復(fù)變函數(shù)論第三版課后習題答案1

1、第一章習題解答（一）1設(shè)，求及。解：由于所以，。2設(shè)，試用指數(shù)形式表示及。解：由于所以。3解二項方程。解：。4證明，并說明其幾何意義。證明：由于 所以 其幾何意義是：平行四邊形對角線長平方和等于于兩邊長的和的平方。5設(shè)z1，z2，z3三點適合條件：,。證明z1，z2，z3是內(nèi)接于單位圓的一個正三角形的頂點。證 由于，知的三個頂點均在單位圓上。因為 所以， ，又 故 ，同理，知是內(nèi)接于單位圓的一個正三角形。6下列關(guān)系表示點的軌跡的圖形是什么？它是不是區(qū)域。（1） ；解：點的軌跡是與兩點連線的中垂線，不是區(qū)域。（2）；解：令由，即，得故點的軌跡是以直線為邊界的左半平面（包括直線）；不是區(qū)域。（3）

2、解：令，由，得，即；故點的軌跡是以虛軸為邊界的右半平面（不包括虛軸）；是區(qū)域。（4）；解：令由，得，即故點的軌跡是以直線為邊界的梯形（包括直線；不包括直線）；不是區(qū)域。（5）；解：點的軌跡是以原點為心，2為半徑，及以為心，以1為半徑的兩閉圓外部，是區(qū)域。（6）；解：點的軌跡是位于直線的上方（不包括直線），且在以原點為心，2為半徑的圓內(nèi)部分（不包括直線圓?。?；是區(qū)域。（7）；解：點的軌跡是以正實軸、射線及圓弧為邊界的扇形（不包括邊界），是區(qū)域。（8）解：令由，得故點的軌跡是兩個閉圓的外部，是區(qū)域。7證明：z平面上的直線方程可以寫成（a是非零復(fù)常數(shù)，C是實常數(shù)）證 設(shè)直角坐標系的平面方程為將代入，

3、得令，則，上式即為。反之：將，代入得則有；即為一般直線方程。8證明：平面上的圓周可以寫成其中A、C為實數(shù)，為復(fù)數(shù)，且。證明：設(shè)圓方程為其中當時表實圓；將代入，得即其中且；反之：令代入得其中即為圓方程。10求下列方程（t是實參數(shù)）給出的曲線。（1）； （2）；（3）； （4），解（1）。即直線。（2），即為橢圓；（3），即為雙曲線；（4），即為雙曲線中位于第一象限中的一支。11函數(shù)將z平面上的下列曲線變成平面上的什么曲線？（1）； （2）解 ，可得（1）是平面上一直線；（2），于是，是平面上一平行與v軸的直線。13試證在負實軸上（包括原點）不連續(xù)，除此而外在z平面上處處連續(xù)。證 設(shè)，因為f(0)

4、無定義，所以f(z)在原點z=0處不連續(xù)。當z0為負實軸上的點時，即，有所以不存在，即在負實軸上不連續(xù)。而argz在z平面上的其它點處的連續(xù)性顯然。14 設(shè)()ïîïíì+=,0,623yxxyzf 求證在原點處不連接。證 由于可知極限不存在，故在原點處不連接。16. 試問函數(shù)f(z) = 1/(1 z )在單位圓| z | < 1內(nèi)是否連續(xù)？是否一致連續(xù)？【解】(1) f(z)在單位圓| z | < 1內(nèi)連續(xù)因為z在C內(nèi)連續(xù)，故f(z) = 1/(1 z )在C1內(nèi)連續(xù)(連續(xù)函數(shù)的四則運算)，因此f(z)在單位圓| z | <

5、; 1內(nèi)連續(xù)(2) f(z)在單位圓| z | < 1內(nèi)不一致連續(xù)令zn = 1 1/n，wn = 1 1/(n + 1)，nÎN+則zn, wn都在單位圓| z | < 1內(nèi)，| zn - wn | ® 0，但| f(zn) - f(wn) | = | n - (n + 1) | = 1 > 0，故 f(z)在單位圓| z | < 1內(nèi)不一致連續(xù)也可以直接用實函數(shù)f(x) = 1/(1 x )在(0, 1)不一致連續(xù)來說明，只要把這個實函數(shù)看成是f(z)在E = zÎC | Im(z) = 0, 0 < Re(z) < 1 上

6、的限制即可17. 試證：復(fù)數(shù)列zn = xn + i yn以z0 = x0 + i y0為極限的充要條件是實數(shù)列xn及yn分別以x0及y0為極限【解】(Þ) 若復(fù)數(shù)列zn = xn + i yn以z0 = x0 + i y0為極限，則"e > 0，$NÎN+，使得"n > N，有| zn - z0 | < e此時有| xn - x0 | £ | zn - z0 | < e；| yn - y0 | £ | zn - z0 | < e故實數(shù)列xn及yn分別以x0及y0為極限(Ü) 若實數(shù)列xn及yn

7、分別以x0及y0為極限，則"e > 0，$N1ÎN+，使得"n > N1，有| xn - x0 | < e/2；$N2ÎN+，使得"n > N2，有| yn - y0 | < e/2令N = maxN1, N2，則"n > N，有n > N1且n > N2，故有| zn - z0 | = | (xn - x0) + i (yn - y0) | £ | xn - x0 | + | yn - y0 | < e/2 + e/2 = e所以，復(fù)數(shù)列zn = xn + i yn以z

8、0 = x0 + i y0為極限20. 如果復(fù)數(shù)列zn合于lim n®¥ zn = z0 ¹ ¥，證明lim n®¥ (z1 + z2 + . + zn)/n = z0當z0 ¹ ¥時，結(jié)論是否正確？【解】(1) "e > 0，$KÎN+，使得"n > K，有| zn - z0 | < e /2記M = | z1 - z0 | + . + | zK - z0 |，則當n > K時，有| (z1 + z2 + . + zn)/n - z0 | = | (z1 -

9、z0) + (z2 - z0) + . + (zn - z0) |/n £ ( | z1 - z0 | + | z2 - z0 | + . + | zn - z0 |)/n = ( | z1 - z0 | + . + | zK - z0 |)/n + ( | zK +1 - z0 | + . + | zn - z0 |)/n £ M/n + (n - K)/n · (e /2) £ M/n + e /2因lim n®¥ (M/n) = 0，故$LÎN+，使得"n > L，有M/n < e /2令N =

10、maxK, L，則當n > K時，有| (z1 + z2 + . + zn)/n - z0 | £ M/n + e /2 < e /2 + e /2 = e所以，lim n®¥ (z1 + z2 + . + zn)/n = z0(2) 當z0 ¹ ¥時，結(jié)論不成立這可由下面的反例看出例：zn = (-1)n · n，nÎN+顯然lim n®¥ zn = ¥但"kÎN+，有(z1 + z2 + . + z2k)/(2k) = 1/2，因此數(shù)列(z1 + z2 + .

11、 + zn)/n不趨向于¥這個結(jié)論的證明的方法與實數(shù)列的情況完全相同，甚至反例都是一樣的2如果，試證明（1）； （2）解 （1）（2）4設(shè)，試證。證 由于及 有 6. 設(shè)| z | = 1，試證：| (a z + b)/(b* z + a* ) | = 1(z*表示復(fù)數(shù)z的共軛)【解】此題應(yīng)該要求b* z + a* ¹ 0| a z + b | = | (a z + b)* | = | a* z* + b* | = | a* z* + b* | · | z | = | (a* z* + b*) · z | = | a* z* · z + b*

12、· z | = | a* | z |2 + b* · z | = | b* z + a* |故| (a z + b)/(b* z + a* ) | = 18. 試證：以z1, z2, z3為頂點的三角形和以w1, w2, w3為頂點的三角形同向相似的充要條件為= 0【解】兩個三角形同向相似是指其中一個三角形經(jīng)過(一系列的)旋轉(zhuǎn)、平移、位似這三種初等幾何變換后可以變成另一個三角形(注意沒有反射變換)例如我們將采用下述的觀點來證明：以z1, z2, z3為頂點的三角形和以w1, w2, w3為頂點的三角形同向相似的充要條件是：將它們的一對對應(yīng)頂點都平移到原點后，它們只相差一個位

13、似旋轉(zhuǎn)記f1(z) = z - z1 (將z1變到0的平移)；f3(z) = z - w1 (將0變到w1的平移)；那么，三角形z1z2z3與三角形w1w2w3同向相似Û存在某個繞原點的旋轉(zhuǎn)位似變換f2(z) = z0 z，使得f2 ( f1(zk) = f3(wk)，(k = 2, 3)，其中z0ÎC0Û存在z0ÎC0，使得z0(zk - z1) = wk - w1，(k = 2, 3)Û(w2 - w1)/(z2 - z1) = (w3 - w1)/(z3 - z1)Û= 0Û= 0Û= 0證完9. 試證：四個

14、相異點z1, z2, z3, z4共圓周或共直線的充要條件是(z1 z4)/(z1 z2) : (z3 z4)/(z3 z2)為實數(shù)【解】在平面幾何中，共線的四個點A, B, C, D的交比定義為(A, B; C, D) = (AC/CB) : (AD/DB)這是射影幾何中的重要的不變量類似地，在復(fù)平面上，(不一定共線的)四個點z1, z2, z3, z4的交比定義為z1z2, z3z4 = (z1 z3)/(z2 z3) : (z1 z4)/(z2 z4)本題的結(jié)論是說：復(fù)平面上四個點共圓或共線的充要條件是其交比為實數(shù)(Þ) 分兩種情況討論(1) 若(z1 z4)/(z1 z2)為

15、實數(shù)，則(z3 z4)/(z3 z2)也是實數(shù)設(shè)(z1 z4)/(z1 z2) = t，tÎR則z4 = (1 t)z1 + t z2，故z4在z1, z2所確定的直線上，即z1, z2, z4共線因此，同理，z1, z2, z3也共線所以，z1, z2, z3, z4是共線的(2) 若(z1 z4)/(z1 z2)為虛數(shù)，則(z3 z4)/(z3 z2)也是虛數(shù)故Arg (z1 z4)/(z1 z2) ¹ kp，Arg (z3 z4)/(z3 z2) ¹ kp而Arg (z1 z4)/(z1 z2) Arg (z3 z4)/(z3 z2)= Arg (z1 z4

16、)/(z1 z2) : (z3 z4)/(z3 z2) = kp注意到Arg (z z4)/(z z2) = Arg (z4 z)/(z2 z)是z2 z到z4 z的正向夾角，若Arg (z1 z4)/(z1 z2) = Arg (z3 z4)/(z3 z2)，則z1, z3在z2, z4所確定的直線的同側(cè)，且它們對z2, z4所張的角的大小相同，故z1, z2, z3, z4是共圓的若Arg (z1 z4)/(z1 z2) = Arg (z3 z4)/(z3 z2) + p，則z1, z3在z2, z4所確定的直線的異側(cè)，且它們對z2, z4所張的角的大小互補，故z1, z2, z3, z4

17、也是共圓的(Ü) 也分兩種情況討論(1) 若z1, z2, z3, z4是共線的，則存在s, tÎR0, 1，使得z4 = (1 s)z3 + s z2，z4 = (1 t)z1 + t z2，那么，z3 z4 = s (z3 z2)，即(z3 z4)/(z3 z2) = s；而z1 z4 = t (z1 z2)，即(z1 z4)/(z1 z2) = t，所以，(z1 z4)/(z1 z2) : (z3 z4)/(z3 z2) = t/sÎR(2) 若z1, z2, z3, z4是共圓的，若z1, z3在z2, z4所確定的直線的同側(cè)，那么，Arg (z4 z1)

18、/(z2 z1) = Arg (z4 z3)/(z2 z3)因此(z4 z1)/(z2 z1) : (z4 z3)/(z2 z3)是實數(shù)也就是說(z1 z4)/(z1 z2) : (z3 z4)/(z3 z2)是實數(shù)若z1, z3在z2, z4所確定的直線的異側(cè)，則Arg (z4 z1)/(z2 z1) + Arg (z2 z3)/(z4 z3) = (2k + 1)p，故Arg (z1 z4)/(z1 z2) : (z3 z4)/(z3 z2)= Arg (z1 z4)/(z1 z2) Arg (z3 z4)/(z3 z2)= Arg (z1 z4)/(z1 z2) + Arg (z3 z2

19、)/(z3 z4)= Arg (z4 z1)/(z2 z1) + Arg (z2 z3)/(z4 z3) = (2k + 1)p，所以，(z1 z4)/(z1 z2) : (z3 z4)/(z3 z2)仍為實數(shù)證完這個題目寫的很長，歡迎同學(xué)們給出更簡單的解法11. 試證：方程| z - z1 |/| z - z2 | = k ( 0 < k ¹ 1，z1 ¹ z2 )表示z平面的一個圓周，其圓心為z0，半徑為r，且z0 = (z1 - k2 z2)/(1 - k2)，r = k | z1 - z2|/| 1 - k2 |【解】到兩定點距離成定比的點的軌跡是圓或直線當比

20、值不等于1時，軌跡是一個圓，這個圓就是平面幾何中著名的Apollonius圓設(shè)0 < k ¹ 1，z1 ¹ z2，z0 = (z1 - k2 z2)/(1 - k2)，r = k | z1 - z2|/| 1 - k2 |"zÎC，| z - z0 | = r Û | z - (z1 - k2 z2)/(1 - k2) | = k | z1 - z2|/| 1 - k2 |Û | z(1 - k2) - (z1 - k2 z2) | = k | z1 - z2 | Û | (z - z1) - k2 (z - z2)|

21、 = k | z1 - z2|Û | (z - z1)/k - k (z - z2) | = | z1 - z2|Û | (z - z1)/k - k (z - z2) | = | (z - z1) - (z - z2) |Û | (z - z1)/k - k (z - z2) |2 = | (z - z1) - (z - z2) |2Û | z - z1 |2/k2 + k2 | z - z2 |2 = | z - z1 |2 + | z - z2 |2Û (1/k2 - 1)| z - z1 |2 = (1 - k2 ) | z - z2

22、|2Û | z - z1 |2/k2 = | z - z2 |2Û | z - z1 |/| z - z2 | = k證完直接地雙向驗證，可能需要下面的結(jié)論，其幾何意義非常明顯的命題：若復(fù)數(shù)z, w ¹ 0，則| | z | · w /| w | - | w | · z /| z | | = | w - z |證明：我們用z*表示復(fù)數(shù)z的共軛| | z | · w /| w | - | w | · z /| z | |2 = | | z | · w /| w | |2 + | | w | · z /| z

23、 | |2 - 2Re( | z | · w /| w |) · (| w | · z /| z |)* = | z |2 + | w |2 - 2Re( w · z* ) = | w - z |2或更直接地，| | z | · w /| w | - | w | · z /| z | | = | | z | · w /| w | - | w | · z /| z | | · | z* /| z | | · | w* /| w | | = | (| z | · w /| w | - |

24、w | · z /| z |) · (z*/| z |) · (w*/| w |) | = | (| z | · (z*/| z |) - | w | · (w*/| w |) | = | w - z |12. 試證：Re(z) > 0 Û | (1 - z)/(1 + z) | < 1，并能從幾何意義上來讀本題【解】Re(z) > 0 Û 點z在y軸右側(cè) Û 點z在點-1和點1為端點的線段的垂直平分線的右側(cè)Û 點z在點-1和點1為端點的線段的垂直平分線的與1同側(cè)的那一側(cè)Û 點z到點-1的距離大于點z到點1的距離Û |1 + z | > | 1 - z | Û | (1 - z)/(1 + z) | < 1不用幾何意義可以用下面的方法證明：設(shè)z = x + i y，x, yÎR| (1 - z)/(1 + z) | < 1 Û |1 + z | > | 1 - z | Û |1 + z |2 > |