冪等變換和冪等矩陣的性質(zhì)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上冪等變換和冪等矩陣的性質(zhì)中文摘要:本文在已有文獻(xiàn)資料的基礎(chǔ)上，對(duì)冪等變換和冪等矩陣的性質(zhì)作了歸納。關(guān)鍵詞:冪等變換，冪等矩陣，性質(zhì)正文:（一）定義及說(shuō)明定義1.設(shè)是數(shù)域上線性空間上的線性變換，且，則稱為上的冪等變換。定義2.設(shè)是數(shù)域上的級(jí)方陣，若，則稱為上的冪等矩陣。因?yàn)閿?shù)域上維線性空間的全部線性變換組成的集合對(duì)于線性變換的加法和數(shù)量乘法構(gòu)成的上的線性空間與數(shù)域上的級(jí)方陣構(gòu)成的線性空間同構(gòu)，即。所以冪等變換對(duì)應(yīng)于冪等矩陣,.（二）冪等變換的一個(gè)性質(zhì)及其推廣1定理1.設(shè)是數(shù)域上線性空間的線性變換，且，則有 （1）=,=（2）（3）若是的一個(gè)線性變換，則和都在之下不變的充

2、要條件是 將冪等變換的定義加以推廣：設(shè)是數(shù)域上線性空間上的線性變換，且，則稱為上的冪等變換。對(duì)于滿足的線性變換有類似性質(zhì)定理2. 設(shè)是數(shù)域上線性空間的線性變換，且（），則有（1）=，=（2）（3）若是的一個(gè)線性變換，則和都在之下不變的充要條件是證明：已知（1）： 因此反之，由因此從而=因此反之，有因此從而=（2）：由（1），+從而+又設(shè)由又由=即=（3）：假設(shè)，都在之下不變，由（2），存在唯一的，唯一的，使得則由假設(shè)，（由（1）又，（由（1）由的任意性，若，即，且由（1），使得 =0即在之下保持不變，由（1），即由（1），即也在之下保持不變 證畢定理1是定理2當(dāng)n=2時(shí)的情形，當(dāng)然也成立。（三

3、）冪等變換的幾個(gè)等價(jià)表示定理3.設(shè)是數(shù)域上的線性空間的線性變換，則下列命題等價(jià)：（1）（2）的特征值只能是1和0，且,其中和分別是的屬于1和0的特征子空間（3）證明：設(shè)，是的特征值，則有（為的屬于特征值的特征向量）由知，為非零向量又 由定理1，即如果的特征值只能是1和0，且,有有 = 由的任意性，得，即設(shè)由，設(shè)，則使得從而又因此=從而如果，則= =從而由的任意性，即（四）冪等矩陣的一些性質(zhì)性質(zhì)1.設(shè)是級(jí)冪等矩陣，則對(duì)是可逆矩陣 證明：由因此可逆，且其逆矩陣為性質(zhì)2.設(shè)為冪等矩陣，則可以對(duì)角化證明：由知是的化零多項(xiàng)式又的特征值只能是1和0的最小多項(xiàng)式為且這三種情形下均無(wú)重根故可對(duì)角化性質(zhì)3.設(shè)是

4、冪等矩陣，則的秩等于的跡證明：因?yàn)榈奶卣髦抵荒苁?和0，設(shè)的秩為，則與相似設(shè)為的全部特征值，則相似矩陣有相同的特征值，而的全部特征值為個(gè)1即的秩等于的跡性質(zhì)4.設(shè)是秩為的冪等矩陣則，其中是秩為的矩陣證明: 與相似，即存在可逆矩陣使得令,則秩（C）=且性質(zhì)5.可逆冪等矩陣為單位矩陣證明：為冪等矩陣，又可逆，兩邊同時(shí)左（右）乘,得即為單位矩陣由于冪等矩陣的性質(zhì)是限制在維條件下討論的，所以對(duì)應(yīng)冪等變換的性質(zhì)也只是在有限維情況下成立，至于這些性質(zhì)能否推廣到無(wú)限維的情形，本文未予討論。參考文獻(xiàn)：1陳爾明.冪等變換的一個(gè)性質(zhì)的推廣J. 牡丹江師范學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2003.32王萼芳,石生明.高等代數(shù)M.北京:高等教育出版社,2003.9.3李師正.高等代數(shù)解題方法與技巧M.張玉芬，李桂榮，高玉玲.北京:高等教育出版社,2004.2.4張樹(shù)青 ,王曉靜.線性空間的冪等變換與對(duì)合變換的幾個(gè)等價(jià)表示J.煙臺(tái)師范學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版) ,2004 .20(1).5鐘太勇,袁力,彭先萌.冪等矩陣與冪等變換性質(zhì)的探討J