概率統(tǒng)計簡明教程課后習題答案(工程代數(shù)_同濟大學版)

1、 1 2 æ2 ö 2 ) = Dç X 1 + X 2 + X 3 ÷ D(m 5 5 è5 ø 4 1 4 = D( X 1 ) + D( X 2 ) + D( X 3 ) 25 25 25 9 9 = D( X ) = s 2 25 25 2 ) < D(m 2 更有效。 1 ) ，所以二個估計量中 m 可見 D(m 2 = å X i2 ，試證 12. 設(shè) X 1 , X 2 , L , X n 是取自總體 X N (0, s 2 )的一個樣本，其中 s 2 > 0 未知，令 s 1 n n i =1 2

2、 是 s 2 的相合估計。 s 2 ) = E ç å X i2 ÷ = å E (X i2 ) = s 2 易見 E (s æ1 n è n i =1 ö ø 1 n n i =1 n 證明 又 1 s 2 å X i2 c 2 (n ) ， i =1 æ 1 n 2ö X i ÷ = 2n ， 2 å è s i =1 ø 4 2s 4 æ 1 n ö s 2 = Dç 2 å X i2 ÷

3、× 2 = Ds 故 。 n è s i =1 ø n 由切比雪夫不等式，當 n ® ¥ ，對任給 e > 0 ， 2 Ds 2s 4 2 是 s 2 的相合估計。 2 -s 2 >e £ Ps = ® 0 ，即 s 2 2 e ne 1. 某車間生產(chǎn)滾珠，從長期實踐中知道，滾珠直徑 X 服從正態(tài)分布 N m ,0.2 2 ，從某天生產(chǎn)的產(chǎn) 由第九章公式（9） ， Dç ( ) ( ) ( ) ( ) 品中隨機抽取 6 個，量得直徑如下（單位：mm） ：14.7,15.0,14.9,14.8,15.2,

4、15.1，求 m 的 0.9 雙側(cè)置信 區(qū)間和 0.99 雙側(cè)置信區(qū)間。 é s s ù , X + u1- a 解 由于 s 2 = 0.2 2 已知，所以選用 m 的 1 - a 置信區(qū)間 ê X - u1- a ú。 ë 2 n 2 nû 當 1 - a = 0.9 ，查表得 u1- a = u 0.95 = 1.64 ，當 1 - a = 0.99 ，查表得 u1- a = u 0.995 = 2.576 。 x = 14.95, n = 6, 2 2 2. 假定某商店中一種商品的月銷售量服從正態(tài)分布 N (m , s 2 )

5、 ， s 未知。為了合理的確定對該商 品的進貨量，需對 m 和 s 作估計，為此隨機抽取七個月，其銷售量分別為：64，57，49，81，76， 70，59，試求 m 的雙側(cè) 0.95 置信區(qū)間和方差 s 2 的雙側(cè) 0.9 置信區(qū)間。 解 由于 m 和 s 都未知，故 m 的 1 - a 雙側(cè)置信區(qū)間為 * * é ù (n - 1) S , X + t1- a (n - 1) S ú ， ê X - t1- a 2 2 n nû ë é 0.2 0. 2 ù ,14.95 + 1.64 × 代入數(shù)據(jù)得

6、m 的雙側(cè) 0.9 置信區(qū)間觀測值為 ê14.95 - 1.64 × ú ，即為 14.82,15.08 。 6 6û ë é 0. 2 0 .2 ù ,14.95 + 2.576 × m 的雙側(cè) 0.99 置信區(qū)間觀測值為 ê14.95 - 2.576 × ú ，即為 14.74,15.16 。 6 6û ë s 2 的 1 - a 雙側(cè)置信區(qū)間為 é ù 2 nS 2 ú ê nS ， , 2 ê c 2 a (

7、n - 1) c a (n - 1)ú 1 - 2 2 ë û 代入數(shù)據(jù)得 2 2 x = 65.14, s 2 = 108.41, s * = 11.25, t 0.975 (6) = 2.45, n = 7, c 0 .95 (6)c 0.05 (6) = 1.635 ， m 的 0.95 雙側(cè)置信區(qū)間觀測值為 ê65.14 - 2.45 ´ ë é 11.25 7 ,65.14 + 2.45 ´ 11.25 ù ú ，即為 54.74,75.54 。 7 û é 7 &

8、#180; 108.41 7 ´ 108.41ù ，即為 60.3,464.14 。 , 1.635 ú ë 12.592 û 3. 隨機地取某種子彈 9 發(fā)作試驗，測得子彈速度的 s * = 11 ，設(shè)子彈速度服從正態(tài)分布 N m , s 2 ， s 2 的 0.9 雙側(cè)置信區(qū)間觀測值為 ê 2 ( ) 求這種子彈速度的標準差 s 和方差 s 的雙側(cè) 0.95 置信區(qū)間。 é ù ( n - 1)S *2 (n - 1)S *2 ú ê 解 由于 m 未知，故 s 的雙側(cè)置信區(qū)間為 ，代入數(shù)據(jù)

9、得 , 2 ê c 2 a (n - 1) c a (n - 1) ú 1 - 2 2 ë û *2 2 2 n = 9, S = 121, c 0.975 (8) = 17.535, c 0.025 (8) = 2.18 ， 2 s 2 的 0.95 雙側(cè)置信區(qū)間觀測值為 ê 區(qū)間觀測值為 4. 已知某煉鐵廠的鐵水含碳量（1%）正常情況下服從正態(tài)分布 N (m , s 2 ) ，且標準差 s = 0.108 。 現(xiàn)測量五爐鐵水，其含碳量分別是：4.28,4.4,4.42,4.35,4.37（1%） ，試求未知參數(shù) m 的單側(cè)置信水平 為 0.

10、95 的置信下限和置信上限。 s 解 由于 s = 0.108 已知，故 m 的 1 - a 單側(cè)置信下限為 X - u1-a × ， m 的 1 - a 單側(cè)置信上限為 n X + u1-a × é 8 ´ 121 8 ´ 121ù , ú ，即為 55.204,444.037 。故 s 的 0.95 雙側(cè)置信 ë17.535 2.18 û 55.204, 444.037 ，即為 7.43,21.07。 s n ， 代 入 數(shù) 據(jù) 得 x = 4.3 6 4 ( % u , 0.95 = 1.6 4 5

11、 , n = 5 ， 故 m 的 0.95 單 側(cè) 置 信 下 限 觀 測 值 為 0.108 5 = 4.285 ， m 的 0.95 單側(cè)置信上限觀測值為 4.364 + 1.645 × 4.364 - 1.645 × 0.108 5 = 4.443 。 5. 某單位職工每天的醫(yī)療費服從正態(tài)分布 N (m , s 2 ) ，現(xiàn)抽查了 25 天，得 x = 170 元， s * = 30 元， 求職工每天醫(yī)療費均值 m 的雙側(cè) 0.95 置信區(qū)間。 解 由 于 s 2 未 知 ， 故 m 的 1 - a 雙 側(cè) 置 信 區(qū) 間 為 ê X - t1- a 

12、35; é S* n 2 , X + t1- a 2 x = 170, s * = 30, n = 25, t 0.975 (24) = 2.0639 ， 故 m S* ù ú ，代入數(shù)據(jù)得 nû 的 0.95 雙 側(cè) 置 信 區(qū) 間 觀 測 值 為 é 30 30 ù ,170 + 2.0639 ê170 - 2.0639 ú ，即為 157.4,182.6 。 24 24 û ë 6. 某食品加工廠有甲乙兩條加工豬肉罐頭的生產(chǎn)線。 設(shè)罐頭質(zhì)量服從正態(tài)分布并假設(shè)甲生產(chǎn)線 與乙生產(chǎn)線互不影響。從

13、甲生產(chǎn)線并假設(shè)抽取 10 只管頭測得其平均質(zhì)量 x = 501g ，已知其總體標準 差 s 1 = 5g ；從乙生產(chǎn)線抽取 20 只罐頭測得其平均質(zhì)量 y = 498g ，已知其總體標準差 s 2 = 4 g ，求甲 乙兩條豬肉罐頭生產(chǎn)線生產(chǎn)罐頭質(zhì)量的均值差 m1 - m 2 的雙側(cè) 0.99 置信區(qū)間。 解 由于 s 1 = 5g , s 2 = 4 g 已知，故 m1 - m 2 的 1 - a 的雙側(cè)置信區(qū)間為 2 2 ù é s 12 s 2 s 12 s 2 ê X - Y - u1- a ú + , X - Y + u1- a + 2 2 m

14、 n m n ú ê ë û 2 代入數(shù)據(jù)得 x = 501, y = 498, m = 10, n = 20, s 12 = 25, s 2 = 16, u 0.995 = 2.576 ，故 m1 - m 2 的 0.99 雙側(cè)置信 區(qū)間觀測值為 ê501 - 498 - 2.576 ê ë é 25 16 25 16 ù + ,501 - 498 + 2.576 + ú ，即為 - 1.68,7.68 。 10 20 10 20 ú û 7. 為了比較甲、乙兩種顯像管的使

15、用壽命 X 和 Y，隨機的抽取甲、乙兩種顯像管各 10 只，得 數(shù) 據(jù) x1 , L , x10 和 y1 , L , y10 （ 單 位 ： 10 4 h ） ， 且 由 此 算 得 x = 2.33, y = 0.75 ， 2 2 å (xi - x ) = 27.5, å ( yi - y ) = 19.2 ，假定兩種顯像管的使用壽命均服從正態(tài)分布，且由生產(chǎn)過程知道 i =1 i =1 10 10 它們的方差相等。試求兩個總體均值之差 m1 - m 2 的雙側(cè) 0.95 置信區(qū)間。 2 解 由于 s 12 = s 2 = s 2 未知，故 m1 - m 2 的 1 -

16、 a 雙側(cè)置信區(qū)間為 é 1 1 1 1ù + , X - Y + t1- a (m + n - 2)S w + ú ê X - Y - t1- a (m + n - 2)S w 2 2 m n m nú ê ë û n 1 2 2ù ém 2 其中 S w = å (X i - X ) - å (Yi - Y ) ú ， ê m + n - 2 ëi =1 i =1 û 代入數(shù)據(jù)得 x = 2.33, y = 0.75, m = 10

17、 = n, s w = 1.611, t 0.975 (18) = 2.1009 ，故 m1 - m 2 的 0.95 雙側(cè)置信區(qū)間 觀測值為 é 1 1 1 1ù + ,2.33 - 0.75 + 2.1009 ´ 1.611 + ú, ê2.33 - 0.75 - 2.1009 ´ 1.611 10 10 10 10 ú ê ë û 即為 0.066,3.094 。 8. 在 3091 個男生，3581 個女生組成的總體中，隨機不放回地抽取 100 人，觀察其中男生的成 數(shù)，要求計算樣本中男生成數(shù)的 SE。 解 由于樣本大小 n = 100 相對于總體容量 N = 6672 來說很小，因此可使用有放回抽樣的公式。 樣本成數(shù) x = 100 ´ 3091 = 50 = 5 。 = 46 ´ 54 » 50 ，標準差 SE 的估計為 SE » 46 ，估計 s 6672 100 9. 抽取 1000 人的隨機樣本估計一個大的人口總體中擁有私人汽車的人