羅爾定理的研究及推廣論文

1、本科畢業(yè)論文（設計）題 目 羅爾定理應用和推廣研究學 院 數(shù)學與統(tǒng)計學院 專 業(yè) 數(shù)學與應用數(shù)學 年 級 2009級學 號 222009314012019 姓 名 鄭世鳳 指 導 教 師 杜文久 成 績 中 2013年 5月 12日目錄1 羅爾定理的基本性質及應用21.1 羅爾(Rolle)中值定理21.2幾何意義21.3 羅爾定理證明31.4 在簡單函數(shù)中討論羅爾定理條件41.5 利用羅爾定理證明Lagrange、Cauchy中值定理51.6 利用羅爾定理解決零點問題72 關于羅爾定理的進一步討論112.1 多元函數(shù)的的羅爾中值定理112.2 任意區(qū)間和端點值上的羅爾定理122.4 廣義羅爾

2、在高中數(shù)學中的應用16結語18參考文獻：19致謝19羅爾定理應用和推廣研究鄭世鳳數(shù)學與統(tǒng)計學院，重慶 400715摘要：本論文探討了羅爾定理的基本性質，并應用羅爾定理解決實際問題。同時近一步討論羅爾定理，將其推廣到更廣泛的適用范圍，并證明其可行性，最后運用推廣的羅爾定理解決問題。關鍵詞：羅爾定理；性質；應用；廣義羅爾定理；Rolle theorem and its application researchShifengZhengSchool of Mathematics and Statistics, Southwest University, Chongqing 400715, ChinaA

3、bstract:This paper discusses the basic properties of Rolles theorem,then use Rolles theorem to solve practical problems and applications. Rolles theorem further discussion at the same time, will it spread to the broader scope of application, and prove its feasibility,finally using the promotion of R

4、olles theorem to solve the problem.Keywords:Rolles theorem; Properties; Applications; Generalized rolles theorem;引言微分中值定理是反映函數(shù)與導數(shù)之間聯(lián)系的重要定理，也是微積分學的理論基礎，在許多方面它都有重要的作用，在進行一些公式推導與定理證明中都有很多應用。如果要了解函數(shù)在其定義域上的整體性態(tài)，就需要在導數(shù)及函數(shù)間建立起聯(lián)系，微分中值定理就是起這種作用的。三大微分中值定理，包括羅爾定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理是溝通導數(shù)值與函數(shù)值之間的橋梁，是利用導數(shù)的局部性質推斷函數(shù)的整

5、體性質的工具。以羅爾定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理組成的一組中值定理是整個微分學的理論基礎。爾定理是微分中值定理中的基礎定理，以羅爾定理為基礎可推導拉格朗日中值定理及柯西中值定理。羅爾定理本身不僅僅局限于討論有限區(qū)間，在給出其他更弱條件下，我們將羅爾定理推廣到更廣泛的適應范圍，幫助我們在中學微分學教學中理解和解決函數(shù)與導數(shù)的相關問題。1 羅爾定理的基本性質及應用1.1羅爾(Rolle)中值定理若函數(shù)滿足如下條件:在閉區(qū)間上連續(xù);在開區(qū)間內可導;,則內至少存在一點,使得.1.2幾何意義在上連續(xù)表明曲線連同端點在內是無縫隙的;在開區(qū)間內可導表明曲線在每一點處有切線存在;表明曲線的割線直線平行

6、于軸.羅爾定理的結論的直觀意義是:在內至少能找到一點,.表明曲線上至少有一點的切線斜率為,也就平行于軸符合羅爾定理條件的曲線至少有一條水平切線.圖11.3羅爾定理證明方法一:根據是閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質,由極值定理得在上有最大值和最小值.如果,此時在上恒為常數(shù),結論顯然成立.如果,由條件知,兩個數(shù)中至少有一個不等于端點的函數(shù)值，不妨設,證法類似,那么必定在開區(qū)間內有一點使.因此,有,由費馬引理可知.方法二:由于在處最大,故不論是正或負,總有,因此，當時,故由極限的保號性有而當時，.故.綜上所述及存在知，必有 證明完畢.1.4在簡單函數(shù)中討論羅爾定理條件了解了羅爾中值定理，我們便可以合理利用它的

7、判定條件快速的判別一些中學遇到的簡單函數(shù)導數(shù)的零點問題。但是要滿足羅爾定理，羅爾定理的三個條件缺一不可。例1.1 解:由題知:在上不連續(xù);在內可導;不存在，使得.中不滿足羅爾定理在閉區(qū)間連續(xù)的條件，其結果也不服從羅爾定理。例1.2 解:由題知:(1);(2)在上不可導;(3),則不存在,使得.題中不滿足羅爾定理的條件(2),其結果也不服從羅爾定理.例1.3 .解:由題知:(1);(2);(3),則不存在,使得.為此題中不滿足羅爾定理的條件(3),其結果也不服從羅爾定理.面的例子說明如果函數(shù)要滿足羅爾定理,那么它們需要滿足羅爾中值定理的三個條件,但在一些特殊情況下,羅爾定理的條件之一不滿足其結論

8、仍然成立.(1)在x=0處不可導.(2)在端點處的函數(shù)值不相等.(3)在閉區(qū)間上不連續(xù).雖然三個函數(shù)都不完全滿足羅爾定理的三個條件，但其結果滿足羅爾定理的結果1.5利用羅爾定理證明Lagrange、Cauchy中值定理中值定理:若函數(shù)滿足如下條件:(1)在閉區(qū)間上連續(xù);(2)在開區(qū)間內可導;則在內至少存在一點,使得.證明:做輔助函數(shù).顯然,且在上滿足羅爾定理的另兩個條件.故存在,使 證畢完畢.柯西中值定理:設函數(shù)和滿足在上連續(xù);在內都可導;和不同時為零;,則存在,使得.證明:作輔助函數(shù),易見在上滿足羅爾定理條件,故存在,使得,因為,所以,證明完畢.1.6利用羅爾定理解決零點問題零點問題就是指零

9、點的存在性、唯一性和零點的個數(shù)問題，這一問題可以采用高等數(shù)學中的零點定理、費馬定理、拉格朗日中值定理以及羅爾定理，不同的方法有不同的解題思路，現(xiàn)在我們著重討論羅爾定理。羅爾定理在函數(shù)零點問題中的應用十分廣泛，它能夠很好地解決函數(shù)零點的存在性、唯一性和零點個數(shù)等問題。下面我們舉例看一看怎樣運用羅爾定理解決零點問題。例1.4 不求導數(shù),判斷函數(shù)的導數(shù)有幾個零點及這些零點所在的范圍.解: 因為,所以在閉區(qū)間、上滿足羅爾定理的三個條件，從而，在內至少存在一點,使,即是的一個零點；又在內至少存在一點,使,即也是的一個零點,又因為為二次多項式,最多只能有兩個零點,故恰好有兩個零分別在區(qū)間和內.例1.5 求

10、證:方程的根不超過三個(不記根的重數(shù)).證明:令在連續(xù)可導;至少有四個不等的根,不妨設,則分別在上.用羅爾定理得在內至少有三個不等根,而在,上連續(xù)可導,分別在,上用羅爾定理,得至少有兩個不等根,與題設矛盾,故的根不超過三個,即原方程的根不超過三個.證明完畢.例1.6設在上連續(xù),在可導,且,求證在內至少存在一點,使.證明:令,則在上連續(xù),在可導,且因為,所以,即在上滿足羅爾定理的條件,則至少存在使.而即在內至少存在一點,使.例1.7討論方程討論方程的零點個數(shù).解: 設函數(shù),顯然在定義域內是連續(xù)函數(shù).分別令得,所以在區(qū)間內個至少有一個零點,即方程至少有三個實根.令,這個函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)且單調遞增.

11、又，,所以在有唯一的零點,所以有羅爾定理可知在至多有兩個零點.同理可知在至多三個零點.綜上所述,原方程在恰好有三個零點.例1.8 已知函數(shù)在上二階可微,則在內只有一個實根.證明: 首先證明存在性.過定點做曲線的切線：,則切線與軸的交點,由，顯然有.若存在使得,則由羅定理可知，存在使得這與矛盾,所以只有一個點,使得.證明完畢.由上面這些例子可以看出,羅爾定理在討論一般方程和導數(shù)方程上都是很有用的,合理運用羅爾定理的條件進行判定篩選,即可判斷或證明方程根的存在性，即零點的存在性,個數(shù)和唯一性。2關于羅爾定理的進一步討論羅爾定理是微分學中的重要定理,它不僅溝通函數(shù)與導函數(shù)的關系,還是微積分學中許多定

12、理的基礎,對羅爾定理進行深入系統(tǒng)的探討和研究,在多元函數(shù)中的性質和給出在更弱條件下的各種區(qū)間類型（包括有限區(qū)間和無限區(qū)間）的羅爾定理的推廣形式2.1多元函數(shù)的的羅爾中值定理二元函數(shù)的羅爾中值定理:設二元函數(shù)(1)在有界閉區(qū)域連續(xù);(2)在的每一點存在偏導;(3)當時，,則至少存在一點,使,其中,分別表示的內部和邊界,常數(shù).證明:根據有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質知，在區(qū)域上必有最大值和最小值.(1)若則當時,于是，對內任意一點,都有,及結論成立.(2)若,則最大值與最小值至少有一個不在上取到，即與有一個與不相等.不妨設,則內必有一點,使.下證,在該點處,函數(shù)的兩個偏導數(shù)為零.因,故一元函數(shù)在內點取

13、得最大值,據費馬定理知,同理可證,.于是，定理得證.證明完畢.二元函數(shù)的羅爾定理的幾何意義是:如果曲線在平面上，則在曲面上必有一點,使在該點的切平面平行于平面.其中.2.2任意區(qū)間和端點值上的羅爾定理在函數(shù)中是用羅爾定理，其必須滿足的條件是相當苛刻的，我們希望能夠得到一個更為寬泛的結論，因此有必要對其條件進行放寬，放寬條件后的羅爾定理不妨將其稱之為廣義羅爾定理。定理2.1 設函數(shù)滿足條件:(1)在開區(qū)間內可導;(2)則至少存在一點,使得.證明:不妨設,做輔助函數(shù).則在區(qū)間上連續(xù),在內可導,且,故由羅爾中值定理知,在內至少存在一點,使得.證明完畢.定理2.2設函數(shù)滿足條件:(1)在開區(qū)間內可導;

14、(2)則至少存在一點,使得.證明:在內任取一點,使.令顯然,當時,;時,且函數(shù)在內可導所以復合函數(shù)在可導.又因為,由條件(2),有,所以,函數(shù)在內,滿足2.2.1的條件.于是,存在,使得,即.由于,當時,所以,必有,令,即此.證明完畢.定理2.3函數(shù)滿足條件:在開區(qū)間內可導;,則至少存在一點,使得.證明類似定理2.2,固從略.定理2.4設函數(shù)滿足條件:在開區(qū)間內科導;,則至少存在一點,使得.證明:令,顯然,當時,;當時,且函數(shù)在內可導,又由于函數(shù)在內可導，固有復合函數(shù)在內可導.且有,.由條件(2)得,則函數(shù)在上滿足2.2.1的條件.所以,至少存在一點,使得.即，,因為當時,所以.令,即得.證明

15、完畢.2.4 廣義羅爾在高中數(shù)學中的應用例2.1求證函數(shù)在內至少存在一點,使得.證明:由于在內可導,且,由定理2.2.2得,在內至少存在一點,使得,.事實上，.證明完畢.例2.2 求證函數(shù)在內至少存在一點,使得.證明:由于在內可導,且,由定理2.3得，在內至少存在一點,使得.事實上，.證明完畢.例2.3求證函數(shù)在內至少存在一點,使得.證明:因為在內可導,且,由定理2.1得,內至少存在一點,使得.事實上,.證明完畢.結語羅爾定理是一個基于費馬定理的微分學基本定理。由羅爾定理可導出著名的拉格朗日中值定理、柯西中值定理.本文將羅爾定理推廣到任意區(qū)間及端值上 ,并利用羅爾定理的推廣形式解決我們在高中數(shù)

16、學中遇到的導數(shù)難題。羅爾定理作為數(shù)學分析基本理論中的重要內容，它起著奠基、核心的作用。理解羅爾定理的條件，結論和幾何意義，結合對羅爾定理的具體應用，反復體會其在大學以及高中微積分課程中的重要地位和作用，從而達到準確理解并應用的目的。在掌握這一定理的條件和結論的基礎上，提出一系列更具拓展和創(chuàng)新的問題，從而達到深化理解、積極思考的創(chuàng)新的目的。參考文獻：1 北京大學.數(shù)學分析M.北京：人民教育出版社，1961.2 復旦大學數(shù)學系.數(shù)學分析M.北京：高等教育出版社，1983.3 菲赫金哥爾茨.微積分學教程M.北京：人民教育出版社，1956.4 廣西民族學院學報（自然科學版），Dec.2002:23-2

17、55 郭玉立.微分中值定理的幾種新證明6 盛云秋 上海工程技術大學學報 1992 第4期 - 維普資訊網 7 吳從炘 高等數(shù)學研究 2004 第5期 - 維普資訊網8 王子興.數(shù)學方法論-問題解決的理論M.長沙：中南大學出版社，2002.9 吳炯圻，林培榮.數(shù)學思想方法M. 北京：高等教育出版社，2005.致謝：衷心感謝帶本次畢業(yè)設計的周老師，這次的畢業(yè)設計是在杜老師的悉心指導下完成的，從論文的選題、開題報告，論文初稿到最終論文的完成，各方面都離不開杜老師的熱情耐心的幫助和指導。在這幾個月的學習中，周老師認真嚴謹?shù)墓ぷ鲬B(tài)度和誠信寬厚的處事態(tài)度，都給我留下了難以磨滅的印象，也為今后走向工作崗位樹立了榜樣。大學的學習生涯即將結束了，回顧這過去的幾年，充滿了歡笑與艱辛，這段記憶也將在我的人生中留下重重的一筆。在這短短的幾年