初中二次函數(shù)培優(yōu)競(jìng)賽經(jīng)典試題及答案

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上初中二次函數(shù)培優(yōu)競(jìng)賽試題及答案1在如圖的直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A(2,0)、B(0，4)，將線段AB繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°至AC(1)求點(diǎn)C的坐標(biāo)；(2)若拋物線yx2ax4經(jīng)過(guò)點(diǎn)C求拋物線的解析式；在拋物線上是否存在點(diǎn)P(點(diǎn)C除外)使ABP是以AB為直角邊的等腰直角三角形?若存在，求出所有點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由2如圖1，已知直線y=x+3與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，拋物線y=-x2+bx+c經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)，與x軸交于另一個(gè)點(diǎn)C，對(duì)稱軸與直線AB交于點(diǎn)E，拋物線頂點(diǎn)為D（1）求拋物線的解析式；（2）在第三象限內(nèi)，F(xiàn)為拋物線上一點(diǎn)，以A、E、

2、F為頂點(diǎn)的三角形面積為3，求點(diǎn)F的坐標(biāo)；（3）點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)，沿對(duì)稱軸向下以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，當(dāng)t為何值時(shí)，以P、B、C為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形？直接寫(xiě)出所有符合條件的t值1.【解析】試題分析：（1）過(guò)點(diǎn)C作CD垂直于x軸，由線段AB繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°至AC，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)得到AB=AC，且BAC為直角，可得OAB與CAD互余，由AOB為直角，可得OAB與ABO互余，根據(jù)同角的余角相等可得一對(duì)角相等，再加上一對(duì)直角相等，利用ASA可證明三角形ACD與三角形AOB全等，根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等可得AD=OB，CD=OA，由A和B的坐標(biāo)及位

3、置特點(diǎn)求出OA及OB的長(zhǎng)，可得出OD及CD的長(zhǎng)，根據(jù)C在第四象限得出C的坐標(biāo)；（2）由已知的拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，把第一問(wèn)求出C的坐標(biāo)代入拋物線解析式，列出關(guān)于a的方程，求出方程的解得到a的值，確定出拋物線的解析式；假設(shè)存在點(diǎn)P使ABP是以AB為直角邊的等腰直角三角形，分三種情況考慮：（i）A為直角頂點(diǎn)，過(guò)A作AP1垂直于AB，且AP1=AB，過(guò)P1作P1M垂直于x軸，如圖所示，根據(jù)一對(duì)對(duì)頂角相等，一對(duì)直角相等，AB=AP1，利用AAS可證明三角形AP1M與三角形ACD全等，得出AP1與P1M的長(zhǎng)，再由P1為第二象限的點(diǎn)，得出此時(shí)P1的坐標(biāo)，代入拋物線解析式中檢驗(yàn)滿足；（ii）當(dāng)B為直角頂點(diǎn)，過(guò)B作

4、BP2垂直于BA，且BP2=BA，過(guò)P2作P2N垂直于y軸，如圖所示，同理證明三角形BP2N與三角形AOB全等，得出P2N與BN的長(zhǎng)，由P2為第三象限的點(diǎn)，寫(xiě)出P2的坐標(biāo)，代入拋物線解析式中檢驗(yàn)滿足；（iii）當(dāng)B為直角頂點(diǎn)，過(guò)B作BP3垂直于BA，且BP3=BA，如圖所示，過(guò)P3作P3H垂直于y軸，同理可證明三角形P3BH全等于三角形AOB，可得出P3H與BH的長(zhǎng)，由P3為第四象限的點(diǎn)，寫(xiě)出P3的坐標(biāo)，代入拋物線解析式檢驗(yàn)，不滿足，綜上，得到所有滿足題意的P的坐標(biāo)試題解析：（1）過(guò)C作CDx軸，垂足為D，BAAC，OAB+CAD=90°，又AOB=90°，OAB+OBA=

5、90°，CAD=OBA，又AB=AC，AOB=ADC=90°，AOBCDA，又A（1，0），B（0，2），OA=CD=1，OB=AD=2，OD=OA+AD=3，又C為第四象限的點(diǎn)，C的坐標(biāo)為（3，1）；（2）拋物線y=x2+ax+2經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，且C（3，1），把C的坐標(biāo)代入得：1=+3a+2，解得：a=，則拋物線的解析式為y=x2+x+2；存在點(diǎn)P，ABP是以AB為直角邊的等腰直角三角形，（i）若以AB為直角邊，點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)，則延長(zhǎng)CA至點(diǎn)P1使得P1A=CA，得到等腰直角三角形ABP1，過(guò)點(diǎn)P1作P1Mx軸，如圖所示，AP1=CA，MAP1=CAD，P1MA=CDA=90

6、°，AMP1ADC，AM=AD=2，P1M=CD=1，P1（1，1），經(jīng)檢驗(yàn)點(diǎn)P1在拋物線y=x2+x+2上；（ii）若以AB為直角邊，點(diǎn)B為直角頂點(diǎn)，則過(guò)點(diǎn)B作BP2BA，且使得BP2=AB，得到等腰直角三角形ABP2，過(guò)點(diǎn)P2作P2Ny軸，如圖，同理可證BP2NABO，NP2=OB=2，BN=OA=1，P2（2，1），經(jīng)檢驗(yàn)P2（2，1）也在拋物線y=x2+x+2上；（iii）若以AB為直角邊，點(diǎn)B為直角頂點(diǎn)，則過(guò)點(diǎn)B作BP3BA，且使得BP3=AB，得到等腰直角三角形ABP3，過(guò)點(diǎn)P3作P3Hy軸，如圖，同理可證BP3HBAO，HP3=OB=2，BH=OA=1，P3（2，3），

7、經(jīng)檢驗(yàn)P3（2，3）不在拋物線y=x2+x+2上；則符合條件的點(diǎn)有P1（1，1），P2（2，1）兩點(diǎn)考點(diǎn)：1.二次函數(shù)綜合題2.點(diǎn)的坐標(biāo)3.等腰直角三角形2.【答案】（1）y=-x2-2x+3；（2）（，） （3）當(dāng)t為秒或2秒或3秒或秒時(shí)，以P、B、C為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形【解析】試題分析：（1）先由直線AB的解析式為y=x+3，求出它與x軸的交點(diǎn)A、與y軸的交點(diǎn)B的坐標(biāo)，再將A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入y=-x2+bx+c，運(yùn)用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式；（2）設(shè)第三象限內(nèi)的點(diǎn)F的坐標(biāo)為（m，-m2-2m+3），運(yùn)用配方法求出拋物線的對(duì)稱軸及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)，再設(shè)拋物線的對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)G

8、，連接FG，根據(jù)SAEF=SAEG+SAFG-SEFG=3，列出關(guān)于m的方程，解方程求出m的值，進(jìn)而得出點(diǎn)F的坐標(biāo)；（3）設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，n）先由B、C兩點(diǎn)坐標(biāo)，運(yùn)用勾股定理求出BC2=10，再分三種情況進(jìn)行討論：PBC=90°，先由勾股定理得出PB2+BC2=PC2，據(jù)此列出關(guān)于n的方程，求出n的值，再計(jì)算出PD的長(zhǎng)度，然后根據(jù)時(shí)間=路程÷速度，即可求出此時(shí)對(duì)應(yīng)的t值；BPC=90°，同可求出對(duì)應(yīng)的t值；BCP=90°，同可求出對(duì)應(yīng)的t值試題解析：（1）y=x+3與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，當(dāng)y=0時(shí)，x=-3，即A點(diǎn)坐標(biāo)為（-3，0），當(dāng)x=

9、0時(shí)，y=3，即B點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3），將A（-3，0），B（0，3）代入y=-x2+bx+c，得， 解得，拋物線的解析式為y=-x2-2x+3；（2）如圖1，設(shè)第三象限內(nèi)的點(diǎn)F的坐標(biāo)為（m，-m2-2m+3），則m0，-m2-2m+30y=-x2-2x+3=-（x+1）2+4，對(duì)稱軸為直線x=-1，頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-1，4），設(shè)拋物線的對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)G，連接FG，則G（-1，0），AG=2直線AB的解析式為y=x+3，當(dāng)x=-1時(shí)，y=-1+3=2，E點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，2）SAEF=SAEG+SAFG-SEFG=×2×2+×2×（m2+2m-3）-&#

10、215;2×（-1-m）=m2+3m，以A、E、F為頂點(diǎn)的三角形面積為3時(shí)，m2+3m=3，解得：，（舍去），當(dāng)時(shí)，-m2-2m+3=-m2-3m+m+3=-3+m+3=m=，點(diǎn)F的坐標(biāo)為（，）；（3）設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，n）B（0，3），C（1，0），BC2=12+32=10分三種情況：如圖2，如果PBC=90°，那么PB2+BC2=PC2，即（0+1）2+（n-3）2+10=（1+1）2+（n-0）2，化簡(jiǎn)整理得6n=16，解得n=，P點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，），頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-1，4），PD=4-=，點(diǎn)P的速度為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度，t1=；如圖3，如果BPC=90°，那么PB2+PC2=BC2，即（0+1）2+（n-3）2+（1+1）2+（n-0）2=10，化簡(jiǎn)整理得n2-3n+2=0，解得n=2或1，P點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，2）或（-1，1），頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-1，4），PD=4-2=2或PD=4-1=3，點(diǎn)P的速度為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度，t2=2，t3=3；如圖4，如果BCP=90&#