差分方程在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上第四節(jié) 差分方程在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用本節(jié)介紹差分方程在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的幾個(gè)簡(jiǎn)單應(yīng)用，以期望讀者有一些初步了解一、 存款模型設(shè)St為t期存款總額，i為存款利率，則St與i有如下關(guān)系式：St+1=St+iSt=(1+i)Si, t=0,1,2,，其中S0為初始存款總額二、 動(dòng)態(tài)供需均衡模型(蛛網(wǎng)定理)普通市場(chǎng)上一般商品的價(jià)格能影響消費(fèi)者對(duì)該種商品的需求量，需求量與價(jià)格呈反向變化設(shè)Dt表示t期的需求量，St表示t期的供給量，Pt表示商品t期價(jià)格，則傳統(tǒng)的動(dòng)態(tài)供需均衡模型為： 其中a,b,a1,b1均為已知常數(shù)上述各方程的經(jīng)濟(jì)意義是：(1)式表示t期(現(xiàn)期)需求依賴于同期價(jià)格；(2)式

2、表示t期(現(xiàn)期)供給依賴于(t-1)期(前期)價(jià)格這里實(shí)際上假定該種商品生產(chǎn)行為既不是瞬時(shí)的，也不是連續(xù)的，而是要求有一個(gè)固定的生產(chǎn)周期生產(chǎn)者總認(rèn)為：本期的市場(chǎng)價(jià)格將在下一周期內(nèi)保持不變，并按現(xiàn)期價(jià)格安排下一周期的生產(chǎn)因此，第t期的供給量St，實(shí)際上由前一周期價(jià)格Pt-1決定，也就是說(shuō)，供給量滯后于價(jià)格一個(gè)周期(3)_式為供需均衡條件若在供需平衡的條件下，而且價(jià)格保持不變，即Pt=Pt-1=Pe，那么由(1)(2)(3)式，我們即得靜態(tài)均衡價(jià)格：Pe=顯然，若將需求曲線與供給曲線畫(huà)在同一坐標(biāo)平面上，其交點(diǎn)(Pe,Qe)即為該種商品的靜態(tài)均衡點(diǎn)一般地，將動(dòng)態(tài)供需均衡模型的(1)(2)兩式代入(3

3、)式，便得到動(dòng)態(tài)供需均衡模型的等價(jià)差分方程：Pt-Pt-1= (11-4-1)這是一個(gè)一階常系數(shù)非齊次線性差分方程，可求得(11-4-1)的一個(gè)特解= =Pe,從而，方程(11-4-1)的通解為：Pt=A()tPe,這里A為任意常數(shù)若初始價(jià)格P0已知時(shí)，將其代入通解，可求得任意常數(shù)A=P0-Pe，此時(shí)，通解改寫(xiě)為Pt=(0-e)()t+e (11-4-2)如果初始價(jià)格P0=Pe,那么t=e，這表明沒(méi)有外部干擾發(fā)生，價(jià)格將固定在常數(shù)值e上，這就是前面所說(shuō)的靜態(tài)均衡如果初始價(jià)格0e,那么價(jià)格t將隨t的變化而變化顯然，由通解(11-4-2)式可知，當(dāng)且僅當(dāng)1時(shí)，有,也就是說(shuō)，動(dòng)態(tài)價(jià)格t隨著t的無(wú)限增

4、大逐漸地振蕩趨近于靜態(tài)均衡價(jià)格e圖11-1是普通商品的價(jià)格與供需關(guān)系圖圖11-1圖11-1形狀類似于蜘蛛網(wǎng)，故稱此模型為蛛網(wǎng)模型(或蛛網(wǎng)定理)三、 凱恩斯(KeynesJM)乘數(shù)動(dòng)力學(xué)模型設(shè)Yt表示t期國(guó)民收入，Ct為t期消費(fèi)，It為t期投資，I0為自發(fā)(固定)投資，I為周期固定投資增量凱恩斯國(guó)民經(jīng)濟(jì)收支動(dòng)態(tài)均衡模型為：其中(1)式為均衡條件，即國(guó)民收入等于同期消費(fèi)與同期投資之和；(2)式為消費(fèi)函數(shù)，即現(xiàn)期消費(fèi)水平依賴于前期國(guó)民收入(消費(fèi)滯后于收入一個(gè)周期)，a(0)為基本消費(fèi)水平，b為邊際消費(fèi)傾向(0b1);(3)式為投資函數(shù)，這里僅考慮為固定投資在(1)(2)(3)式中消去Ct和It，得到

5、一階常系數(shù)非齊次線性差分方程：Yt-bYt-1=a+I0+I (11-4-3)可求得(11-4-3)的一個(gè)特解=,從而，方程(11-4-3)的通解為Yt=A·bt，其中A為任意常數(shù)我們稱系數(shù)為凱恩斯乘數(shù)四、 哈羅德(HarrodRH)經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)模型設(shè)St為t期儲(chǔ)蓄，Yt為t期國(guó)民收入，It為t期投資，s稱為邊際儲(chǔ)蓄傾向(即平均儲(chǔ)蓄傾向)，0s1，k為加速系數(shù)哈羅德宏觀經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)模型為：其中s,k為已知常數(shù)(1)式表示t期儲(chǔ)蓄依賴于前期的國(guó)民收入；(2)式表示t期投資為前兩期國(guó)民收入差的加速，且預(yù)期資本加速系數(shù)k為常數(shù)；(3)式為均衡條件經(jīng)整理后得齊次差分方程Yt- Yt-1=0， (11

6、-4-4)其通解為Yt=A(1+)t， (11-4-5)其中A為任意常數(shù)，0，哈羅德稱之為“保證增長(zhǎng)率”其經(jīng)濟(jì)意義就是：如果國(guó)民收入Yt按保證增長(zhǎng)率增長(zhǎng)，那么就能保證t期儲(chǔ)蓄與t期投資達(dá)到動(dòng)態(tài)均衡，即It=St, t=0,1,2,假定t-1期收入Yt-1滿足于通解(11-4-5)，而t期收入Yt由于某種外部干擾使其不滿足于(11-4-5)，而是Yt=A(1+)t+B (B0,稱為外部干擾)，不妨設(shè)B0，那么有It=k(Yt-Yt-1）=kA(1+)t-1+B=sA(1+)t-1kB=sYt-1+kB=St+kB因kB0,故ItSt這就表示：總投資將大于總供給(由儲(chǔ)蓄提供)，從而對(duì)收入產(chǎn)生一個(gè)向

7、上的壓力，迫使收入較以前增加得更多這就充分地說(shuō)明了，“保證增長(zhǎng)率”保證了國(guó)民收入的增長(zhǎng)五、 薩繆爾森(Samuelson PA)乘數(shù)加速數(shù)模型設(shè)Yt為t期國(guó)民收入，Ct為t期消費(fèi)，It為t期投資，G為政府支出(各期均相同)薩繆爾森將乘數(shù)和加速數(shù)兩個(gè)參數(shù)同時(shí)引進(jìn)而得到國(guó)民經(jīng)濟(jì)收支均衡模型(也稱為乘數(shù)-加速數(shù)模型)：其中G0為常數(shù)，b稱為邊際消費(fèi)傾向(常數(shù))，k為加速數(shù)將(2)(3)兩式代入(1)并經(jīng)整理后得：Yt-b(1+k)Yt-1+bkYt-2G （11-4-6）這是關(guān)于Yt的二階常系數(shù)非齊次線性差分方程不難求得其特解其經(jīng)濟(jì)意義為：國(guó)民收入的均衡值等于凱恩斯乘數(shù)與政府支出自發(fā)投資G的乘積方程

8、(11-4-6)對(duì)應(yīng)的齊次方程為Yt-b(1+k)Yt-1+bkYt-2=0， (11-4-7)其特征方程為2-b(1+k)+bk=0， (11-4-8)特征方程的判別式=b2（1k)2-4bk=bb(1+k)2-4k,當(dāng)0時(shí)，(11-4-8)有兩相異實(shí)根：1=b(1+k)-,2=b(1+k)+ .方程(11-4-7)的通解為：YA(t)=A1·1t+A2·2t (A1,A2為任意常數(shù))當(dāng)=0時(shí)，(11-4-8)有一對(duì)相等實(shí)特征根：，方程（11-4-7）的通解為：，（A1，A2為任意常數(shù)）.當(dāng)<0時(shí)，(11-4-8)有一對(duì)共軛復(fù)根：=b(1+k)+i,=b(1+k)-

9、i,方程(11-4-7)的通解為：Y(t)=t(A1cost+A2sint),A1,A2為任意常數(shù)；和由下式確定綜合上述，方程(11-4-6)的通解為：，其中=bb(k)2-4k，A1，A2為任意常數(shù)，1，2及，和均如前面所述若求出Yt,由所給模型就不難確定Ct和It習(xí)題11-41 設(shè)Yt為t期國(guó)民收入，Ct為t期消費(fèi)，I為投資(各期相同)卡恩(Kahn)曾提出如下宏觀經(jīng)濟(jì)模型：其中，均為常數(shù)，試求Yt和Ct2 設(shè)Yt，Ct，It分別表示t期的國(guó)民收入、消費(fèi)和投資，三者之間滿足如下關(guān)系：這里,均為常數(shù)求Yt,Ct,It.3 設(shè)Yt為t期國(guó)民收入，St為t期儲(chǔ)蓄，It為t期投資，三者之間滿足如下關(guān)系：，這里，均為常數(shù)，試求Yt,St,It4 挪威數(shù)學(xué)家漢遜(anssenJS)研究局部化理論模型遇到如下的差分方程：Dn+2(t)-4