二次函數(shù)難點(diǎn)突破

1、 通州中考學(xué)習(xí)交流qq群：104807029二次函數(shù)為什么是中考代數(shù)部分最難點(diǎn) 2015北京中考五大模塊深度剖析之二次函數(shù) 學(xué)而思北京中考研究中心專家團(tuán)顧問：陳金根主編：魏巍 劉蕾 費(fèi)新斌 討論：董小磊 牛麗娟 許秀霞 劉鵬農(nóng) 林儒強(qiáng) 齊永確 高曉雪 根據(jù)2015年北京教育考試院下發(fā)的 北京市高級中等學(xué)校招生考試說明數(shù)學(xué)得知，北京中考對二次函數(shù)的考試要求達(dá)到最高級別C級要求（Tips：C級要求通常以壓軸題形式出現(xiàn)），同學(xué)們應(yīng)當(dāng)引起重視。 北京中考每年主要有兩道題目考查二次函數(shù)的知識（并且其中一道為壓軸題目），涉及分值11分左右，約占全卷總分值的10%，這一比例相當(dāng)于普通章節(jié)的三倍，比重之大，可

2、見一斑。那么，北京中考對于二次函數(shù)的考查，難度系數(shù)到底有多大？考點(diǎn)又有哪些？需要掌握哪些解題方法和技巧？接下來，我們就二次函數(shù)在北京中考中的考察情況，為參加中考的同學(xué)做出以下3點(diǎn)分享：1、難度分析及考點(diǎn)分析；2、方法技巧提煉、針對最難點(diǎn)給出13個原創(chuàng)的題目進(jìn)行針對性解決；3、限時鞏固練習(xí)。一、【二次函數(shù)為什么是中考代數(shù)部分的最難點(diǎn)？】1、 二次函數(shù)主要以壓軸題形式考查，難度高，得分率低年份題號類型分值平均分難度系數(shù)201423綜合題7分3.64分0.52201425綜合題8分1.44分0.18201310填空題4分3.24分0.81201323綜合題7分3.22分0.46201223綜合題7分

3、3.01分0.4320117選擇題4分3.12分0.78201123綜合題7分3.08分0.44（部分?jǐn)?shù)據(jù)來源：北京市教育考試院數(shù)據(jù)分析統(tǒng)計報告）北京中考二次函數(shù)主要以綜合題的形式考查，通常出現(xiàn)在整張試卷的倒數(shù)第三題。通過對近4年北京中考二次函數(shù)考查情況的分析，我們發(fā)現(xiàn)，二次函數(shù)綜合題得分率低，難度系數(shù)小，約為0.40.5（Tips：難度系數(shù)越小，難度越大。中考數(shù)學(xué)整體難度系數(shù)約0.72。），屬于中考數(shù)學(xué)的壓軸題之一。2、 二次函數(shù)綜合性強(qiáng)，最后一問考查數(shù)形結(jié)合思想，區(qū)分度大真題考查考點(diǎn)中考要求分值難度2014中考23題（1）問二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、解析式B1分易2014中考23題（2）問二次

4、函數(shù)與方程和不等式C5分難2013中考23題（3）問二次函數(shù)與方程和不等式C3分難2012中考23題（1）問二次函數(shù)的解析式B2分易2012中考23題（2）問二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)B1分中2012中考23題（3）問二次函數(shù)與方程和不等式C3分難2011中考23題（1）問二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)B2分易2011中考23題（3）問二次函數(shù)與方程和不等式C3分難 結(jié)合20112014年的中考23題（Tips：二次函數(shù)綜合壓軸題），概括地說，二次函數(shù)綜合壓軸題是以函數(shù)為主線，結(jié)合一元二次方程的有關(guān)知識，運(yùn)用幾何圖形的性質(zhì)的綜合性試題。二次函數(shù)綜合題一般為3小問， 考點(diǎn)主要是兩點(diǎn)：I. 前兩問是對開口方向、對

5、稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)、解析式等基礎(chǔ)知識的考查，滿分4分，考生平均分2.71分左右。（屬于必拿分題目）II. 最后一問是對二次函數(shù)與一次函數(shù)交點(diǎn)的情況、二次函數(shù)與方程不等式的關(guān)系等綜合的考查，滿分3分，考場平均分0.52分左右，最后一問是導(dǎo)致失分，拉開學(xué)生之間的差距的關(guān)鍵。（屬壓軸部分）3、 如何突破二次函數(shù)的最難點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)二次函數(shù)綜合題滿分？ 通過對中考二次函數(shù)難度分析和考點(diǎn)分析，學(xué)而思北京中考研究中心給初三考生的建議是：I. 二次函數(shù)綜合題的第（1）問或前兩問的正確率在60%以上，再結(jié)合2015年北京市教育考試院給出的關(guān)于中考改革的意見來看，今年中考綜合難度會略有降低，意味著這兩問難度繼續(xù)降低，所以

6、要參加中考的同學(xué)一定要把此題前兩問分?jǐn)?shù)拿到，以免被拉開差距。II. 最后一問的正確率在20%以下，得分率低，難度大，這是二次函數(shù)壓軸題的核心，也是整張試卷中起到中考選拔作用的題目，所以建議要參加中考的同學(xué)專項(xiàng)訓(xùn)練二次函數(shù)綜合題最后一問的典型題目，總結(jié)歸納對應(yīng)的解題方法和技巧。 那么怎么才能把最后一問的分?jǐn)?shù)收入囊中呢？為幫助同學(xué)們順利解決二次函數(shù)壓軸題，學(xué)而思北京中考研究中心團(tuán)隊(duì)通過數(shù)百道真題分析，提煉兩種方法技巧，原創(chuàng)13種變式題，為初三同學(xué)們帶來權(quán)威、實(shí)用的解題秘籍。二、【2個技巧13個原創(chuàng)變式解決二次函數(shù)最難點(diǎn)】1、近兩年考試真題剖析，方法技巧提煉考查方式：從前幾年所考二次函數(shù)的綜合性問題

7、可以看出，命題模式比較固定，都是給出一個含有字母系數(shù)的二次函數(shù)，通過某些條件確定這個二次函數(shù)的解析式，然后基于這個已知的二次函數(shù)討論某個一次函數(shù)和它（或它的一部分或它的變化形式）的交點(diǎn)情況（二次函數(shù)壓軸題一般有3小問）【二次函數(shù)壓軸題第（1）（2）問的解決技巧】：技巧1. （1）若給出確定的解析式：第一步：計算出對稱軸（利用或者）第二步：再利用因式分解或求根公式求出拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)（2）若給出含字母系數(shù)的解析式：第一步：根據(jù)各種特定的已知條件求出二次函數(shù)解析式（注意二次項(xiàng)系數(shù)不為0）；第二步：求出對稱軸及拋物線與坐標(biāo)軸交點(diǎn)坐標(biāo)；第三步：若求一次函數(shù)與二次函數(shù)的交點(diǎn)，只需把兩解析式聯(lián)立解方程

8、組即可；第四步：若有圖像變換直接利用平移結(jié)論“上加下減，左加右減”，或?qū)ΨQ公式來解決，這些都是解決最后一問的前提注意：求拋物線對稱軸最重要！對稱軸和交點(diǎn)都定后，之后再怎么變化就都盡在掌握了【二次函數(shù)壓軸題第（3）問的解決技巧】：技巧2. 搞定它的秘籍首先就是精確作圖，一定要用100%的耐心加細(xì)心把圖象畫好，這是中考說明中給出的A級，是最基本的要求，再找出臨界點(diǎn)（臨界點(diǎn)：圖象邊緣的兩個點(diǎn)，不等式中恰好在邊界的那些數(shù)值），利用臨界點(diǎn)確定字母系數(shù)的值或取值范圍?！菊骖}案例對比分析12014年北京中考23題】在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過點(diǎn)，（1）求拋物線的表達(dá)式及對稱軸；（2）設(shè)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為

9、，點(diǎn)是拋物線對稱軸上一動點(diǎn)，記拋物線在，之間的部分為圖象（包含，兩點(diǎn)）若直線與圖象有公共點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)圖象，求點(diǎn)縱坐標(biāo)的取值范圍技巧1. 給出含字母系數(shù)的解析式：那首先根據(jù)已知，兩點(diǎn)坐標(biāo)求出二次函數(shù)解析式。確定解析式后，直接計算出對稱軸?！窘馕觥浚?） 經(jīng)過點(diǎn)，代入得：， 拋物線的表達(dá)式為對稱軸.技巧2. 首先精確作圖，再找到D點(diǎn)的臨界位置，發(fā)現(xiàn)C點(diǎn)的縱坐標(biāo)和頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)一樣，那么D點(diǎn)最低就是頂點(diǎn)，再連接和發(fā)現(xiàn)哪條直線和對稱軸交點(diǎn)比較高？顯然是，問題就搞定了。直接代入解析式即可。（2）由題意可知，二次函數(shù)的最小值為，由圖象可以看出點(diǎn)縱坐標(biāo)最小值即為，最大值即與對稱軸交點(diǎn)。直線的解析式當(dāng)時，【真題

10、案例對比分析22013年北京中考23題】在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于點(diǎn)，其對稱軸與軸交于點(diǎn)（1）求點(diǎn)，的坐標(biāo)；（2）設(shè)直線與直線關(guān)于該拋物線的對稱軸對稱，求直線的解析式；（3）若該拋物線在這一段位于直線的上方，并且在這一段位于直線的下方，求該拋物線的解析式技巧1. 解析式中只有一個字母系數(shù)，而且題干中提到了對稱軸，那么直接利用求出對稱軸你看看，連續(xù)兩年都考對稱軸，它重要不重要？！你再看看2012年，一樣也考！【解析】（1）令，得， 則， 又對稱軸， 則（2）由（1）可知，直線的解析式， 關(guān)于對稱軸對稱后的解析式為（3）技巧2. 第（3）問說了一堆什么這一段位于直線上方，那一段位于直線下方

11、，是不是很暈很迷茫？精確作圖就能搞定了有沒有發(fā)現(xiàn)其實(shí)整個圖形是對稱的，觀察一下臨界位置，就是我們剛才說過的不等式中恰好在邊界的數(shù)值，有沒有發(fā)現(xiàn)什么？這么對稱的圖形，當(dāng)然是發(fā)現(xiàn)對稱點(diǎn)了，-1和3是關(guān)于對稱軸對稱的有木有？說明他們倆都恰好在拋物線上，哦了，問題搞定！拋物線的對稱軸為直線x=1，拋物線在這一段與在這一段關(guān)于對稱軸對稱，結(jié)合圖象可以觀察到拋物線在這一段位于直線l的上方，在這一段位于直線的下方，拋物線與直線的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，當(dāng)時， 所以，拋物線過點(diǎn)，當(dāng)時，解得，拋物線的解析式為2、掌握13個原創(chuàng)變式，完勝二次函數(shù)中考最難點(diǎn)根據(jù)近5年北京中考、一二?？荚噷τ诙魏瘮?shù)綜合題（一般23題）的考

12、查情況以及2015年北京市招生管理辦公室和北京市教育考試院給出的關(guān)于中考改革的意見，學(xué)而思中考研究中心專家，根據(jù)歷年此題最后一問的考查形式，原創(chuàng)了如下13個變式題目，幫助同學(xué)們熟悉考法并徹底掌握此類題型，輕松應(yīng)對中考?！纠}】已知二次函數(shù)的圖象與軸交于，與軸交于求該二次函數(shù)的解析式【考法1】拋物線沿軸翻折與平移直線的交點(diǎn)問題 難度：將二次函數(shù)的圖象在軸下方的部分沿軸翻折，其余部分保持不變，另得到一個新的圖象，請你結(jié)合新圖象回答，直線與新圖象的交點(diǎn)情況（2009北京中考對此考點(diǎn)有考察）（2013豐臺一模對此考點(diǎn)有考察）【考法2】拋物線沿軸翻折與旋轉(zhuǎn)直線的交點(diǎn)問題 難度： 將二次函數(shù)的圖象在軸下方

13、的部分沿軸翻折，其余部分保持不變，得到一個新的圖象，請你結(jié)合圖象回答，直線與新圖象的交點(diǎn)情況（2012東城一模對此考點(diǎn)有考察）【考法3】拋物線沿平行于軸的動直線翻折與平移直線的交點(diǎn)問題 難度：將二次函數(shù)的圖象在下方的部分沿翻折，其余部分保持不變，得到一個新的圖象，請你結(jié)合新圖象回答，直線只有兩個公共點(diǎn)時，的取值范圍（2013海淀一模對此考點(diǎn)有考察）【考法4】拋物線沿軸翻折后再平移與定直線的交點(diǎn)問題 難度： 將二次函數(shù)圖象在軸下方的部分沿軸翻折，其余部分保持不變，得到一個新的圖象，再將向上平移個單位，若圖象與過且與軸平行的直線有4個交點(diǎn)，直接寫出取值范圍（2013順義二模對此考點(diǎn)有考察）【考法5

14、】拋物線部分沿軸翻折與平移直線的交點(diǎn)問題 難度：將二次函數(shù)軸左側(cè)的部分沿軸翻折，其余部分保持不變，得到一個新的圖象，請你結(jié)合新圖象回答，直線與新圖象有兩個交點(diǎn)時，的取值范圍（2014東城一模對此考點(diǎn)有考察）【考法6】拋物線部分沿軸翻折與旋轉(zhuǎn)直線的交點(diǎn)問題 難度：保留二次函數(shù)的圖象在軸右側(cè)的部分，同時將其關(guān)于軸作軸對稱，得到的新圖象為，若一次函數(shù)與圖象有三個公共點(diǎn)，求的取值范圍（學(xué)而思北京中考研究中心研發(fā)）【考法7】拋物線部分沿平行于軸的直線翻折與平移直線的交點(diǎn)問題 難度：過點(diǎn)作軸的垂線，將拋物線在軸左側(cè)的部分翻折到直線下方，構(gòu)成新的圖象，若一次函數(shù)與圖象有兩個公共點(diǎn)，求的值（2012海淀二模對

15、此考點(diǎn)有考察）【考法8】過定點(diǎn)的動直線和部分拋物線的交點(diǎn)問題 難度：若在二次函數(shù)圖象上，過點(diǎn)的一次函數(shù)為，記拋物線在兩點(diǎn)間的部分為，若一次函數(shù)與圖象有公共點(diǎn)，求的取值范圍若點(diǎn)坐標(biāo)改為，的取值范圍又是什么？（2014北京中考對此考點(diǎn)有考察）【考法9】平移拋物線和線段的交點(diǎn)問題 難度：已知，將二次函數(shù)向上或向下平移，若平移后的拋物線與線段始終有公共點(diǎn)，求平移距離的取值范圍（2011東城一模對此考點(diǎn)有考察）【考法10】反比例函數(shù)與拋物線交點(diǎn)的范圍問題 難度：反比例函數(shù)的圖象與二次函數(shù)的圖象在第一象限的交點(diǎn)橫坐標(biāo)滿足，求的取值范圍（2014昌平一模對此考點(diǎn)有考察）【考法11】部分拋物線和直線同向平移后

16、的交點(diǎn)問題 難度：二次函數(shù)的圖象在兩點(diǎn)間的部分記為，將圖象向左平移個單位，同時將直線向下平移個單位，當(dāng)平移后的直線與圖象有公共點(diǎn)時，求的取值范圍（2012北京中考對此考點(diǎn)有考察）【考法12】一次函數(shù)的值與二次函數(shù)的值的大小關(guān)系及圖象的位置關(guān)系 難度：已知一次函數(shù)，若只有當(dāng)時，一次函數(shù)的圖象在二次函數(shù)的上方，求一次函數(shù)的解析式（2014順義一模對此考點(diǎn)有考察）【考法13】拋物線和直線交點(diǎn)的位置關(guān)系問題 難度： 若拋物線向上平移個單位后與直線有兩個交點(diǎn)且交點(diǎn)在其對稱軸兩側(cè)，求的取值范圍（2014石景山一模對此考點(diǎn)有考察）三、【規(guī)定時間答題、檢測鞏固練習(xí)】在中考中，本題要求學(xué)生作答時間為15分鐘，你

17、也限定時間趕緊測試下水平吧！【測試1】已知二次函數(shù) 在和時的函數(shù)值相等。（1） 求二次函數(shù)的解析式；（2） 若一次函數(shù)的圖象與二次函數(shù)的圖象都經(jīng)過點(diǎn)，求和的值；（3） 設(shè)二次函數(shù)的圖象與軸交于點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），將二次函數(shù)的圖象在點(diǎn)間的部分（含點(diǎn)和點(diǎn)）向左平移個單位后得到的圖象記為，同時將（2）中得到的直線向上平移個單位。請結(jié)合圖象回答：當(dāng)平移后的直線與圖象有公共點(diǎn)時，的取值范圍。（2012北京中考）【測試2】已知關(guān)于的一元二次方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根（1）求的取值范圍；（2）當(dāng)取最小的整數(shù)時，求拋物線 的頂點(diǎn)坐標(biāo)以及它與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；（3）將（2）中求得的拋物線在軸下方的部分沿軸翻折到軸上方

18、，圖象的其余部分不變，得到一個新圖象請你畫出這個新圖象，并求出新圖象與直線有三個不同公共點(diǎn)時的值（2014燕山一模）【變式題及測試題答案提示】【題干】由二次函數(shù)圖象與軸交于點(diǎn)， 則二次函數(shù)解析式為， 又與軸交于點(diǎn)， 代入得解析式為【變式1】解析：交點(diǎn)為，。代入或聯(lián)立綜上所述時，無交點(diǎn)時，1個交點(diǎn)或時，兩個交點(diǎn)，時，三個交點(diǎn)時，四個交點(diǎn)【變式2】解析：交點(diǎn)為，將交點(diǎn)代入或。當(dāng)或時，2個交點(diǎn)當(dāng)或時，1個交點(diǎn)當(dāng)或時，0個交點(diǎn)【變式3】解析：由題意畫出圖象（1）聯(lián)立 消得交點(diǎn)為將交點(diǎn)代入中得（2）翻折后新圖象中間部分的解析式為，聯(lián)立得 整理得綜上，當(dāng)或時，與函數(shù)有兩個公共點(diǎn)【變式4】解析：如圖，翻折后頂點(diǎn)縱坐標(biāo)為4， 時，有4個交點(diǎn)【變式5】由題意畫出圖形解析：原圖象解析式與直線聯(lián)立 消整理得當(dāng)時，有兩個公共點(diǎn)【變式6】解析：直線和軸左側(cè)部分聯(lián)立整理得直線和軸右側(cè)部分聯(lián)立整理得或【變式7】解析：聯(lián)立原拋物線與直線解析式或時，有兩個公共點(diǎn)【變式8】解析：將點(diǎn)橫坐標(biāo)代入，得，當(dāng)直線過時，當(dāng)直線過時，則若點(diǎn)坐標(biāo)改為，需要先考慮直線和拋物線相切的問題，此時，當(dāng)直線過時，則【變式9】解析：聯(lián)立拋物線和直線消整理得拋物線平移后將代入得將代入得記向上平移為正，則【變式10】解析：時， 時，【變式1