2017年江蘇省南通市高考數(shù)學(xué)一模試卷

1、2017年江蘇省南通市高考數(shù)學(xué)一模試卷一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共計(jì)70分.1. （5分）函數(shù)產(chǎn)25in（3xT）的最小正周期為 -2. （5 分）設(shè)集合 A=1, 3, B=a+2, 5, AAB=3, WJ AU B=.3. （5分）復(fù)數(shù)z=（1+2i） 2,其中i為虛數(shù)單位，則z的實(shí)部為.4. （5分）口袋中有若干紅球、黃球和藍(lán)球，從中摸出一只球.摸出紅球的概率 為0.48,摸出黃球的概率為0.35,則摸出藍(lán)球的概率為 .5. （5分）如圖是一個(gè)算法的流程圖，則輸出的 n的值為.6. （5分）右頭數(shù)x, y兩足則z=3x+2y的取大值為.7. （5分）抽樣統(tǒng)計(jì)甲、乙兩名學(xué)

2、生的 5次訓(xùn)練成績(jī)（單位：分），結(jié)果如下：學(xué)生第1次第2次第3次第4次第5次甲6580708575乙8070758070則成績(jī)較為穩(wěn)定（方差較?。┑哪俏粚W(xué)生成績(jī)的方差為 .8. （5分）如圖，在正四棱柱 ABCA AiBiCiDi中，AB=3cm, AAi=1cm,則三棱錐Di- A1BD的體積為 cm3.*2 29. (5分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線2x+y=0為雙曲線三3、=1 (a0, b a2 b20)的一條漸近線，則該雙曲線的離心率為 .10. (5分)九章算術(shù)中的 竹九節(jié)”問(wèn)題：現(xiàn)有一根9節(jié)的竹子，自上而下各 節(jié)的容積成等差數(shù)列，上面4節(jié)的容積共3升，下面3節(jié)的容積共4升，則

3、該竹 子最上面一節(jié)的容積為 升.11. (5分)在 ABC中，若前?而+2正?正=承?則耳辿的值為.sinC12. (5分)已知兩曲線 f (x) =2sinx, g (x) =acosx, xC (0,?)相交于點(diǎn)P.若兩曲線在點(diǎn)P處的切線互相垂直，則實(shí)數(shù) a的值為.13. (5分)已知函數(shù)f (x) =| x|+| x-4| ,則不等式f (x2+2) f (x)的解集用 區(qū)間表示為.14. (5分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知B, C為圓x2+y2=4上兩點(diǎn)，點(diǎn)A (1, 1),且AB,AC,則線段BC的長(zhǎng)的取值范圍為 .二、解答題：本大題共6小題，共計(jì)90分.15. (14分)如圖，

4、在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以x軸正半軸為始邊作銳角 % 其終邊與單位圓交于點(diǎn) A.以O(shè)A為始邊作銳角B,其終邊與單位圓交于點(diǎn)B,AB岑5(1)求cos B的值；(2)若點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為之，求點(diǎn)B的坐標(biāo).16. (14分)如圖，在四棱錐P-ABCD中，四邊形ABCD為平行四邊形，AC, BD 相交于點(diǎn)。，點(diǎn)E為PC的中點(diǎn)，OP=OC PA，PD.求證：(1)直線PA/平面BDE;(2)平面BDE1平面PCD17. (14分)如圖，在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，已知橢圓號(hào)十4二1 (ab0)的離心率為返，焦點(diǎn)到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離為1. 2(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若P為橢圓上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)。作OP的垂線

5、交直線 廠近于點(diǎn)Q,求一二二yOP2 OQZ 18. (16分)如圖，某機(jī)械廠要將長(zhǎng)6m,寬2m的長(zhǎng)方形鐵皮ABCD進(jìn)行裁剪.已 知點(diǎn)F為AD的中點(diǎn)，點(diǎn)E在邊BC上，裁剪時(shí)先將四邊形CDFEfi直線EF翻折 到MNFE處(點(diǎn)C, D分別落在直線BC下方點(diǎn)M, N處，F(xiàn)N交邊BC于點(diǎn)P),再沿直線PE裁剪.(1)當(dāng)/EFP=L時(shí)，試判斷四邊形MNPE的形狀，并求其面積；4(2)若使裁剪得到的四邊形 MNPE面積最大，請(qǐng)給出裁剪方案，并說(shuō)明理由.19. (16分)已知函數(shù) f (x) =ax2-x-lnx, aCR.(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)f (x)的最小值； Q(2)若-1a0,證明：函數(shù)f (x)有

6、且只有一個(gè)零點(diǎn)；(3)若函數(shù)f (x)有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.20. (16分)已知等差數(shù)列an的公差d不為0,且外，5，ak ，(4 t IEk2- kn2k包成立， n a nn求a1的取值范圍.南通市2017屆高三第一次調(diào)研測(cè)試數(shù)學(xué)R (附加題)選做題本題包括四小題， 請(qǐng)選2題作答.若多做，則按作答的前兩題評(píng)分.解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證 明過(guò)程或演算步驟.選彳4-1:幾何證明選講21. (10分)已知圓O的直徑AB=4, C為AO的中點(diǎn)，弦DE過(guò)點(diǎn)C且滿足CE=2CD 求AOCE的面積.選彳4-2:矩陣與變換22. (10分)已知向量1是矩陣A的屬于特征值-1的一個(gè)特征向量.在平

7、面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P (1,1)在矩陣A對(duì)應(yīng)的變換作用下變?yōu)镻 (3, 3), 求矩陣A.選彳4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程23. 在極坐標(biāo)系中，求直線e1-(pER)被曲線p=4sin質(zhì)截得的弦長(zhǎng).選彳4-5:不等式選講24. 求函數(shù)尸3sdnx+2每荻石的最大值.必做題共2小題，滿分20分)25. (10分)如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCA A1B1C1D1中，P為棱GD1的中點(diǎn), Q為棱BB上的點(diǎn)，且BQ3 BB (廿0).(1)若人為,求AP與AQ所成角的余弦值；(2)若直線AA與平面APQ所成的角為45,求實(shí)數(shù)人的化26. (10分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線x2=2py(

8、 p0)上的點(diǎn)M (m,1)到焦點(diǎn)F的距離為2,(1)求拋物線的方程；(2)如圖，點(diǎn)E是拋物線上異于原點(diǎn)的點(diǎn)，拋物線在點(diǎn) E處的切線與x軸相交 于點(diǎn)P,直線PF與拋物線相交于A, B兩點(diǎn)，求 EAB面積的最小值.第5頁(yè)(共30頁(yè))2017年江蘇省南通市高考數(shù)學(xué)一模試卷參考答案與試題解析一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共計(jì)70分.1. （5分）函數(shù)尸工一土）的最小正周期為33【分析】根據(jù)函數(shù)y=Asin （葉?。┑闹芷诘扔?竺，得出結(jié)論.【解答】解：函數(shù)尸2KM3工一土）的最小正周期為 里，33故答案為：3【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查三角函數(shù)的周期性及其求法，利用了 y=Asin （肝?。┑?

9、周期等于22L,屬于基礎(chǔ)題.2. （5分）設(shè)集合 A=1, 3 , B=a+2, 5, AH B=3,則 AU B= 1, 3, 5【分析】由交集的定義，可得a+2=3,解得a,再由并集的定義，注意集合中元 素的互異性，即可得到所求.【解答】解：集合 A=1, 3, B=a+2, 5, AH B=3,可得a+2=3,解得a=1,即 B=3, 5,則 AU B=1, 3, 5.故答案為：1, 3, 5.【點(diǎn)評(píng)】本題考查集合的交集、并集運(yùn)算，注意運(yùn)用定義法，以及集合中元素的 互異性，屬于基礎(chǔ)題. （5分）復(fù)數(shù)z=（1+2i） 2,其中i為虛數(shù)單位，則z的實(shí)部為 -3 .【分析】直接利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式

10、的乘法運(yùn)算化簡(jiǎn)得答案.【解答】!： V z= （1+2i） 2=1+4i+ （2i） 2=- 3+4i,；z的實(shí)部為-3.故答案為：-3.【點(diǎn)評(píng)】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查了復(fù)數(shù)的基本概念，是基礎(chǔ)題.4. （5分）口袋中有若干紅球、黃球和藍(lán)球，從中摸出一只球.摸出紅球的概率為0.48,摸出黃球的概率為0.35,則摸出藍(lán)球的概率為0.17 .【分析】利用對(duì)立事件的概率公式，可得結(jié)論.【解答】解：二.摸出紅球的概率為0.48,摸出黃球的概率為0.35,摸出藍(lán)球的概率為1 -0.48-0.35=0.17.故答案為0.17.【點(diǎn)評(píng)】本題考查對(duì)立事件的概率公式，熟練掌握概率的基本性質(zhì)是求解本題

11、的 關(guān)鍵.5. （5分）如圖是一個(gè)算法的流程圖，則輸出的 n的俏為57T 1 ? 口 - 1（H）【分析】由已知的程序框圖可知，該程序的功能是利用循環(huán)計(jì)算a值，并輸出滿 足a0【分析】作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，求最大值.【解答】解：作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖：（陰影部分）.由 z=3x+2y 得 y= x+z2 乙平移直線y= x+-z,2 2由圖象可知當(dāng)直線y=- Wx+*lz經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，直線y=-0x+Lz的截距最大， 2 22 2此時(shí)z最大.由產(chǎn)+解得a1什3尸7代入目標(biāo)函數(shù)z=3x+2y得z=3X 1+2 X 2=7.即目標(biāo)函數(shù)z=3x+2y的最大值為7.

12、故答案為：7.-5【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用， 利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，結(jié)合數(shù)形結(jié) 合的數(shù)學(xué)思想是解決此類(lèi)問(wèn)題的基本方法.7. （5分）抽樣統(tǒng)計(jì)甲、乙兩名學(xué)生的 5次訓(xùn)練成績(jī)（單位：分），結(jié)果如下:學(xué)生第1次第2次第3次第4次第5次甲6580708575乙8070758070第9頁(yè)（共30頁(yè)）則成績(jī)較為穩(wěn)定(方差較小)的那位學(xué)生成績(jī)的方差為20 .【分析】根據(jù)題意，分別求出甲、乙的平均數(shù)與方差，比較可得S甲2$乙2,則乙的成績(jī)較為穩(wěn)定；即可得答案.【解答】解：根據(jù)題意，對(duì)于甲，其平均數(shù)7甲=65+8升70+85+75=75其方差S甲 52(65- 75) 2+ (80- 75) 2+

13、(70- 75) 2+ (85- 75) 2+ (75- 75) 2 =50;5對(duì)于乙，其平均數(shù)乙=*計(jì)70+75+:0+70=75其方差s乙2=L(80- 75) 2+ (70 55 75) 2+ (75- 75) 2+ (80- 75) 2+ (70 75) 2 =20;比較可得：S甲2$乙2,則乙的成績(jī)較為穩(wěn)定；故答案為：20.【點(diǎn)評(píng)】本題考查方差的計(jì)算，注意掌握方差的計(jì)算公式.8. (5分)如圖，在正四棱柱 ABCA AiBiGDi中，AB=3cm, AA二1cm,則三棱QiCj錐Di- Ai BD的體積為_(kāi),_cm3.4s【分析】三棱錐Di AiBD的體積血二丫十人1)-d.dAB,

14、由此1111 w11能求出結(jié)果.【解答】解：二.在正四棱柱ABCD- AiBiCiDi中，AB=3cm, AA=icm,三棱錐Di-AiBD的體積:： 二 =vz 1 1 廣1111. W11=.，=yX3X IX 3=1 (cm3).故答案為：得.【點(diǎn)評(píng)】本題考查三棱錐的體積的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空 間思維能力的培養(yǎng).2 29. （5分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線2x+y=0為雙曲線三三=1 （a0, b a2 b20）的一條漸近線，則該雙曲線的離心率為 二.【分析】利用雙曲線的漸近線方程得到 a, b關(guān)系，然后求解雙曲線的離心率即 可.22【解答】解：直線2x+y=0

15、為雙曲線三U=1 （a0, b0）的一條漸近線，a2 b2可得 b=2a,即 c - a2=4a2,可得=.n. a故答案為：二【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，考查計(jì)算能力.10. （5分）九章算術(shù)中的 竹九節(jié)”問(wèn)題：現(xiàn)有一根9節(jié)的竹子，自上而下各 節(jié)的容積成等差數(shù)列，上面4節(jié)的容積共3升，下面3節(jié)的容積共4升，則該竹 子最上面一節(jié)的容積為 量升.一絲一【分析】設(shè)最上面一節(jié)的容積為ai,利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式列 出方程組，能求出結(jié)果.【解答】解：設(shè)最上面一節(jié)的容積為ai,由題設(shè)知d=34al(9%d) -(6a1+y-d)=4解得巧嗡.故答案為：, 22【點(diǎn)評(píng)】本題考查等

16、差數(shù)列的首項(xiàng)的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意 等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式的靈活運(yùn)用.11. （5分）在 ABC中，若前?標(biāo)+2位?屈=而?則空吟的值為 sinC【分析】根據(jù)題意，利用平面向量的數(shù)量積，結(jié)合余弦定理和正弦定理，即可求出國(guó)迫的值.sinC【解答】解：在 ABC中，設(shè)三條邊分別為a、b, c,三角分別為A、B、C,得 ac?cosBn2bc?cosA=ba?cosC由余弦定理得：(a2+c2 - b2) + (b2+c2 - a2) = (b2+a2 - c2),222化簡(jiǎn)得 =2,由正弦定理得空生=1=&. sinC c故答案為：丁.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平面向量的數(shù)量積

17、以及余弦定理和正弦定理的應(yīng)用問(wèn)題，是綜合性題目.12. (5分)已知兩曲線 f(x)=2sinx,g(x)=acosx,xC (0,)相交于點(diǎn)P.若兩曲線在點(diǎn)P處的切線互相垂直，則實(shí)數(shù) a的值為竽.【分析】聯(lián)立兩曲線方程，可得tanx主血 =1, a0,設(shè)交點(diǎn)P (m, n),分別 cosx 2求出f (x), g (x)的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率，由兩直線垂直的條件：斜率之積為-1,再由同角基本關(guān)系式，化弦為切，解方程即可得到a的值.【解答】 解：由 f (x) =g (x),即 2sinx=acosx即有 tanx=Kn=2 a0,COSK 2設(shè)交點(diǎn)P (m, n),f (x) =2sinx

18、的導(dǎo)數(shù)為 f(x) =2cosx,g (x) =acosx的導(dǎo)數(shù)為 g (x) =- asinx,由兩曲線在點(diǎn)P處的切線互相垂直，第11頁(yè)（共30頁(yè)）可得 2cosm? ( asinm) =- 1,且 tanm=, 2則:一 1- 1 =1.si nin+co s in分子分母同除以cos2m,即有-1 -：1 =1,即為a2=i+- 4 解得a=-.1+ta rTm3故答案為：巫.3【點(diǎn)評(píng)】本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的斜率，兩直線垂直的條件：斜率之積為-1,同時(shí)考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題.13. (5分)已知函數(shù)f (x) =| x|+| x-4| ,則

19、不等式f (x2+2) f (x)的解集用區(qū)間表示為班, +8)_【分析】 令 g (x) =f (x2+2) - f (x) =x2+2+| x2- 2| - | x| - | x - 4| ,通過(guò)討論 x 的范圍，求出各個(gè)區(qū)間上的不等式的解集，取并集即可.【解答】 解：令 g (x) =f (x2+2) - f (x) =x2+2+| x2 - 2| - | x| - | x- 4| ,x4 時(shí)，g (x) =2。2x+40,解得：x4;血&x0,解得：x&或 x一故&x 4;00x0,不合題意；-&x0,不合題意；x0,解得：x1 或 x 2,故 xb0) a b的離心率為率，焦點(diǎn)到相應(yīng)

20、準(zhǔn)線的距離為1.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若P為橢圓上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)。作OP的垂線交直線 三日于點(diǎn)Q,求，二一OP2 0Q?然后求解橢圓的方程.【分析】(1)由已知條件可得 工q區(qū)，卦d , a 2 c(2)由題意知OP的斜率存在.當(dāng)OP的斜率為0時(shí)，求解結(jié)果；當(dāng)OP的斜率2不為0時(shí)，設(shè)直線OP方程為y=kx.聯(lián)立方程組，推出op2二%ii.OQ2=2k2+2.然 2k41后求解即可.【解答】解：(1)由題意得，工里,二-51,分 a 2 c解得a=V, c=1, b=1.2 廣所以橢圓的方程為5-+yJl.4分(2)由題意知OP的斜率存在.當(dāng)OP的斜率為0時(shí)，足&, 0所以二1.十分OP2

21、 OQZ當(dāng)OP的斜率不為0時(shí)，設(shè)直線OP方程為y=kx.V 2_2T+V n 得（2k2+1） x2=2,解得 /二1,所以/二T-, 產(chǎn)以2k%2k%2所以0p2=2k +2 .子分2k2+l因?yàn)镺P,OQ,所以直線OQ的方程為尸乂.kfy=V2由， 1得用Mk,所以O(shè)Q2=2k2+2.僅分y=一 2-o-綜上，可知工一:1. 14分.OP2 0Q2【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，直線與橢圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用, 考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力.18. （16分）如圖，某機(jī)械廠要將長(zhǎng)6m,寬2m的長(zhǎng)方形鐵皮ABCD進(jìn)行裁剪.已 知點(diǎn)F為AD的中點(diǎn)，點(diǎn)E在邊BC上，裁剪時(shí)先將四邊形CDFEfi

22、直線EF翻折 到MNFE處（點(diǎn)C, D分別落在直線BC下方點(diǎn)M, N處，F(xiàn)N交邊BC于點(diǎn)P）, 再沿直線PE裁剪.（1）當(dāng)/EFP三時(shí)，試判斷四邊形MNPE的形狀，并求其面積；4（2）若使裁剪得到的四邊形 MNPE面積最大，請(qǐng)給出裁剪方案，并說(shuō)明理由.第19頁(yè)（共30頁(yè)）【分析】（1）當(dāng)/EFP=時(shí)，由條件得/ EFPW EFD=/ FEP亍.可得FN BC,四邊形MNPE為矩形.即可得出.（2）解法一：設(shè)/EFD= 8由條件，知/EFPM EFD4 FEPW.可得委聽(tīng)眸3點(diǎn)后皿r四邊形MNPE 面積為$的（皿+廟）陋=|（3-/）+（37）X2=64r需甲，化 簡(jiǎn)利用基本不等式的性質(zhì)即可得出

23、.解法二：設(shè) BE=tm , 3Vt 6 ,則 ME=6 - t .可得 PE=PF,即t-BP -2-2BP啖號(hào)NP=3-T+差孑,四邊形MNPE面積為sg(賄ME)MN=(3-t+照號(hào)) + (6-t) X2=6-1(t-3)+-,禾用基本不等式的性質(zhì)即可得出.【解答】解：（1）當(dāng)/EFP=L時(shí)，由條件得/ EFPW EFDW FEP三. 44所以/ FPE三.所以FNI BC, 2四邊形MNPE為矩形.分所以四邊形MNPE的面積S=PN?MN=2m2.5分（2）解法設(shè)NEFD= e Sa2L),由條件，知/ EFP之 EFD玄 FEP=e.2sin2 9Q00由37o 得，oe)然2 =

24、 22 sin2tanb22= 1 2/(必/日 +cq- 9 )( o 心 3)12分tan6 sin2 8 tan 2sin6 costan046-2、八an 8 =6-2 近 V tanU當(dāng)且僅當(dāng)1aBe二即謝。二F，e二二時(shí)取二：仰分 tan3此時(shí)，（*）成立.答：當(dāng)NEFEh時(shí)，沿直線PE裁剪，四邊形MNPE面積最大, V最大值為6-2m2. 化分解法二：設(shè) BE=tm, 3Vt3-(LBP)：3-tHj(U4分由3to 2(37 /u3-t+2O-t) 0r3t6得,t2-12t+310k_2所以四邊形 MNPE 面積為 S=(MP+ME)Mn4(3t+探%) +(6T) 乂2 =

25、比尹呼儂 = K L3當(dāng)且僅當(dāng)象L3)二七，即仁3+他 華時(shí)取“三” 乙X oY J o此時(shí)，(*)成立.14分答：當(dāng)點(diǎn)E距B點(diǎn)m時(shí)，沿直線PE裁剪，四邊形MNPE面積最大,最大值為6-2V3m2.化分.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了函數(shù)的性質(zhì)、矩形的面積計(jì)算公式、基本不等式的性質(zhì)、三 角函數(shù)的單調(diào)性應(yīng)與求值，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題.19. (16分)已知函數(shù) f (x) =ax2-x-lnx, aCR.(1)當(dāng)舊時(shí)，求函數(shù)f (x)的最小值； -j(2)若-1aq 當(dāng) a0 XX時(shí)，函數(shù)f (x)在(0, +oo)上最多有一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)-10a00時(shí)，f (1) =a- 11 2_ j.0,

26、推出結(jié)果.e c2(3)由(2)知，當(dāng)a00時(shí)，函數(shù)f (x)在(0, +oo)上最多有一個(gè)零點(diǎn).說(shuō)明a0,由f (x) =aq xlnx,得尸(工)二叁心匚L, (x。)，說(shuō)明函數(shù)f x(x)在(0, X0)上單調(diào)遞減；在(X0, +00)上單調(diào)遞增.要使得函數(shù)f(X)在(0, +OO)上有兩個(gè)零點(diǎn)，只需要axXo-lnXoO.通過(guò) 函數(shù)h (x) =2lnx+x- 1在(0, +00)上是增函數(shù)，推出 0a 1 .驗(yàn)證當(dāng)0a 0).分令 f (x) =0,彳# x=2,當(dāng) xC (0, 2)時(shí)，f (x) 0, 所以函數(shù)f (x)在(0, 2)上單調(diào)遞減，在(2, +8)上單調(diào)遞增.所以當(dāng)

27、x=2時(shí)，f (x)有最小值f,二3-1口2 .4分2(2)由 f (x) =ax2-x- lnx,得仁 二2k1,二2ax rT x0 . KX所以當(dāng) a00 時(shí)，F(xiàn) G)二 2a JrT函數(shù)f (x)在(0, +00)上單調(diào)遞減，所以當(dāng)a00時(shí)，函數(shù)f (x)在(0, +OO)上最多有一個(gè)零點(diǎn).4分因?yàn)楫?dāng)一10a00 時(shí)，f (1) =a10,e e2所以當(dāng)-1&a00時(shí)，函數(shù)f (x)在(0, +00)上有零點(diǎn).綜上，當(dāng)-1&a0 0時(shí)，函數(shù)f (x)有且只有一個(gè)零點(diǎn).由分(3)由(2)知，當(dāng)a00時(shí)，函數(shù)f (x)在(0, +刃 上最多有一個(gè)零點(diǎn).因?yàn)楹瘮?shù)f (x)有兩個(gè)零點(diǎn)，所以a0

28、.9分由 f (x) =a/- x- lnx, 得F (k)(x0), 令 g (x) =2a/-x- 1.因?yàn)?g (0) =- 10,所以函數(shù)g (x)在(0, +oo)上只有一個(gè)零點(diǎn)，設(shè)為x.當(dāng) x (0, x0)時(shí)，g (x) 0, f (x) 0,f (x) 0.所以函數(shù)f (x)在(0,刈)上單調(diào)遞減；在(x0, +00)上單調(diào)遞增.要使得函數(shù)f (x)在(0, +OO)上有兩個(gè)零點(diǎn)，只需要函數(shù)f (x)的極小值f (xo) 0,即己謚rQ-lnxo0,又因?yàn)楹瘮?shù)h (x) =21nx+x- 1在(0, +00)上是增函數(shù)，且 h (1) =0,所以xO 1,得0-1 1.xo又由

29、2日君-工0-1二。，得2a=(工)+工二(上+ 2，0M M 功 24所以 0a1. 1初以下驗(yàn)證當(dāng)0a1時(shí)，函數(shù)f (x)有兩個(gè)零點(diǎn).當(dāng)0a0,所以u(píng) a因?yàn)?f上Mo,且 f (x。)0 (因?yàn)?lnx&x 1),且 f (小)0.a a2 a a a a所以函數(shù)f (x)在(*, Z)上有一個(gè)零點(diǎn).u a所以當(dāng)0a0). x x令 t (x) =0,彳# x=1.當(dāng) xC (0, 1)時(shí)，t (x) 0.所以函數(shù)t (x)在(0, 1)上單調(diào)遞減，在(1, +00)上單調(diào)遞增.所以當(dāng)x=1時(shí)，t (x)有最小值t (1) =0.所以 t (x) =x- 1 - 1nx0,得 1nxx-

30、 1 成立.【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的極值，構(gòu)造 法以及分類(lèi)討論思想的應(yīng)用，考查計(jì)算能力.第21頁(yè)(共30頁(yè))20. (16分)已知等差數(shù)列an的公差d不為0,且為，氣，at ，(ki12匕k2- kn2k包成立， in求ai的取值范圍.【分析】(1)由已知得：ai, a3, a8成等比數(shù)列，從而4d2=3aid,由此能求出? d的化(2)設(shè)數(shù)列kn為等比數(shù)列，則k/=kkq，推導(dǎo)出之二1,從而鈍=k,d,進(jìn)d 1 Jdk . nEa而k二kH“T-由此得到當(dāng)之二1時(shí)，數(shù)列kn為等比數(shù)列2 k hl(3)由數(shù)列kn為等比數(shù)列，a1=d, k =k1qnl(qD

31、 得到n 1n+kq+ k T0-巴丁二I門(mén):成立,再證明對(duì)于任意的正實(shí)數(shù) 0穌1), ai 2kiqn-1 2 2k 總存在正整數(shù)由，使得 2 .q：n, 餐要證,即證lnn1 n1lnq+ln &由此能求出a1的取值范圍.qn，【解答】解：(1)由已知可得：白, 33, a8成等比數(shù)列，所以 匕1斗2d) 2=叼(5+7l) .ak 二4 qT =k 1 dqkuk a】qki, an=ai+ (n 1) d=nai . c l因?yàn)閷?duì)于任意nC N ,不等式& +a 2k包成立. ILlli所以不等式n冉+kia、ki2kqg,即%青9,弋2k工包成立.10分2 2kl 、.，一, 一q卜

32、面證明：對(duì)于任意的正實(shí)數(shù) e （0 e 1）,總存在正整數(shù)ni,使得n。時(shí)，原式得證. u21 nq一 - 要證- ,即證 lnni nilnq+ln eq、因?yàn)?Inx(工則,mi=21nn/門(mén)2 ,1 1解不等式n1 2 0,可得.:1+Vf-41nqin 121nq,所以（山耍逅二）2.121nq.16分所以所以ai2,即得ai的取值范圍是2, +）. a1 2【點(diǎn)評(píng)】本題考查等差數(shù)列的首項(xiàng)與公差的比值的求法， 考查滿足等比數(shù)列的等 差數(shù)列的首項(xiàng)與公差的比值的確定， 考查數(shù)列的首項(xiàng)的取值范圍的求法， 綜合性 強(qiáng)，難度大，對(duì)數(shù)學(xué)思維要求較高.南通市2017屆高三第一次調(diào)研測(cè)試數(shù)學(xué)R （附加

33、題）選做題本題包括四小題， 請(qǐng)選2題作答.若多做，則按作答的前兩題評(píng)分.解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證 明過(guò)程或演算步驟.選彳4-1:幾何證明選講21. （10分）已知圓O的直徑AB=4, C為AO的中點(diǎn)，弦DE過(guò)點(diǎn)C且滿足CE=2CD 求AOCE的面積.【分析】由相交弦定理，得CD, DE中點(diǎn)H,則OH,DE,利用勾股定理求出OH, 即可求出 OCE的面積.【解答】解：設(shè)CD=x,則CE=2x因?yàn)?CA=1, CB=3,由相交弦定理，得CA?CB=CD?CE所以1X3=x?2x=2,所以,一一.2分取DE中點(diǎn)H,則OHDE.因?yàn)?QH2=0E-EH2=4-（y x） 2=-,所以oh爭(zhēng).分又因?yàn)楸?/p>

34、二2貯退，所以 OCE的面積:S*DH,CE=乂灰XpLT陰.【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是相交弦定理，垂徑定理與勾股定理，考查學(xué)生分析解決問(wèn) 題的能力，屬于中檔題.選彳4-2:矩陣與變換22. (10分)已知向量1是矩陣A的屬于特征值-1的一個(gè)特征向量.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P (1,1)在矩陣A對(duì)應(yīng)的變換作用下變?yōu)镻 (3, 3),求矩陣A.【分析】設(shè)探,根據(jù)矩陣變換，列方程組，即可求得a、b、c和d的值,第27頁(yè)（共30頁(yè)）求得A.【解答】解:設(shè)A=因?yàn)橄蛄渴蔷仃嘇的屬于特征值-1的一個(gè)特征向量,所以=(-1)1-1-1.所以、因?yàn)辄c(diǎn)P (1,1)在矩陣A對(duì)應(yīng)的變換作用下變?yōu)镻 (3, 3)

35、,所以.10分.所以、解得 a=1, b=2, c=2, d=1,所以 a二【點(diǎn)評(píng)】本題考查矩陣的變換，考查方程思想，體現(xiàn)轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題.選彳4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程23. 在極坐標(biāo)系中，求直線e4(pER)被曲線P =4sin質(zhì)截得的弦長(zhǎng).【分析】極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，聯(lián)立，求出 A, B的坐標(biāo)，即可求直線 b4(PR)被曲線P=4sin所截得的弦長(zhǎng).【解答】解：以極點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系.直線e-(p R)的直角坐標(biāo)方程為y=xD,弓分曲線p =4sin曲直角坐標(biāo)方程為x2+y2 - 4y=02).4分由得產(chǎn)或尸之8分尸0 (y=2所以 A (0,

36、 0), B (2, 2),所以直線6號(hào)(區(qū))被曲線p=4sin所截得的弦長(zhǎng)AB幺也.1陰.【點(diǎn)評(píng)】本題考查極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，考查方程思想，比較基礎(chǔ).選彳4-5:不等式選講24. 求函數(shù)y=3sdmt+A/2+2cos2工的最大值.【分析】利用二倍角公式化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，利用柯西不等式求解函數(shù)的最值即 可.【解答】解：y=3sinic+22+2cos2x=3sinx+4?7cos2x 2由柯西不等式得了2二（3式“升4幾百）2（3,42）（式口勺+8）=25，8分所1以ymax=5,止匕時(shí)sinx二色.5所以函數(shù)y=3sinx+2M2+2cos2K的最大值為5.T。分.【點(diǎn)評(píng)】本題考

37、查是的最值，柯西不等式在最值中的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì) 算能力.必做題共2小題，滿分20分）25. （10分）如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCA AiBiCiDi中，P為棱GDi的中點(diǎn), Q為棱BBi上的點(diǎn)，且BQ3 BB （ R 0）.（D若X A求AP與AQ所成角的余弦值；（2）若直線AAi與平面APQ所成的角為45,求實(shí)數(shù)人的化【分析】（i）以靛，筋， 函為正交基底，建立如圖所示空間直角坐標(biāo) 系A(chǔ)-xyz.求出京二（1, 2, 2）,同二0, 1）,利用數(shù)量積求解AP與AQ所成角的余弦值.（2）為二（0, 0, 2）,而二口，2）求出平面APQ的法向量，利用空間向量的數(shù)量積求解即可.【解答】解：以誨，而為正交基底，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)- xyz.2,2），麗二0, 1)，AP-AQ a X 2+2 x Q+2X1 W