初中三角形全等之旋轉(zhuǎn)和對稱經(jīng)典模型

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上初中全等三角形旋轉(zhuǎn)和對稱經(jīng)典模型一.旋轉(zhuǎn)的定義在平面內(nèi)，將一個圖形繞一個定點O沿某個方向轉(zhuǎn)動一個角度，就叫做圖形的旋轉(zhuǎn)，定點O稱為旋轉(zhuǎn)中心，轉(zhuǎn)動的角稱為旋轉(zhuǎn)角；二.旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)（1）旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等；即對應(yīng)線段相等，對應(yīng)角相等（2）對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等（3）任意一對對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心的連線所成的角都是旋轉(zhuǎn)角三.旋轉(zhuǎn)對稱圖形把一個圖形繞著一個定點旋轉(zhuǎn)一個角度后，與初始圖形重合，這種圖形叫做旋轉(zhuǎn)對稱圖形，這個定點叫做旋轉(zhuǎn)對稱中心，旋轉(zhuǎn)的角度叫做旋轉(zhuǎn)角（旋轉(zhuǎn)角大于0°，小于360°）四.旋轉(zhuǎn)對稱圖形把一個圖形繞著一個定點旋轉(zhuǎn)一個角度后，與初始圖形重合

2、，這種圖形叫做旋轉(zhuǎn)對稱圖形，這個定點叫做旋轉(zhuǎn)對稱中心，旋轉(zhuǎn)的角度叫做旋轉(zhuǎn)角（旋轉(zhuǎn)角大于0°，小于360°）五.典型模型1、等線段共點2、繞點型（手拉手模型）（1）自旋轉(zhuǎn)：自旋轉(zhuǎn)構(gòu)造放方法：遇60°旋60°，構(gòu)造等邊三角形；遇90°旋90°，構(gòu)造等腰直角三角形；遇等腰旋轉(zhuǎn)頂角，構(gòu)造旋轉(zhuǎn)全等；遇中點180°，構(gòu)造中心對稱。 （2）共旋轉(zhuǎn)模型變形說明：模型變形主要是兩個正多邊形或者等腰三角形的夾角的變化，另外是等腰直角三角形與正方形的混用。當(dāng)遇到復(fù)雜圖形找不到旋轉(zhuǎn)全等時，先找兩個正多邊形或者等腰三角形的公共頂點，圍繞公共頂點找到兩

3、組相鄰等線段，分組組成三角形證全等。3.中點旋轉(zhuǎn)（拓展）：說明：兩個正方形、兩個等腰直角三角形或者一個正方形一個等腰直角三角形及兩個圖形頂點連線的中點，證明另外兩個頂點與中點所成圖形為等腰直角三角形。證明方法是倍長所要證等腰直角三角形的一直角邊，轉(zhuǎn)化成要證明的等腰直角三角形和已知的等腰直角三角形（或者正方形）公旋轉(zhuǎn)頂點，通過證明旋轉(zhuǎn)全等三角形證明倍長后的大三角形為等腰直角三角形從而得證。4、半角模型說明：旋轉(zhuǎn)半角的特征是相鄰等線段所成角含一個二分之一角，通過旋轉(zhuǎn)將另外兩個和為二分之一的角拼接在一起，成對稱全等。5.角分線模型說明：以角平分線為軸在角兩邊進(jìn)行截長補(bǔ)短或者作邊的垂線，形成對稱全等。

4、兩邊進(jìn)行邊或者角的等量代換，產(chǎn)生聯(lián)系。垂直也可以做為軸進(jìn)行對稱全等。6.對稱半角模型（拓展）說明：上圖依次是45°、30°、22.5°、15°及有一個角是30°直角三角形的對稱（翻折），翻折成正方形或者等腰直角三角形、等邊三角形、對稱全等。7.對稱最值(兩點間線段最短)8.對稱最值(點到直線垂線段最短)說明：通過對稱進(jìn)行等量代換，轉(zhuǎn)換成兩點間距離及點到直線距離。旋轉(zhuǎn)最值(共線有最值)說明：找到與所要求最值相關(guān)成三角形的兩個定長線段，定長線段的和為最大值，定長線段的差為最小值。9、費馬點問題（興趣拓展）在三角形ABC中，找一點P，使其到頂點A、B

5、、C三點距離之和最短。該點就是費馬點例1 如圖等邊ABC內(nèi)有一點O，試說明：OA+OB>OC 分析：要證明OA+OB>OC，必然把OA、OB、OC轉(zhuǎn)為在一個三角形內(nèi)，應(yīng)用兩邊之和大于第三邊（兩點之間線段最短）來說明，因此要應(yīng)用旋轉(zhuǎn)以A為旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)60°，便可把OA、OB、OC轉(zhuǎn)化為一個三角形內(nèi)解：如圖，把AOC以A為旋轉(zhuǎn)中心順時針方向旋轉(zhuǎn)60°后，到AOB的位置，則AOCAOB AO=AO，OC=OB 又OAO'=60°，AO'O為等邊三角形 AO=OO' 在BOO'中，OO'+OB>BO' 即

6、OA+OB>OC例2、例題講解： 1. 已知ABC為等邊三角形，點D為直線BC上的一動點（點D不與B,C重合），以AD為邊作菱形ADEF(按A,D,E,F逆時針排列），使DAF=60°,連接CF.(1)如圖1，當(dāng)點D在邊BC上時，求證：BD=CF AC=CF+CD.(2)如圖2，當(dāng)點D在邊BC的延長線上且其他條件不變時，結(jié)論AC=CF+CD是否成立？若不成立，請寫出AC、CF、CD之間存在的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；  (3)如圖3，當(dāng)點D在邊BC的延長線上且其他條件不變時，補(bǔ)全圖形，并直接寫出AC、CF、CD之間存在的數(shù)量關(guān)系。（半角模型）例3、如圖，正方形A

7、BCD的邊長為1，AB,AD上各存在一點P、Q，若APQ的周長為2，求的度數(shù)。例4、在正方形ABCD中，若M、N分別在邊BC、CD上移動，且滿足MN=BM +DN，求證：MAN=45°；CMN的周長=2AB；AM、AN分別平分BMN和DNM。例5、在正方形ABCD中，已知MAN=45°，若M、N分別在邊CB、DC 的延長線上移動：試探究線段MN、BM 、DN之間的數(shù)量關(guān)系；求證：AB=AH. 例6、在四邊形ABCD中，B+D=180°，AB=AD，若E、F分別在邊BC、CD且上，滿足EF=BE+DF.求證：。例7.已知：如圖1在中，點分別為線段上兩動點，若.探究線段三條線段之間的數(shù)量關(guān)系.小明的思路是：把繞點順時針旋轉(zhuǎn)，得到，連接，使問題得到解決.請你參考小明的思路探究并解決下列問題：（1）猜想三條線段之間存在的數(shù)量關(guān)系式，并對你的猜想給予證明；（2）當(dāng)動點E在線段BC上，動點D運動在線段CB延長線上時，如圖2，其它條件不變.（1）中探究的結(jié)論是否發(fā)生改變？請說明你的猜想并給予證明.例8如圖，已知MON=120°，點A，B分別在OM，ON上，且OA=OB=a，將射線OM繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)得到OM'，旋轉(zhuǎn)角為（0°120°且60°），作點A關(guān)于直線OM'