分類討論的思想方法

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上分類討論的思想方法慕澤剛(重慶市龍坡區(qū)渝西中學(xué))一、知識(shí)要點(diǎn)概述1.分類討論的思想方法的原理及作用：在研究與解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，如果問題不能以統(tǒng)一的同一種方法處理或同一種形式表述、概括，可根據(jù)數(shù)學(xué)對(duì)象的本質(zhì)屬性的相同和不同點(diǎn)，按照一定的原則或某一確定的標(biāo)準(zhǔn)，在比較的基礎(chǔ)上，將數(shù)學(xué)對(duì)象劃分為若干既有聯(lián)系又有區(qū)別的部分，然后逐類進(jìn)行討論，再把這幾類的結(jié)論匯總，從而得出問題的答案，這種研究解決問題的思想方法就是分類討論的思想方法.分類討論的思想方法是中學(xué)數(shù)學(xué)的基本方法之一，在近幾年的高考試題中都把分類討論思想方法列為重要的思想方法來考查，體現(xiàn)出其重要的位置.分類討論的思想方法不

2、僅具有明顯的邏輯性、題型覆蓋知識(shí)點(diǎn)較多、綜合性強(qiáng)等特點(diǎn)，而且還有利于對(duì)學(xué)生知識(shí)面的考查、需要學(xué)生有一定的分析能力、一定分類技巧，對(duì)學(xué)生能力的考查有著重要的作用.分類討論的思想的實(shí)質(zhì)就是把數(shù)學(xué)問題中的各種限制條件的制約及變動(dòng)因素的影響而采取的化整為零、各個(gè)突破的解題手段.2.引入分類討論的主要原因(1)由數(shù)學(xué)概念引起的分類討論：如絕對(duì)值的定義、直線與平面所成的角、定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式等；(2)由數(shù)學(xué)運(yùn)算要求引起的分類討論：如除法運(yùn)算中除數(shù)不為零、對(duì)數(shù)中真數(shù)與底數(shù)的要求等；(3)由函數(shù)的性質(zhì)、定理、公式的限制引起的分類討論；(4)由圖形的不確定引起的分類討論；(5)由參數(shù)的變化引起的分類討論；(6)按

3、實(shí)際問題的情況而分類討論.二、解題方法指導(dǎo)1.分類討論的思想方法的步驟：(1)確定標(biāo)準(zhǔn)；(2)合理分類；(3)逐類討論；(4)歸納總結(jié).2.簡化分類討論的策略：(1)消去參數(shù)；(2)整體換元；(3)變更主元；(4)考慮反面；(5)整體變形；(6)數(shù)形結(jié)合；(7)縮小范圍等.3.解題時(shí)把好“四關(guān)”(1)要深刻理解基本知識(shí)與基本原理，把好“基礎(chǔ)關(guān)”；(2)要找準(zhǔn)劃分標(biāo)準(zhǔn)，把好“分類關(guān)”；(3)要保證條理分明，層次清晰，把好“邏輯關(guān)”；(4)要注意對(duì)照題中的限制條件或隱含信息，合理取舍，把好“檢驗(yàn)關(guān)”.三、范例剖析例1解關(guān)于x的不等式：1（a1）解析：原不等式等價(jià)于：0，即(a1)(x)(x2)0若

4、a1，則等價(jià)于(x)(x2)0.又210，2原不等式的解集為；(，)（2,）；若a1時(shí)，則等價(jià)于(x)(x2)0.由于2，當(dāng)0a2，原不等式的解集為(2，).當(dāng)a0時(shí)，2，原不等式的解集為(，2).當(dāng)a0時(shí)，原不等式為(x2)20，解集為.綜上所述：當(dāng)a0時(shí)，原不等式的解集為；(，2)；當(dāng)a0時(shí)，原不等式的解集為；當(dāng)0a1時(shí)，原不等式的解集為；(，)（2,）.點(diǎn)撥：本題需要兩級(jí)分類，第一級(jí)，按開口方向分類分a1和a1，在a1時(shí)，又需要討論兩個(gè)根2與的大小，又分為三類，即a0，a=0和0a1.例2在等比數(shù)列an中，Sn= a1+a2+a3+an，Tn= a1a2a3 an，Pn=+ + +，求證

5、：()=Tn2.解析：由所要證明的等式，知須分別求出Sn、Tn、Pn，因此要用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，根據(jù)公式的要求必須對(duì)公比q進(jìn)行分類討論.(1)當(dāng)q=1時(shí)，Sn=na1,Tn= a1n，Pn=，()=a12n，Tn2= a12n，()=Tn2；(2) 當(dāng)q1時(shí)，Sn=，Tn= a1nq，Pn= =，= a12qn-1 ，()=a12nqn(n-1)，Tn2= a12n qn(n-1)，()=Tn2.點(diǎn)撥：扎實(shí)的基礎(chǔ)和嚴(yán)密的推理是進(jìn)行合理有效的分類討論的前提，課本中的公式比較多，必須對(duì)每一個(gè)公式都要有透徹的理解，對(duì)在應(yīng)用公式解題時(shí)是否需要對(duì)公式進(jìn)行分類討論才能做到心中有數(shù)，使解答過程具有完整

6、性.例3解關(guān)于x的不等式2 logx-1(a0,a1)解析；轉(zhuǎn)化為等價(jià)不等式組，注意對(duì)于logx的底數(shù)的a進(jìn)行討論.原不等式等價(jià)于由得logx，由得logx1，由得logx，logx1，當(dāng)a1時(shí)，所求不等式的解集為x|axa；當(dāng)0a1時(shí)，所求不等式的解集為x| ax a或0xa .點(diǎn)撥：本題是一道等價(jià)轉(zhuǎn)化與分類討論的典型題，解此類根式、對(duì)數(shù)不等式時(shí)，要注意等價(jià)性、不要忽略不等式兩邊函數(shù)的定義域，根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，對(duì)a進(jìn)行分類討論.例4如圖，已知一條線段AB，它的兩個(gè)端點(diǎn)分別在直二面角P-l-Q的兩個(gè)平面內(nèi)移動(dòng),若AB和平面P、Q所成的角分別為a、b，試討論a+b的范圍. 解析：(1)當(dāng)ABl

7、時(shí)，a+b=90.(2)AB與l不垂直時(shí)，在平面P內(nèi)作ACl，C為垂足，連結(jié)BC，平面P平面Q，AC平面Q，ABC是AB與平面Q所成的角，即ABC=b，在平面Q內(nèi)作BDl，垂足為D，連結(jié)AD，同理BAD=a，在RtBDA和RtACB中，BDBC，,即sinasinBAC,a和BAC均為銳角，aBAC，而BAC+b=90，a+b90.(3)若AB與l重合，則a+b=0.綜上討論可知0a+b90.點(diǎn)撥：在幾何問題中，研究各元素間的位置關(guān)系時(shí)，要注意每一個(gè)位置關(guān)系都不可遺漏，對(duì)于多種可能的情況，必須分開來進(jìn)行研究.例5四個(gè)男孩和三個(gè)女孩站成一列，男孩甲前面至少有一個(gè)女孩站著，并且站在這個(gè)男孩前面的女

8、孩個(gè)數(shù)必少于站在他后面的男孩個(gè)數(shù)的站法共有多少種？解析：現(xiàn)在按男孩甲前面的男、女孩數(shù)來分類.第一類，甲前面有2個(gè)女孩，其它男孩和另一女孩必須站在甲后面，有AA(種)；第二類，甲前面有一個(gè)女孩和一個(gè)男孩，有：CCAA(種)；第三，甲前面僅有一個(gè)女孩，有：AA(種)；滿足條件的站法為：AA+CCAA+AA=936(種).點(diǎn)撥：相當(dāng)一部分排列組合應(yīng)用問題需要分類求解，而排列組合應(yīng)用題中的分類，與其它章節(jié)問題中的分類不同，它不是就某個(gè)字母的取值范圍不同或圖形的形狀、位置不同等進(jìn)行的分類，而是就處理問題的不同方法去分類.例6函數(shù)y=的值域是( )A.-2,4B.-2，0,4C.-2，0，2，4D.-4，

9、-2，0,4解析：須根據(jù)絕對(duì)值的意義去掉絕對(duì)值符號(hào)，因此必須對(duì)角x所在的象限進(jìn)行討論.由題意可知x(kZ),(1)當(dāng)x在第一象限時(shí)，y=1+1+1+1=4；(2)當(dāng)x在第二象限時(shí)，y=1+(-1)+(-1)+(-1)=-2；(3)當(dāng)x在第三象限時(shí)，y=-1+(-1)+1+1=0；(4)當(dāng)x在第四象限時(shí)，y=-1+1+(-1)+(-1)=-2.故值域?yàn)?2,0,4,應(yīng)選B.點(diǎn)撥：由于三角函數(shù)在各象限內(nèi)符號(hào)不同，依此特點(diǎn)，從不同的象限入手分類討論是解此類題的常見方法.例7已知直角坐標(biāo)平面上點(diǎn)Q(2，0)和圓C：x2+y2=1，動(dòng)點(diǎn)M到圓C的切線長與|MQ|的比等于常數(shù)(0).求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程，說明它表示什么曲線.解析：如圖，設(shè)MN切圓于N，則由動(dòng)點(diǎn)M組成的集合是：P=M|MN|=|MQ|，0.ONMN，|ON|=1，|MN|2=|MO|2-1.設(shè)動(dòng)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x,y)，則x2+y21=2(x-2) 2+y2，整理，得(2-1)(x2+y2)-42x+(42+1)=0.故M的軌跡方程是(2-1)(x2+y2)-4