關(guān)于某“一線三垂直”模型及其在平面幾何中地應(yīng)用

1、實(shí)用文檔文案大全關(guān)于“一線三垂直”模型及其在平面幾何中的應(yīng)用線三垂直”模型是 線三等角”模型的特殊情況，（關(guān)于 線三等角”模型詳見 比例與相似高級(jí)教程（六）：相似三角形的 0線三等角”模型）,即三個(gè)等角角度為 90o,于是有三組邊相互垂直，所以稱為加線三垂直”模型。線三垂直”的性質(zhì)：1,模型中必定存在至少兩個(gè)三角形相似，三對(duì)等角，三對(duì)成比例的邊長(zhǎng)；2,當(dāng)模型中有一組對(duì)應(yīng)邊長(zhǎng)相等時(shí)，則模型中必定存在全等三角形。線三垂直”模型在平面幾何中有著及其重要的地位，常出現(xiàn)的圖例有以下幾種：其中，在 變形2”模型下，根據(jù)相似原理，推理出了著名的射影定理”這里主要討論有一對(duì)對(duì)應(yīng)邊相等的情況?！纠?】如圖，在等

2、腰直角三角形 ABC中，/ ACB=Rt Z, AC=BC , AE，CE于點(diǎn)E, BDCE于點(diǎn) D, AE=5cm , BD=2cm ,則 DE的長(zhǎng)為多少？【提示】根據(jù) J線三垂直”模型的性質(zhì)，ACECBD,于CE=BD=2cm , DE=5-2=3 (cm)CD=AE=5cm例2如圖，在 ABC 中，CA=CB，點(diǎn)D 為BC中點(diǎn)，CE AD于點(diǎn)E,交AB于點(diǎn)F,連接 DF。求證： AD=CF+DF.1】相同，卻不能照搬照抄。如圖，過點(diǎn) B作AD這條線段 轉(zhuǎn)化”到直線 CF上。Go【解析】此題乍一看起來和【例 從要證明的結(jié)論來看，需要把 BG CB ,交CF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)則易證 ACD 叁 C

3、BG ,于是 AD=CG=CF+FG ;BG=CD=BD , BF=BF , / DBF= / GBF=45o , 故4 BDF BGF ,于是 FD=FG ,所以 AD=CF+DF 。關(guān)于“一線三垂直”模型及其在平面幾何中的應(yīng)用(二)線三垂直”的性質(zhì)：1,模型中必定存在至少兩個(gè)三角形相似，三對(duì)等角，三對(duì)成比例的邊長(zhǎng)；2,當(dāng)模型中有一組對(duì)應(yīng)邊長(zhǎng)相等時(shí)，則模型中必定存在全等三角形?！纠?】如圖，在 ABC 中，AB=AC , / BAC=90o ,分別過 B, C向過 A點(diǎn)的直線作 垂線，垂足分別為E, F。(1)如圖1,過點(diǎn) A的直線與斜邊 BC不相交時(shí)，求證： EF=EB+CF ;(2)如圖

4、2,過點(diǎn)A的直線與斜邊 BC相交時(shí)，其他條件不變，若BE=10 , CF=3.求EF的長(zhǎng)?！咎崾尽?1)圖1是線三垂直”的基礎(chǔ)模型， ABECAF;(2)圖2是 線三垂直”的變形4,和【例1】相同?！纠?】如圖，已知 AEB中，/ AEB=90o ,以AB為邊向外作正方形ABCD ,連接AC、BD ,交于點(diǎn) O,連接 EO。若BE=2 , EO=3/2 ,求五邊形 AEBCD 的面積?！窘馕觥恳?yàn)? ABC= Z AEB=90o ,故構(gòu)造 線三垂直”模型，如圖。 D過點(diǎn)C作CPXEB,交EB延長(zhǎng)線于點(diǎn) P,連接 OP。則根據(jù) 線三垂直”模型的性質(zhì)， AEB BPC ,BP=AE ; / AOB

5、= / AEB=90o ,A、E、B、O四點(diǎn)共圓（詳見 四點(diǎn)共圓”在解題中的妙用（一），/ BEO= / BAO=45o ;同理/ BPO= / BCO=45o ,故4 EOP為等腰直角三角形； EO=3/2 , EP=6 , BP=4 ,根據(jù)勾股定理，AB2=16+4=20 ,即S正方形 ABCD=20 ,SA AEB=4X 2 笠=4, . S 五邊形 AEBCD=20+4=24.關(guān)于“一線三垂直”模型及其在平面幾何中的應(yīng)用（三）【例5】已知 ABC 中，/ ACB=90o , AC=BC , CD為AB邊上的中線，點(diǎn)E為BC邊上任意一點(diǎn)（不與A、D、B重合），BF XCE于點(diǎn)F,交 CD

6、于點(diǎn) G, AH XCE,交CE延長(zhǎng)線于點(diǎn) H ,交CD延長(zhǎng)線于點(diǎn) M。求證：（1） CG=AE ; （ 2） DE=DM 。構(gòu)造 線三垂直”模型，是作輔助線常用的一種手段。11【例6】如圖，直線 11 II 12 / 13,且11到A、和13于點(diǎn)D、E,構(gòu)造0線三垂直”模型,【提示】(1)根據(jù)線三垂直”模型， ACH叁 CBF ,ACE= / CBG ,又/ CAE= / BCG=45o , AC=BC , . ACE BCG ;(2)由 線三垂直 ”模型可知，/ ACE= / CBG, BF=CH , ./ HCM= / FBE ,又/ BFE= / CHM=90o , . CHM BFE

7、 , BE=CM ,從而 DE=DM 。同時(shí)我們也應(yīng)該注意到：ACM CBE ; ADM CDEA BDG ; AHE CFG ;DM=DG=DE ; AGEM為等腰直角三角形等。12的距離為 3, 12到13的距離為 4,等腰直B分別在11、13上。求 ABC的面積。關(guān)于“一線三垂直”模型及其在平面幾何中的應(yīng)用(四)【例71 (2018初二希望杯練習(xí)題)如圖，四邊形 ABCD為直角梯形， AD/BC, / BCD=90o , AB=BC+AD , / DAC=45 o , E 為 CD 上一點(diǎn)，且/ BAE=45 o ,若 CD=4 , 求 ABE的面積?！窘馕觥咳鐖D，過點(diǎn) E作EG AE

8、,交AB延長(zhǎng)線于點(diǎn) G,過點(diǎn) G作GH，DC ,交 DC延長(zhǎng)線于點(diǎn) H,構(gòu)造-線三垂直”模型；過點(diǎn) G作GK XBC于點(diǎn)K,過點(diǎn)B作 BF AD 于點(diǎn) F。CED :昨亙ADE EHG , DE=GH ; AD=EH=CD , DE=CH ,故四邊形 CKGH為正方形。AF=4-BC , AB=4+BC , BF=4 ,( 4+BC ) 2= (4-BC ) 2+42, 解得：BC=1 ,所以AB=5 ; 設(shè) DE=x ,貝U BK=1-x , GK=x , AE2=x2+42T尸j二 期踹碘二圻工作復(fù) AEG 為等腰直角三角形，. AG2 =2AE2 , (5+BG ) 2=2 (x2+42

9、),將 BG 代入，化簡(jiǎn)得： (7x-4 ) 2=0 , x=4/7 ,. ABE 面積二梯形 ABCD 面積-4ADE 面積-4BCE面積 =(1+4) X4 攵-4 4/7 -2-1 (4-4/7) 2=50/7 。在直角坐標(biāo)系中構(gòu)造0線三垂直”模型，是解決坐標(biāo)問題的一種有效手段?！纠?】如圖，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A (1, 2),點(diǎn)B (0, -1),已知 ABC為等腰直角三角形，求點(diǎn) C的坐標(biāo)。A(L2)【解析】設(shè) C ( m, p)。(1)當(dāng)/ BAC為直角時(shí)：當(dāng)點(diǎn) C在AB右側(cè)時(shí)，如圖1。過點(diǎn)A作DE /x軸，交y軸于點(diǎn) D ,過點(diǎn)C作CE，DE 于點(diǎn)E。根據(jù) 線三垂直”模型， AB

10、D叁 ACE ,DB=AE , CE=DA ,即：m-1=3 , 2-p=1 ,解得：m=4 , p=1 , C (4, 1);當(dāng)點(diǎn) C在AB左側(cè)時(shí)，如圖2。過點(diǎn)A作DE /x軸，交y軸于點(diǎn) D ,過點(diǎn)C作CE，DE 于點(diǎn) E。根據(jù)線三垂直”模型，ABD ACE ,. DB=AE , CE=DA ,即：1-m=3 , p -2=1 ,解得： m=-2 , p=3 , C (-2, 3);(或者用下列方法：此時(shí)，點(diǎn)C和中的 C關(guān)于點(diǎn) A對(duì)稱，故 m=2X 1-4=-2 , p=2X21=3.)(2)當(dāng)/ ABC為直角時(shí)：當(dāng)點(diǎn) C在AB右側(cè)時(shí)，如圖3。過點(diǎn)A作AE / x軸，交y軸于點(diǎn) E,過點(diǎn)C

11、作CD，y 軸于點(diǎn) D。根據(jù)線三垂直”模型，4ABE叁 BCD ,. DB=AE , BE=CD ,即：-1-p=1 , m=3 ,解得： m=3 , p=-2 ,C (3, -2);當(dāng)點(diǎn)C在AB左側(cè)時(shí)，如圖 4。過點(diǎn)B作DE / x軸，過點(diǎn) C作CD，DE于點(diǎn)D ,過點(diǎn) A作AE DE于點(diǎn)E。根據(jù) 線三垂直 ”模型，ABE BCD ,BE=CD , BD=AE ,即：0-m=3 , p - (-1 ) =1 ,解得：m=-3 , p=0, C (-3, 0);(或者用下列方法：此時(shí)，點(diǎn)C和中的 C關(guān)于點(diǎn)B對(duì)稱，故 m=2 0-3=-3 , p=-1 X2(-2) =0.)(3)當(dāng)/ ACB為

12、直角時(shí)：當(dāng)點(diǎn) C在AB右側(cè)時(shí)，如圖 5。過點(diǎn) C作CD / x軸，過點(diǎn) A作AD CD于點(diǎn)D, CD交y軸于點(diǎn)E。根據(jù) 線三垂直 ”模型，ACD0CBE,BE=CD , CE=DA ,即：m=2-p , p- (-1 ) =m-1 ,解得：m=2 , p=0，即CD與x軸重合，點(diǎn) E與O重合，C (2, 0);。猛門甲初若就于工帝迢忙期中初壽為手工注當(dāng)點(diǎn) C在AB左側(cè)時(shí)，如圖 6。過點(diǎn) C作CD / x軸，過點(diǎn) A作AD CD于點(diǎn)D, CD交y軸于點(diǎn)E。根據(jù) 線三垂直 ”模型，ACD0CBE,BE=CD , CE=DA，即：1-m= p- (-1) , 2-p = 0-m ,解得：m=-1 ,

13、 p=1 , . C (-1 , 1)。(或者用下列方法：此時(shí)，點(diǎn)C和中的 C關(guān)于AB的中點(diǎn)對(duì)稱， AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(0.5, 0.5),故 m=2 0.5-2=-1 , p=0.5 X2 0=1.)綜上所述：符合條件的點(diǎn)C的坐標(biāo)有6個(gè)：(4, 1) ; (-2,3); ( 3, -2);(-3, 0) ; (2,0); (-1,1)。關(guān)于“一線三垂直”模型及其在平面幾何中的應(yīng)用(五)前面討論的是關(guān)于線三垂直模型”有兩條邊相等時(shí)的情況。如果不存在兩條邊相等，那么 線三垂直模型 ”的性質(zhì)是必然存在一對(duì)或幾對(duì)相似三角形，這個(gè)性質(zhì)在初中平面幾何中的應(yīng)用也是十分廣泛，尤其在直角坐標(biāo)系中的函數(shù)圖像與平面

14、幾何的綜合應(yīng)用題或壓軸題經(jīng)常得到應(yīng)用，也是作輔助線的思想方法。經(jīng)常出現(xiàn)的圖例跟前面介紹的一樣(關(guān)于線三垂直”模型及其在平面幾何中的應(yīng)用(一),只是直角的兩條邊不一定相等?！纠?】如圖，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A (1, 3),點(diǎn)B (2, -1),坐標(biāo)軸上是否存在點(diǎn)C,使得/ ACB為直角？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由?！窘馕觥?1)當(dāng)點(diǎn)C在y軸上時(shí):如圖1,設(shè)C (0, c),分別過點(diǎn) A、B作x軸的平行線，交 y軸于點(diǎn)D、E。 則根據(jù) 線三垂直模型 ”，ACDscbe, .AD : CE=CD : BE,即：1 ： (c+1)=(3-c) : 2,解得：C1=1 + v/2,

15、C2=1-V2,故 C (0, 1+，2);或 C (0, 1-，2);(2)當(dāng)點(diǎn)C在x軸上時(shí)：軸于點(diǎn)D、E。,在一次函數(shù) y=x/2-1C的坐標(biāo)；若不存【解析】設(shè)/如圖2,設(shè)C (c, 0),分別過點(diǎn) A、 B作y軸的平行線，交 x則根據(jù) 線三垂直模型 ”， ACD st CBE ,AD : CE=CD : BE,即：3： (2-c) = ( 1-c) : 2,或 3 ： ( c-2 ) = ( c-1 ) : 2,解得：口戈瑪萄沖g籌口故C 1白瑪03或C(:與當(dāng)刃闔j的降話T論綜上所述，符合條件的點(diǎn)C的坐標(biāo)有4個(gè)，分別為:(0, 1+，2) ; ( 0, 1-，2);(號(hào)百(史乎三。儲(chǔ) 的中拙音豆苧工驚叁【例10如圖，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A (