等差與等比數(shù)列和數(shù)列求和的基本方法和技巧

1、高考專題復(fù)習(xí)一一等差與等比數(shù)列一、知識(shí)結(jié)構(gòu)與要點(diǎn)：等差、等比數(shù)列的性質(zhì)推廣第5頁(yè)共17頁(yè)等比數(shù)列一基本概念-定義：?jiǎn)TanSn通項(xiàng)一 q iqn m1等比中項(xiàng):前n項(xiàng)和an 2 an 1an 1 ana1n(q 1)a1(1 qn)1 qa1a b c成等比數(shù)歹Uianq /(q 1)1 qb2 ac與首末兩端等距離的兩項(xiàng)之積相等基本性質(zhì)一alan a2an 1ai an i 1m n p qam anap aqan成等比，若 ni,n2,nk成等差 則a1,an2，ank成等比a1 當(dāng)1q0 a10或時(shí) an為遞增數(shù)列10 q 1a1q 10f a10或1時(shí)an為遞減數(shù)列0 q 1q0時(shí) an

2、為擺動(dòng)數(shù)列q=1時(shí) an為常數(shù)數(shù)列二、典型例題例1.在等差數(shù)列中a6 a9a12 a15 20求S20解法一an a1 (n 1)da6 a9 a12 a15(a1 5d) (a1 8d) (a1 11d) (a1 14d)2(2al 19d) 202a1 19d 10那么 S2020(a12 a20)10(2a1 19d) 100解法二：由m n p qa a a arm n p qa6 a9 ai2 ai5 2(a6 ai5)2(ai a20)20點(diǎn)評(píng)：在等差數(shù)列中，由條件不能具體求出a1和d,但可以求出 a1與d的組合式，而所求的量往往可以用這個(gè)組合式表示，那么用“整體代值”的方法將值求

3、出 利用：m n p qam an ap aq將所求量化為已知量也是“整體代值”的思想，它比用a1和d表示更簡(jiǎn)捷。例2.等差數(shù)列前 m項(xiàng)和為30,前2m項(xiàng)和為100,則它的前3m項(xiàng)和為解法一 用方程的思想，由條件知. am)m 3022(ai am)m 60(ai a2m)2m 100(ai a2m)m 100 2am a2m a3m也成等數(shù)列S3mam)由X 2-得3m3 i-T (ai a3m)7m(a12a2m22m(ai a2m am) 140 代入 S3m3一 140 2102解：在等差數(shù)列中由性質(zhì)知Sm S2m Sm 83m S2m成等差數(shù)列S3m S2m 2(S2m Sm) Sm

4、83m 3(S2m Sm)210解法三 等差數(shù)列an中Sna1n 1 n(n 1)dSn a (n 1) 2n2即生為以ai為首項(xiàng)公差為 nd的等差數(shù)列2依題意條件知Sm S2m 83m成等差m 2m 3m2 83m 2m82m Sm3m m83m 3(82m 8m)210點(diǎn)評(píng)：三種解法從不同角度反映等差數(shù)列所具有的特性，運(yùn)用方程的方法、性質(zhì)或構(gòu)造新的等 差數(shù)列都是數(shù)列中解決問(wèn)題的常用方法且有價(jià)值，對(duì)解決某些問(wèn)題極為方便。例3在等比數(shù)列中8593a2a3a4a5a6186求a8分析：在等比數(shù)列中對(duì)于 a1q n an Sn五個(gè)量一般“知三求二”其中首項(xiàng)5元比是關(guān)鍵,因此用牛體a2 a3 a4

5、a5 a6a6 a1 93a1 q5又 S5 a1 a1q5931 q則 a8 a1 q7 384解法二：S5 93 而 a2 a3186S5 a6 a1 186a1 93a1 a1 93 93 q 2 a131 qa4 a5 a6 （a1 a2 a3 a4 a5）q 186q 2 代入 a1（1 q ） 93 中得 a1 31 q故 a8 a1 q7 384點(diǎn)評(píng)：根據(jù)等比數(shù)列定義運(yùn)用方程的方法解決數(shù)列問(wèn)題常用解法二更為簡(jiǎn)捷。例4.在等差數(shù)列an中S936 S13104等比數(shù)列屈中b5 a5 b7 a7 貝Ub6 a ac解：S9 （aL9） 9 a5 936a542S13 a1 2a13 1

6、3 a7 13104 a78b5 b7 a5 a7 32b；2 32b64 3點(diǎn)評(píng)：此題也可以把 a1和d看成兩個(gè)未知數(shù)，通過(guò) S936 S13104列方程，聯(lián)立解之= 2 a1 4。再求出a5a7但計(jì)算較繁，運(yùn)用a1 a2n 1 an計(jì)算較為方便。 2例5.設(shè)等差數(shù)列an前n項(xiàng)和為Sn已知a3 12 S12 0 S13 0（1）求公差d的范圍（2）指出S1S2S12中哪一個(gè)值最大，并說(shuō)明理由解：（1）由題義有由a312a1 12(2 Sna1nn(n 1)dd0 a 1數(shù)列an是首項(xiàng)5元比都為7d 0d7n24 d72al 11d a1 6d24 d712(524 2d 12422(5 T)

7、24 2b ,) 取小 d判斷數(shù)列隨a的等比數(shù)列,數(shù)列bn中每一項(xiàng)總小于它后面的項(xiàng)，求a的取值范圍。解：由已知有n 1an a a所以 bnan lgann . na lgabn因此由題意對(duì)任意nbnbn 1成立即nana lg(nS6最大N增大而變化規(guī)律的方an lg an (n N)如果n .na lg a1)an1 alg即 an lga(n1)a n對(duì)任N總成立,知an那么 由a0即（i）由I知a1(n)故a的取值范圍為1)a n或F(a1)n為遞增的函數(shù)n 1所以（2） n 1min1 -a 或 a12點(diǎn)評(píng)：這是道數(shù)列與不等式綜合的題目，既含有字母分類討論又要運(yùn)用極限的思想和函數(shù)最值

8、第9頁(yè)共17頁(yè)x的觀點(diǎn)來(lái)解決問(wèn)題，同時(shí)還要判斷函數(shù)y 的單調(diào)性，具有一定的綜合性。x 2高考專題一一數(shù)列求和的基本方法和技巧數(shù)列是高中代數(shù)的重要內(nèi)容，又是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ).在高考和各種數(shù)學(xué)競(jìng)賽中都占有重要的地位.數(shù)列求和是數(shù)列的重要內(nèi)容之一，除了等差數(shù)列和等比數(shù)列有求和公式外，大部 分?jǐn)?shù)列的求和都需要一定的技巧.下面，就幾個(gè)歷屆高考數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題來(lái)談?wù)剶?shù)列求和 的基本方法和技巧.一、利用常用求和公式求和利用下列常用求和公式求和是數(shù)列求和的最基本最重要的方法1、等差數(shù)列求和公式：Snn(a1 an) na1 n(n 1)d222、等比數(shù)列求和公式：Snnaiai(1 qn)i qaianq

9、i q(q i)(q i)1n(n i) 2n 2 i ,4、Sn kn(n i)(2n i)k i 6-3 i25、Snk -n(n i)xn 的前n項(xiàng)和.k i 2例 i已知 log3x -,求 x x2 x3log 2 3解：由log 3 xi log 2 3log 3 xlog 3 2由等比數(shù)列求和公式得23Snx x xx(1 xn)；(1(利用常用公式)= -() = 212n12) _111 -2n例 2設(shè) $=1+2+3+n, nCN*,求 f(n)Sn(n 32)Sn 1的最大值.解：由等差數(shù)列求和公式得11Sn-n(n 1), Sn (n 1)(n 2)(利用常用公式)22

10、Snn111= (n 32)Sn 1 n 34n 64648、250n 34 ( ；n )50n. n當(dāng)而IJq ,即門=8時(shí)，f (n)max150二、錯(cuò)位相減法求和這種方法是在推導(dǎo)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法，這種方法主要用于求數(shù)列an - bn的前n項(xiàng)和，其中 an 、 bn 分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列.例 3求和：Sn 1 3x 5x2 7x3(2n 1)xn 1解：由題可知，(2n 1)xn 1的通項(xiàng)是等差數(shù)列2n 1的通項(xiàng)與等比數(shù)列xn1的通項(xiàng)之積設(shè) xSn 1x 3x2 5x3 7x4(2n 1)xn,(設(shè)制錯(cuò)位)得(1 x)Sn 1 2x 2x2 2x3 2x42xn 1

11、(2n 1)xn (錯(cuò)位相減)再利用等比數(shù)列的求和公式得:1 xn 1(1 x)Sn1 2x (2n 1)xn1 xSn(2n 1)xn 1 (2n 1)xn (1 x)(1 x)2例4求數(shù)列2,當(dāng)與，,2n,前n項(xiàng)的和.2 2 22解：由題可知，電的通項(xiàng)是等差數(shù)列2n的通項(xiàng)與等比數(shù)列 2n7的通項(xiàng)之積設(shè)Sn6232n2n2224236242n（設(shè)制錯(cuò)位）一得（1222223224-2- -2nT (錯(cuò)位相減) 2n 2 n 12n2n 1Sn42n 1三、反序相加法求和這是推導(dǎo)等差數(shù)列的前 n項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法，就是將一個(gè)數(shù)列倒過(guò)來(lái)排列（反序）把它與原數(shù)列相加，就可以得到例 5求證：C0

12、3C： 5C2(2n 1)Cn(n 1)2n證明：設(shè)Sn C： 3C：5C；(2n1)C：把式右邊倒轉(zhuǎn)過(guò)來(lái)得Sn(2n 1)C：(2n 1)Cnn 13C：C：（反序）又由Cnmc：m可得Sn (2n1)C (2n1)cnQn 1 n3C n C n+得2Sn(2n2)(C：cnCnCn1 Cn)2（n 1） 2n （反序相加）Sn (n 1) 2n例 6求 sin21 sin 2 2sin2 3sin2 88-2 -sin 89的值解：設(shè) S sin21 sin2 2sin2 322sin 88 sin 89 將式右邊反序得_2S sin 2 892sin2 88sin2 3sin2 2si

13、n21(反序)又因?yàn)?sin xcos(90x),sin2 xcos2 x 1+得（反序相加）22S (sin 12、cos 1 )(sin2 22 .cos 2 )2(sin 892 -cos 89 ) = 89 . S =44.5四、分組法求和第23頁(yè)共17頁(yè)有一類數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將這類數(shù)列適當(dāng)拆開(kāi)，可分為幾個(gè)等差、等比或常見(jiàn)的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即可例7求數(shù)列的前n項(xiàng)和：11,1a4a7， a解:Sn(1 1)(14)a7)(n 1a3n 2）將其每一項(xiàng)拆開(kāi)再重新組合Sn(1X)n 1 ) a(13n2）（分組）當(dāng)a = 1時(shí),Sn(3n 1)n2(3n

14、1)n2（分組求和）當(dāng)a 1時(shí),Sn(3n21)n aa(3n 1)n例8求數(shù)列n（n+1）（2n+1） 的前n項(xiàng)和.設(shè) ak k(k 1)(2k 1)2k33k2Snnk(k 1)(2k 1)k 1n(2 k3 3k2 k)k 1將其每一項(xiàng)拆開(kāi)再重新組合得nk22 k3k 12(13 23n3) 3(122_n ) (1 2n)22n (n 1)2n(n 1)(2n 1)2n(n 1) (分組求和)2n(n1)2(n22)五、裂項(xiàng)法求和這是分解與組合思想在數(shù)列求和中的具體應(yīng)用.裂項(xiàng)法的實(shí)質(zhì)是將數(shù)列中的每項(xiàng)（通項(xiàng)）.通項(xiàng)分解（裂項(xiàng)）如:分解，然后重新組合，使之能消去一些項(xiàng)，最終達(dá)到求和的目的(

15、1)anf(n 1)f (n)(2)sinlcosn cos(n 1)tan(n 1) tan n(3)1n(n 1)(4)an(2n)2(2n 1)(2n1)111 -(2 2n 1上）(5)n(n 1)(n 2)夕n(n 1)(n出(6)n 2n(n 1)12n2(n 1) nn(n1)12n1n 2n 1(n 1)2n，則 Sn 11(n 1)2n例91 女列 1,21 .2.31的前n項(xiàng)和.1解：設(shè)an - Jn 1 Jn(裂項(xiàng)),n v n 1111一一一則SnJ-1(裂項(xiàng)求和)1.22.3. n %n 1= (.2.1) (.3.2)(Vn1 Vn) = Vn 1 1例10在數(shù)列a

16、n中，ann p2,又bn ,求數(shù)歹U b n的前nn 1an an 1項(xiàng)的和.解： an丁猾8(1 匕)口 n 1 n n 12 2（裂項(xiàng)）Sn數(shù)列b n的前n項(xiàng)和8(11118n(1 -)(裂項(xiàng)求和)=8(1 L) = R-n n 1n 1 n 1例11求證:1cos0 cos11cos1 cos21 cos1 cccc. 2)cos88 cos89sin 1解：設(shè)S1cos0 cos11cos1 cos 21cos88 cos89sinlcosn cos(n 1)tan(n 1)tan n（裂項(xiàng)） Ssin 1cos0 cos1 cos1(tan 1 tan0 )1 ， 一 八、(tan

17、 89 tan0 )=sin 1cos2(tan 2sin 1cos88 cos89tan 1 ) (tan 3 cos1cot 1 =2-sin 1六、合并法求和（裂項(xiàng)求和）tan 2 ) tan 89 tan 88 ，原等式成立針對(duì)一些特殊的數(shù)列，將某些項(xiàng)合并在一起就具有某種特殊的性質(zhì)，因此，在求數(shù)列的和時(shí)，可將這些項(xiàng)放在一起先求和，然后再求$.例 12求 cos1 + cos2+ cos3+ + cos178解：設(shè) Sn= cos1+ cos2 + cos3 + + cos178+ cos179 的值.+ cos179 , cosn cos(180 n )(找特殊性質(zhì)項(xiàng))，$= (cos

18、1 +cos179 )+ (cos2 +cos178 )+ (cos3 +cos177 ) + - + (cos89 +cos91 )+cos90 (合并求和)=0例 13數(shù)列an： a11, a23, a32, an 2 an 1an ，求S2002.解：設(shè)S2002= a1a2a3a2002由a11, a23,a32, an2 an 1an可得a43, a62,a71,a83,a92, a103, a122,a6k 11,a6k 23, a6k 32,a6k 41,a6k 53, a6k 61 a6ka6k 3a6k 4 a6k 5a6k 60 （找特殊性質(zhì)項(xiàng)）= &0。2= a1 a2a

19、3a2002 （合并求和）=(a1a2 a3a6)(a7 a8a12)(a6k 1a6k 2a6k(a1993a1994a1998 )a 1999a2000a2001 a 2002=a1999a2000a2001 a2002=a6k 1 a6 k 2 a6 k 3 a6 k 4=5例14在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，若a5 a6 9,求log3a1 log 3 a2log3a10的值.解：設(shè) Sn 10g 3 ai 10g 3a210g 3 a10由等比數(shù)列的性質(zhì) m n p q aman apaq (找特殊性質(zhì)項(xiàng))和對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)logaM loga N logaM N 得Sn (log 3

20、a110g 3 a10 ) (log 3 a2log 3a9 )(log 3 a510g 3 a6)(合并求和)=(10g 3 a1 a10 )(10g 3 a2 a9 )(10g3 a5a6 )=10g 3 9 10g 3910g 3 9=10七、利用數(shù)列的通項(xiàng)求和先根據(jù)數(shù)列的結(jié)構(gòu)及特征進(jìn)行分析，找出數(shù)列的通項(xiàng)及其特征，然后再利用數(shù)列的通項(xiàng)揭示的規(guī)律來(lái)求數(shù)列的前 n項(xiàng)和，是一個(gè)重要的方法例 15求 1 11 111111 1之和.n個(gè)111解：由于 1111 9999(10k 1)k 個(gè) 19 H19（找通項(xiàng)及特征） 1 11 111111 1n個(gè)1111213(101 1) (102 1) (103 1)9991。 一一 1（10 n 1）（分組求和）9111(101 102 10310n) 1(1 1 11)99n 個(gè) 11 10(10n 1)910 1(10n 1 10 9n) 81例16已知數(shù)列an ： an8(n 1)(n 3)，求n(n11)(anan 1 )的值.解：丁 (n 1)(anan 1)8(n 1)-(n 1)(n 3)(n上（找通項(xiàng)及特征）=8-4) (n(設(shè)制分組)3)(n 4)1111一一=4 ( ) 8()(裂項(xiàng))n 2 n 4 n 3 n 41(n 1)(a