概論七章習(xí)題及答案

1、第一章 隨機(jī)事件及其概率（參考時(shí)間：90分鐘）一、選擇題1設(shè)A,B為兩個(gè)任意事件，則下列結(jié)論一定正確的是（ ）.A.(AB)-B=A; B.(A-B)B=A;C.(A-B)B=AB ； D. AAB=AB2. 設(shè)A,B是兩個(gè)事件,已知P(A)=1/4,P(B)=1/2,P(AB)=1/8,則P(AB)(AB)=（ ）.A. 0 B.1/2 C.5/8 D. 13. 擲兩顆骰子，出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)和為7的概率為（ ）。 A. 1 B. 1 C. 1 D. 13612264. 設(shè)A,B為兩個(gè)互不相容事件，且已知P(B)>0，則下列等式中（ ）恒成立. A. P(AB)=0; B. P(AB)=1; C

2、.P(AB)=0 ； D. P(BA)=1.5. 設(shè)A,B為相互獨(dú)立的事件，P(A B)=0.6，P(A)=0.5,則P(B)=( ).A. 0.1 B. 0.2 C. 0.3 D. 0.4二、填空題1. 設(shè)A,B為兩個(gè)事件,若概率P(A)=0.7,P(A-B)=0.3,則概率P(AB)= .2. 袋中1只白球,2只紅球,甲乙丙三人依次有放回抽取一球,丙取到白球的概率為 .3. 袋中8只白球,2只紅球,甲乙兩人依次不放回抽取一球, 甲、乙各取到紅、白球的概率為 .4設(shè)三次獨(dú)立試驗(yàn)中,事件A出現(xiàn)的概率相等,若已知A至少出現(xiàn)一次的概率等于19/27,則事件A在一次試驗(yàn)中出現(xiàn)的概率為 .三、解答題1

3、.三個(gè)工人各裝配一臺(tái)儀器,它們或是正品,或是次品,令A(yù)i代表“第i個(gè)工人裝配的儀器是正品”i=1,2,3,試用A1,A2,A3表示下列事件:(1)沒有一臺(tái)儀器是次品;(2)至少有一臺(tái)儀器是次品;(3)只有一臺(tái)儀器是次品;(4)至少有兩臺(tái)儀器不是次品.2.袋中有5個(gè)白球和3個(gè)黑球,從中任取2個(gè)球,求 (1)取得的兩球同色的概率;(2) 取得的兩球至少有一個(gè)白球的概率.3.三個(gè)人獨(dú)立破譯一密碼，他們能獨(dú)立譯出的概率分別是0.2, 0.5, 0.4，求此密碼被譯出的概率.5. 在一道通訊渠道中，發(fā)送端發(fā)送字母A, B, C的頻繁程度為3:2:1，由于通訊噪聲干擾，接收端正確接收到被傳送字母的概率為0

4、.6，而錯(cuò)誤接收到其它兩個(gè)字母的概率均為0.2，求接收端接收到字母B的概率.參考答案一 1.C; 2.B; 3.D; 4.A; 5.B三 1. (1)A1A2A3; (2)123; (3) 1A2A3A12A3A1A23; (4)A1A2A1A3A2A3; 2. (1)13/28; (2)25/28; 3. 0.76;4. 0.0405, 80/81; 5. 1/3第二章 隨機(jī)變量及其分布 （參考時(shí)間：100分鐘）一、填空題1、一射手對(duì)同一目標(biāo)獨(dú)立地進(jìn)行四次射擊，該射手的命中率為2/3，以X記命中次數(shù)，則PX1= _2、設(shè)離散型隨機(jī)變量X分布律為PX=k=5A(1/2)3、已知連續(xù)型變量Y的密

5、度為f(x)=k(k=1,2,)則A=_ax,0<x<1，則a=_，PY0.5=_0,其它4、若PY0.5=1/2，PX=1=1/3，且X與Y獨(dú)立，則PY0.5,X=1= 二、選擇題1、設(shè)X的密度函數(shù)為連續(xù)函數(shù)，分布函數(shù)為F(x)=(t)dt，則密度f(x)=（ ） （A）(x) （B）1(x) （C）1(1x) （D）F(x)21x2-222、設(shè)X1,X2, ,Xn相互獨(dú)立，且密度函數(shù)都為1e-(x-)22(為參數(shù))，則(X1,X2, ,Xn)的密度函數(shù)f(x1, ,xn)=（ ） （A）(2)e（C）1e-n-2-1n(xi-)22i=1(為參數(shù)) （B）(2)en-2-12(

6、xi-)2i=1n(為參數(shù))(x-)22(為參數(shù)) （D）i=1n12e-(x-)22(為參數(shù))3,0<x<1,0<y<x2，則PX<0.5=（ ） 3、設(shè)(X,Y)的概率密度為f(x,y)=0,其它（A）1/8 （B）1 （C）3 （D）1/2 4、X1,X2獨(dú)立,且分布律為 Xi0P11/21/2(i=1,2)，那么下列結(jié)論正確的是（ ）（A）X1=X2 （）PX1=X2=1 （C）PX1=X2=1（）PX=X=11224三、解答題1、從有3個(gè)合格品與2個(gè)次品的產(chǎn)品中一件一件地抽取產(chǎn)品，各產(chǎn)品等可能被抽到，求在二種情況下，直到取出合格品為止，所抽取次數(shù)的分布律

7、。(1)放回；(2)不放回。 設(shè)(X,Y)的聯(lián)合分布律為求 (1) 關(guān)于及的邊緣分布；(2) X與Y是否獨(dú)立，為什么？（3）PX+Y=1，PX3/2。12e-(3x+4y)3、設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量（X，Y）的密度函數(shù)為f(x,y)=0,求 （1）（X，Y）落在區(qū)域D：0<x1,0<y2的概率；（2）關(guān)于X及Y的邊緣密度；（3）X與Y是否獨(dú)立，為什么？（4）PX<1+PY2。x>0,y>0其它,0,x04、設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)F(x)=, 求PX1，PX>2，PX=-1。 -x1-(1+x)e,x>00,x<-15、設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)F(x)=1

8、/6,-1x<2, 求P1<X2，PX>2，PX=-1。 2/3,2x<31,3x6、設(shè)X求下列隨機(jī)變量的分布律（1）X-1，（2）-2X，（3）X2。2e-2x,x>0，求Y=1-e-2X的概率密度。 7、設(shè)X為參數(shù)1/2的指數(shù)分布，即密度為f(x)=0,其它參考答案一 1.PX1=1-PX=0=1-(4=80/81；132. 因?yàn)镻X=k=5A(1/2)k=5Ak=1k=11/2=5A1-1/2所以A=1/5 ；3.因?yàn)?-f(x)dx=axdx=11a=1,所以a=2，PY0.5=2xdx=x20.5210.5=3/4；4. 因?yàn)閄與Y獨(dú)立,所以PY0.5,

9、X=1=PY0.5PX=1=1/6 '1x二 1. 因?yàn)閒(x)=F'(x)= 2(t)dt=(1x)1 ,所以選C； -222. 因?yàn)閄1,X2, ,Xn相互獨(dú)立,f(x1,xn)= i=13. PX<0.5=n(x-)2-i2=(2)e-n2-1(xi-)22i=1n,所以選A；0.5dx3dy=3x2dx=x3x20.50.50=1/8 ,選A；3.因?yàn)閄1,X2獨(dú)立,所以PX1=X2=PX1=0,X2=0+PX1=1,X2=1= =PX1=0PX2=0+PX1=1PX2=1=1/2,選C 三1、 （1）PX=K=(2/5)（2） 2、（1）k-1(3/5),k=1

10、,2,（2）不獨(dú)立； （3）0，3/4 3、這是用密度函數(shù)求概率的題 （1）P(X,Y)D=f(x,y)dxdy=dx12eD12-(3x+4y)00dy=3edx4e-4ydy=(1-e-3)(1-e-8) ，1-3x23e-3x（2）fX(x)=0,x>0-34e-4y，fY(y)=其它0,-8y>0其它（3）獨(dú)立， （4）2-e-e4、這是用分布函數(shù)求概率的題PX1=F(1)=1-2 e-1 ，PX>2=1-PX2=1-F(2)=3 e-2，因?yàn)閄是連續(xù)型隨機(jī)變量所以PX=-1=05、1/2，1/3，1/67、這是求一維隨機(jī)變量函數(shù)的分布的題2e-2x,x>0,Y

11、=1-e-2X,則當(dāng)x>0時(shí),0<Y<1, 已知X密度為f(x)=0,其它且當(dāng)0<y<1時(shí),11FY(y)=PYy=P1-e-2Xy=PX-ln(1-y)=FX(-ln(1-y),于是 221111fX(x)=FX(-ln(1-y)'y=fX(-ln(1-y)(-ln(1-y)'=2eln(1-y)=1. 2(1-y)222當(dāng)y0時(shí), FY(y)=0,fX(x)=0; 當(dāng)y1時(shí), FY(y)=1,fX(x)=0. 所以Y=1-e-2X在區(qū)間（0，1）上服從均勻分布.第三、四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征及正態(tài)分布一填空題1.隨機(jī)變量X的分布律為 X 0 1

12、 2 3 4P 0.2 0.1 0.4 0.2 0.1則E(X)= ,D(X)= .2.隨機(jī)變量XB(n,p),且E(X)=6,D(X)=3.6,則n= .3.已知XN(-2,0.4),則2X+3E(X)=4.設(shè)XN(10,0.6),YN(1,2),且X與Y相互獨(dú)立,則E(XY)= ,D(3X-Y)= ,X+Y5.設(shè)D(X)=25,D(Y)=36,XY=0.4,則Cov(X,Y)二選擇題1.隨機(jī)變量XN(2,9),則22X-2( ). 3(A)N(2,9) (B)N(0,9) (C)N(0,1) (D)N(2,3)22.隨機(jī)變量XN(,),則PX-<2=( )(A)2(1)-1 (B)

13、2(2)-1 (C) 2(3)-1 (D) (2)3.設(shè)隨機(jī)變量X的E(X)=,D(X)=,則( ). 233 (B) PX-<2 4431(C) PX-<2= (D) PX-<2 44(A) PX-<2三解答題2.設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為f(x)=1-xe,求期望和方差. 24.射隨機(jī)變量(X,Y)具有聯(lián)合概率 12222,x+yR f(x,y)=R0,其他試證X與Y不相關(guān),但不獨(dú)立.5.設(shè)XN(3,4),YN(1,1),且X與Y獨(dú)立(1)查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表求P(2<X5),P(X>2Y+1)(2)確定常數(shù)C,使P(XC)=P(X>C).(3) 查標(biāo)準(zhǔn)

14、正態(tài)分布表確定常數(shù)a,使PX-3>2a=0.05.6.某產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)XN(160,),若要求P(120<X<200)0.8,試問容許最多為多少?9 2Xi=150i,利參考答案2.由E(X)=6,D(X)=3.6得 np=6,np(1-p)=3.6,解出n=15 3.由96頁引理1(1)知2X+3N(-1,0.64) E(X)=D(X)+E(X)=0.564.X與Y相互獨(dú)立,則E(XY)=E(X)E(Y)=10, D(3X-Y)=9D(X)+D(Y)=7.4 由101頁定理2知X+YN(11,2.6)5. D(X)=25,D(Y)=36,XY=0.4,又XY=22Cov(X

15、,Y)=0.4,則Cov(X,Y)=123023二1.C 2.B 3.利用切比雪夫不等式, PX-<21-=,選A 2441,0<x<120三1. 候車時(shí)間的分布服從均勻分布,密度函數(shù)為f(x)=120.所以0, 其他1(1202)=1200 12+0+11x-x2.E(X)=xf(x)dx=xedx+xedx=0-202E(X)=60秒 D(X)=E(X)=2+-xf(x)dx=xedx=-xe2+2-x2-x+2+xedx=-2(xe-x-x+-e-xdx)=2+D(X)=E(X2)-E(X)2=2.3.E(X)=00.4+15C40.60.4+30C40.60.4+55

16、C40.60.4+1000.6=44.644.E(XY)=413222334+-dx+-xyf(x,y)dy=dx-RRR1dy=0R2E(X)=+-dy-xf(x,y)dx=dy-R1dx=0,E(Y)=0. 2R于是Cov(X,Y)=0,XY=0,X與Y不相關(guān).+當(dāng)-RxR時(shí),fX(x)=-f(x,y)dy=f(x,y)dx=當(dāng)-RyR時(shí),fY(y)=+-=f(x,y)fX(x)fY(y),所以XY不獨(dú)立.5.(1) P(2<X5)=F(5)-F(2)=(5-32-3)-()=0.5328, 222Y+1-XN(0,8),P(X>2Y+1)=P(2Y+1-X<0)=(0)

17、=0.5.(2)由P(XC)=P(X>C)有( (3) PX-3>2a=1-PC-3C-3C-3C-3)=1-(),()=0.5,=0,C=3 2222X-32a<=1-2(a)-1=0.05,(a)=0.975,a=1.96 226. P(120<X<200)=(40)-10.8,得(40)0.9,40=31.25 1.287. 因?yàn)閄i,i=1, ,50相互獨(dú)立,且它們都服從參數(shù)為=0.03的泊松分布, 則E(Xi)=D(Xi)=0.03,i=1, ,50.由中心極限定理PX>1.5=1-Pxi<1.51-=0.5i=150第五、六、七章 數(shù)理統(tǒng)計(jì)

18、一、填空題1.設(shè)總體X N(0,1),X1,X2, X10是來自X的樣本.則X1,X2, X10的聯(lián)合概率密度為_; 2.設(shè)總體X服從參數(shù)p的(0-1)分布,則樣本(X1,X2, Xn)的聯(lián)合分布律為P(X1=x1, ,Xn=xn)=3.設(shè)總體XN(0,1),X1,X2, Xn是來自X的樣本,則統(tǒng)計(jì)量Y=X1+X2+ +Xn服從_分布; 4.設(shè)來自總體X的樣本的觀察值為80, 79, 77, 76, 75, 73, 71, 89, 87, 85, 84, 83, 81,則總體X的期望的矩估計(jì)值為_;5.設(shè)零件的大小X N(,),未知,=100,現(xiàn)在取100只測試,則樣本均值X與的偏差小于1的概

19、率是_(1)=0.8413) 二 選擇題1.設(shè)總體X服從參數(shù)為=1/2的指數(shù)分布,X1,X2, X10是來自X的樣本,則概率22222PX1>1,X2>1, X!0>1=( )(A) e-20/; (B) e-10; (C) e-20; (D) e-52.設(shè)X N(0,1),Y (n),且X,Y相互獨(dú)立,則Z=2( ) (A) t(n); (B) t(n-1); (C) N(0,1); (D) 2(n)3. 已知X1,X2,X3,X4是來自均值為(未知)的正態(tài)總體的樣本,則的無偏估計(jì)量為( )(A) T1=X1-X2-X3+X4; (B) T2=X1/6+X2/3-X3/3+

20、X4/6; (C) T3=(X1+2X2+3X3+X4)/5; (D) T4=(X1+X2+X3+X4)/44.總體X N(,),已知,取樞軸量Z=22則的置信水平為1-的置信區(qū)間( )(A)(z,z) (B)(z/2,z/2)(C)(/2,+2/2) (D)(2,+2)2225.總體X N(,),均未知,對(duì)于假設(shè)檢驗(yàn)問題H0:=0,H1:0 ,取檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量=2(n-1)S202,則拒絕域(顯著性水平為)為( )2(n-1); (A) 212-(n-1); (B) 2(C)1-/2(n-1) /2(n-1). ; (D) 1-(n-1) (n-1).三 解答題 222222221=1.設(shè)(X1,X2,X3)來自總體X的一個(gè)樣本, E(X)=,D(X)=,且14151521(X1+X2+X3), 32=(X1+2X2+X3),3=(X1+3X2+X3),4=(2X1+2X2+X3)為的4個(gè)估計(jì),證明 1,2,3,4都是的無偏估計(jì); (1) 1最有效. (2)2.設(shè)總體X的概率密度為x-1,0x1 f(x;)= , 0,其它其中>0為未知參數(shù), X1,X2, Xn為來自總體X的一個(gè)樣本.(1)求的矩估計(jì)量和最大似然估計(jì)量;(2)設(shè)抽樣得樣本均值為x=0.75,求的矩估計(jì)值.3. 設(shè)總體X的分布密度為 x1-e,x>0,>0 為未知參數(shù), 樣本(X1,X2,