這類問題，首先要根據(jù)已知的三角函數(shù)值確定這個(gè)解答這類問題，首先要根據(jù)已知的三角函數(shù)值確定這個(gè)角所在的象限或終邊落在哪個(gè)坐標(biāo)軸上，然后分不同的角所在的象限或終邊落在哪個(gè)坐標(biāo)軸上，然后分不同的情況求解情況求解.（3）一個(gè)角的某一

6、個(gè)三角函數(shù)值是用字母給出的，或用）一個(gè)角的某一個(gè)三角函數(shù)值是用字母給出的，或用一個(gè)角的某一個(gè)三角函數(shù)值來表示這個(gè)角的其他三角函一個(gè)角的某一個(gè)三角函數(shù)值來表示這個(gè)角的其他三角函數(shù)，此類情況需對字母進(jìn)行討論或?qū)菙?shù)，此類情況需對字母進(jìn)行討論或?qū)撬诘南笙捱M(jìn)行所在的象限進(jìn)行討論，并注意對分類標(biāo)準(zhǔn)適當(dāng)選取，一般有兩組解討論，并注意對分類標(biāo)準(zhǔn)適當(dāng)選取，一般有兩組解.名師伴你行2021/4/29對應(yīng)演練對應(yīng)演練已知已知為銳角，且為銳角，且 tan= ，求，求 的的值值.2 21 1c co os s2 2o os s2 2s ss si in n - -s si in n2 2 i in n2 2原式原

7、式=因?yàn)橐驗(yàn)闉殇J角，由為銳角，由tan= ,得得cos= ,所以原式所以原式= . .2 2c co os s1 12 2c co os sc co os sc co os s2 22 2c co os sc co os sc c1 1- -2 2c co os sc co os s2 22 2s si in ns si in nc cs si in n- -2 2s si in ns si in n2 22 22 21 15 52 245 5名師伴你行2021/4/210考點(diǎn)二考點(diǎn)二 同角三角函數(shù)關(guān)系式的靈活應(yīng)用同角三角函數(shù)關(guān)系式的靈活應(yīng)用 【例【例2】已知已知sin+cos= (0),求求

8、tan的值的值.3 32 2【分析】【分析】考慮考慮tan= ,從而由已知條件分別求出從而由已知條件分別求出sin和和cos,再由再由sin,cos的值求出的值求出tan.主要考查同角主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式的運(yùn)用三角函數(shù)的基本關(guān)系式的運(yùn)用.c co os ss si in n 名師伴你行2021/4/211【解析】【解析】解法一：將已知等式兩邊平方，得解法一：將已知等式兩邊平方，得sincos=- , ,故故sin-cos= = . sin+cos= sin-cos= ,得得sin= ,cos= .tan= .18187 72 2coscos- -(sin(sin)2 234c co

9、 os s2 2s si in n- -1 13 32 23 34 46 62 246 62 247 72 24 4- -9 9- -c co os ss si in n解方程組解方程組名師伴你行2021/4/212解法二解法二:由由sin+cos= ,且且sincos=- ,并注意到并注意到sin0,cos0,設(shè)以設(shè)以sin,cos為根的一元二次方程為為根的一元二次方程為x2- x- =0，解得，解得x1=sin= ,x2=cos= .故故tan= .3 32 218187 76 62 243 32 218187 76 62 247 72 24 4- -9 9- -coscossinsin【

10、評析】【評析】本題的解決必須先充分挖掘題目中的隱含條件，本題的解決必須先充分挖掘題目中的隱含條件，即即( ,),否則，容易產(chǎn)生多解否則，容易產(chǎn)生多解.另外，本題由另外，本題由sincos聯(lián)系聯(lián)系sin+cos和和sin-cos，從而構(gòu)造方程，從而構(gòu)造方程組，求解組，求解sin,cos的方法也值得注意的方法也值得注意.2 2名師伴你行2021/4/213對應(yīng)演練對應(yīng)演練已知已知sin(+k)=-2cos(+k),kZ,求：求：. .coscos5 52 2sinsin4 41 1(2)(2); ;3sin3sin 5cos5cos2cos2cos- -4sin4sin (1)(1)2 22 2名

11、師伴你行2021/4/214sin(+k)=-2cos(+k),tan(+k)=-2,tan=-2.（1） （2）1 10 03 32 25 52 24 42 23 3t ta an n5 52 24 4t ta an n3 3s si in n 5 5c co os s2 2c co os s- -4 4s si in n . .2 25 57 71 14 45 52 21 11 1t ta an n5 52 2t ta an n4 41 1c co os ss si in nc co os s5 52 2s si in n4 41 1c co os s5 52 2s si in n4 41

12、 12 22 22 22 22 22 22 22 2名師伴你行2021/4/215考點(diǎn)三考點(diǎn)三 誘導(dǎo)公式的應(yīng)用誘導(dǎo)公式的應(yīng)用 【例【例3】化簡化簡tan(27-)tan(49-)tan(63+)tan(139-).【分析】【分析】靈活運(yùn)用誘導(dǎo)公式靈活運(yùn)用誘導(dǎo)公式.名師伴你行2021/4/216【評析】【評析】當(dāng)多個(gè)復(fù)合角出現(xiàn)時(shí)，應(yīng)先觀察各個(gè)角之間的內(nèi)當(dāng)多個(gè)復(fù)合角出現(xiàn)時(shí)，應(yīng)先觀察各個(gè)角之間的內(nèi)在聯(lián)系，再利用誘導(dǎo)公式化簡求值在聯(lián)系，再利用誘導(dǎo)公式化簡求值.【解析】【解析】tan(27-)tan(49-)tan(63+)tan(139-)=tan(27-)tan(49-)tan90-(27-)tan

13、90+(49-)=tan(27-)tan(49-)cot(27-)-cot(49-)=tan(27-)cot(27-)tan(49-)-cot(49-)=-1.名師伴你行2021/4/217對應(yīng)演練對應(yīng)演練化簡下列各式：化簡下列各式：（1）（2）sin690sin150+cos930cos(-870)+tan120tan1 050.; ;) )- -) )t ta an n( (3 3- -c co os s( ( ) )- -) )c co ot t( (- -) )t ta an n( (- -s si in n( (2 2 名師伴你行2021/4/218（1）原式）原式（2）原式）原式=

14、sin(720-30)sin(180-30)+cos(1 080-150)cos(720+150)+tan120tan(1 080-30)=-sin30sin30+cos150cos150+tan60tan30=; ;1 1c co os sc co ot ts si in nt ta an n) )( (c co os s- -c co ot t) )( (t ta an ns si in n- -2 23 34 43 34 41 11 1名師伴你行2021/4/2191.運(yùn)用誘導(dǎo)公式的重點(diǎn)在于函數(shù)名稱與符號的正確判斷和運(yùn)用誘導(dǎo)公式的重點(diǎn)在于函數(shù)名稱與符號的正確判斷和使用，在運(yùn)用同角關(guān)系的平方關(guān)系時(shí)，關(guān)鍵在于討論角的使用，在運(yùn)用同角關(guān)系的平方關(guān)系時(shí)，關(guān)鍵在于討論角的范圍范圍.2.進(jìn)行三角函數(shù)式的恒等變形，要善于觀察題目特征，靈進(jìn)行三角函數(shù)式的恒等變形，要善于觀察題目特征，靈活選擇公式，通過三角變換達(dá)到化異為同的目的活選擇公式，通過三角變換達(dá)到化異為同的目的.3.掌握三角變換的常見技巧：掌握三角變換的常見技巧：（1）1的代換的代換.（2）sin+cos，sin-cos，sincos三個(gè)式子中，三個(gè)式子中，已知其中一個(gè)式子的值，可求其余二式的值，若已知已知其中一個(gè)式子的