高數(shù)高三數(shù)學(xué)專(zhuān)題精講4

1、數(shù)學(xué)開(kāi)放性問(wèn)題怎么解 數(shù)學(xué)開(kāi)放性問(wèn)題是近年來(lái)高考命題的一個(gè)新方向,其解法靈活且具有一定的探索性,這類(lèi)題型按解題目標(biāo)的操作模式分為:規(guī)律探索型,問(wèn)題探究型,數(shù)學(xué)建模型,操作設(shè)計(jì)型,情景研究型.如果未知的是解題假設(shè),那么就稱(chēng)為條件開(kāi)放題;如果未知的是解題目標(biāo),那么就稱(chēng)為結(jié)論開(kāi)放題;如果未知的是解題推理,那么就稱(chēng)為策略開(kāi)放題.當(dāng)然,作為數(shù)學(xué)高考題中的開(kāi)放題其“開(kāi)放度”是較弱的,如何解答這類(lèi)問(wèn)題,還是通過(guò)若干范例加以講解.例 1 設(shè)等比數(shù)列的公比為 ，前 項(xiàng)和為 ，是否存在常數(shù) ，使數(shù)列 也成等比數(shù)列？若存在，求出常數(shù)；若不存在，請(qǐng) 明 理 由. 講解 存在型開(kāi)放題的求解一般是從假設(shè)存在入手, 逐步深

2、化解題進(jìn)程的. 設(shè)存在常數(shù)， 使數(shù)列 成等比數(shù)列. (i) 當(dāng) 時(shí)， 代入上式得 即=0但, 于是不存在常數(shù) ，使成等比數(shù)列. (ii) 當(dāng) 時(shí)， 代 入 上 式 得 . 綜 上 可 知 , 存 在 常 數(shù) ，使成等比數(shù)列.等比數(shù)列n項(xiàng)求和公式中公比的分類(lèi), 極易忘記公比的 情 形, 可 不 要 忽 視 啊 !例2 某機(jī)床廠今年年初用98萬(wàn)元購(gòu)進(jìn)一臺(tái)數(shù)控機(jī)床，并立即投入生產(chǎn)使用，計(jì)劃第一年維修、保養(yǎng)費(fèi)用12萬(wàn)元，從第二年開(kāi)始，每年所需維修、保養(yǎng)費(fèi)用比上一年增加4萬(wàn)元，該機(jī)床使用后，每年的總收入為50萬(wàn)元，設(shè)使用x年后數(shù)控機(jī)床的盈利額為y萬(wàn)元.（1）寫(xiě)出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）從第幾年開(kāi)始

3、，該機(jī)床開(kāi)始盈利（盈利額為正值）； (3 ) 使用若干年后，對(duì)機(jī)床的處理方案有兩種： (i )當(dāng)年平均盈利額達(dá)到最大值時(shí)，以30萬(wàn)元價(jià)格處理該機(jī)床； (ii )當(dāng)盈利額達(dá)到最大值時(shí)，以12萬(wàn)元價(jià)格處理該機(jī)床，問(wèn)用哪種方案處理較為合算？請(qǐng)說(shuō)明你的理由.講解 本例兼顧應(yīng)用性和開(kāi)放性, 是實(shí)際工作中經(jīng)常遇到的問(wèn)題. （1） =. （2）解不等式 0,得 x.xN， 3 x 17.故從第3年工廠開(kāi)始盈利.（3）(i) 40當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即x=7時(shí)，等號(hào)成立.到2008年，年平均盈利額達(dá)到最大值，工廠共獲利127+30=114萬(wàn)元.(ii)y=-2x2+40x-98= -2（x-10）2 +102，當(dāng)x=

4、10時(shí)，ymax=102.故到2011年，盈利額達(dá)到最大值，工廠共獲利102+12=114萬(wàn)元.解答函數(shù)型最優(yōu)化實(shí)際應(yīng)用題，二、三元均值不等式是常用的工具.例3 已知函數(shù)f(x)= (x-2)(1)求f(x)的反函數(shù)f-1(x); (2)設(shè)a1=1,=-f-1(an)(nN),求an; (3)設(shè)Sn=a12+a22+an2,bn=Sn+1-Sn是否存在最小正整數(shù)m,使得對(duì)任意nN,有bn成立？若存在，求出m的值；若不存在說(shuō)明理由. 講解 本例是函數(shù)與數(shù)列綜合的存在性問(wèn)題, 具有一定的典型性和探索性.(1) y=,x0).(2) , =4.是公差為4的等差數(shù)列.a1=1, =+4(n-1)=4n

5、-3.an0 , an=.(3) bn=Sn+1-Sn=an+12=, 由bn對(duì)于nN成立.5 ,m5,存在最小正數(shù)m=6,使得對(duì)任意nN有bn成立.為了求an ,我們先求,這是因?yàn)槭堑炔顢?shù)列, 試問(wèn): 你能夠想到嗎? 該題是構(gòu)造等差數(shù)列的一個(gè)典范.例4 已知數(shù)列在直線x-y+1=0上.（1） 求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；（2）若函數(shù)求函數(shù)f(n)的最小值；(3)設(shè)表示數(shù)列bn的前n項(xiàng)和.試問(wèn):是否存在關(guān)于n 的整式g(n), 使得對(duì)于一切不小于2的自然數(shù)n恒成立?若存在,寫(xiě)出g(n)的解析式,并加以證明;若不存在,說(shuō)明理由. 講解 從 規(guī) 律 中 發(fā) 現(xiàn) ,從 發(fā) 現(xiàn) 中 探 索. （1） （2）

6、 ,.（3）, . 故存在關(guān)于n的整式使等式對(duì)于一切不小2的自然數(shù)n恒成立.事實(shí)上, 數(shù)列an是等差數(shù)列, 你知道嗎？ 例5 深夜，一輛出租車(chē)被牽涉進(jìn)一起交通事故，該市有兩家出租車(chē)公司紅色出租車(chē)公司和藍(lán)色出租車(chē)公司，其中藍(lán)色出租車(chē)公司和紅色出租車(chē)公司分別占整個(gè)城市出租車(chē)的85%和15%。據(jù)現(xiàn)場(chǎng)目擊證人說(shuō)，事故現(xiàn)場(chǎng)的出租車(chē)是紅色，并對(duì)證人的辨別能力作了測(cè)試，測(cè)得他辨認(rèn)的正確率為80%，于是警察就認(rèn)定紅色出租車(chē)具有較大的肇事嫌疑. 請(qǐng)問(wèn)警察的認(rèn)定對(duì)紅色出租車(chē)公平嗎？試說(shuō)明理由.講解 設(shè)該城市有出租車(chē)1000輛，那么依題意可得如下信息：證人所說(shuō)的顏色（正確率80%）真實(shí)顏色藍(lán)色紅色合計(jì)藍(lán)色（85%）

7、680170850紅色（15%）30120150合計(jì)7102901000從表中可以看出，當(dāng)證人說(shuō)出租車(chē)是紅色時(shí)，且它確實(shí)是紅色的概率為，而它是藍(lán)色的概率為. 在這種情況下，以證人的證詞作為推斷的依據(jù)對(duì)紅色出租車(chē)顯然是不公平的.本題的情景清新, 涉及到新教材中概率的知識(shí), 上述解法中的列表技術(shù)顯示了一定的獨(dú)特性, 在數(shù)學(xué)的應(yīng)試復(fù)課中似乎是很少見(jiàn)的. 例6 向明中學(xué)的甲、乙兩同學(xué)利用暑假到某縣進(jìn)行社會(huì)實(shí)踐，對(duì)該縣的養(yǎng)雞場(chǎng)連續(xù)六年來(lái)的規(guī)模進(jìn)行調(diào)查研究，得到如下兩個(gè)不同的信息圖： （A）圖表明：從第1年平均每個(gè)養(yǎng)雞場(chǎng)出產(chǎn)1萬(wàn)只雞上升到第6年平均每個(gè)養(yǎng)雞場(chǎng)出產(chǎn)2萬(wàn)只雞; （B）圖表明：由第1年養(yǎng)雞場(chǎng)個(gè)數(shù)

8、30個(gè)減少到第6年的10個(gè).請(qǐng)你根據(jù)提供的信息解答下列問(wèn)題： （1）第二年的養(yǎng)雞場(chǎng)的個(gè)數(shù)及全縣出產(chǎn)雞的總只數(shù)各是多少？ （2）哪一年的規(guī)模最大？為什么？講解 （1）設(shè)第n年的養(yǎng)雞場(chǎng)的個(gè)數(shù)為，平均每個(gè)養(yǎng)雞場(chǎng)出產(chǎn)雞萬(wàn)只，由圖（B）可知, =30，且點(diǎn)在一直線上，從而 由圖（A）可知, 且點(diǎn)在一直線上，于是 =（萬(wàn)只），（萬(wàn)只）第二年的養(yǎng)雞場(chǎng)的個(gè)數(shù)是26個(gè)，全縣出產(chǎn)雞的總只數(shù)是31.2萬(wàn)只；（2）由（萬(wàn)只），第二年的養(yǎng)雞規(guī)模最大，共養(yǎng)雞31.2萬(wàn)只.有時(shí)候我們需要畫(huà)出圖形, 有時(shí)候我們卻需要從圖形中采集必要的信息, 這正反映了一個(gè)事物的兩個(gè)方面. 看來(lái), 讀圖與識(shí)圖的能力是需要不斷提升的.例7 已知

9、動(dòng)圓過(guò)定點(diǎn)P（1，0），且與定直線相切，點(diǎn)C在l上. （1）求動(dòng)圓圓心的軌跡M的方程； （2）設(shè)過(guò)點(diǎn)P，且斜率為的直線與曲線M相交于A，B兩點(diǎn). （i）問(wèn)：ABC能否為正三角形？若能，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；若不能，說(shuō)明理由； （ii）當(dāng)ABC為鈍角三角形時(shí)，求這種點(diǎn)C的縱坐標(biāo)的取值范圍.講解 本例主要考查直線、圓與拋物線的基本概念及位置關(guān)系，是解析幾何中的存在性問(wèn)題.（1）由曲線M是以點(diǎn)P為焦點(diǎn)，直線l為準(zhǔn)線的拋物線，知曲線M的方程為.（2）（i）由題意得，直線AB的方程為 消y得于是, A點(diǎn)和B點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A，B（3，），(3，)假設(shè)存在點(diǎn)C（1，y），使ABC為正三角形，則|BC|=|AB|且|

10、AC|=|AB|，即有 由得因?yàn)椴环?，所以由，組成的方程組無(wú)解.故知直線l上不存在點(diǎn)C，使得ABC是正三角形.（ii）設(shè)C（1，y）使ABC成鈍角三角形，由即當(dāng)點(diǎn)C的坐標(biāo)是（1，）時(shí)，三點(diǎn)A，B，C共線，故. ， ， . (i) 當(dāng)，即， 即為鈍角. (ii) 當(dāng)，即， 即為鈍角.(iii)當(dāng)，即， 即. 該不等式無(wú)解，所以ACB不可能為鈍角.故當(dāng)ABC為鈍角三角形時(shí)，點(diǎn)C的縱坐標(biāo)y的取值范圍是.需要提及的是, 當(dāng)ABC為鈍角三角形時(shí), 鈍角的位置可能有三個(gè),需要我們進(jìn)行一一探討.例8 已知是定義在R上的不恒為零的函數(shù)，且對(duì)于任意的a，bR都滿(mǎn)足關(guān)系式 . （1）求f（0），f（1）的值；

11、（2）判斷的奇偶性，并證明你的結(jié)論； （3）若，求數(shù)列un的前n項(xiàng)的和Sn.講解 本題主要考查函數(shù)和數(shù)列的基本知識(shí)，考查從一般到特殊的取特值求解技巧. （1）在中,令得 . 在中,令得 ，有 . （2）是奇函數(shù),這需要我們進(jìn)一步探索. 事實(shí)上 故為奇函數(shù).（2） 從規(guī)律中進(jìn)行探究,進(jìn)而提出猜想. 由 , 猜測(cè) . 于是我們很易想到用數(shù)學(xué)歸納法證明. 1 當(dāng)n=1時(shí)，公式成立； 2假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，成立，那么當(dāng)n=k+1時(shí)，公式仍然成立. 綜上可知，對(duì)任意成立. 從而 . ，. 故 例9 若、，(1)求證：； (2)令，寫(xiě)出、的值，觀察并歸納出這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式； (3)證明：存在不等于零的常數(shù)p

12、，使是等比數(shù)列，并求出公比q的值.講解 (1)采用反證法. 若，即, 解得 從而與題設(shè),相矛盾， 故成立. (2) 、, .（3）因?yàn)?又,所以,因?yàn)樯鲜绞顷P(guān)于變量的恒等式，故可解得、.我們證明相等的問(wèn)題太多了,似乎很少見(jiàn)到證明不相等的問(wèn)題,是這樣嗎?例10 如圖，已知圓A、圓B的方程分別是動(dòng)圓P與圓A、圓B均外切，直線l的方程為：（1）求圓P的軌跡方程，并證明：當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P到點(diǎn)B的距離與到定直線l距離的比為定值；（2） 延長(zhǎng)PB與點(diǎn)P的軌跡交于另一點(diǎn)Q，求的最小值； （3）如果存在某一位置，使得PQ的中點(diǎn)R在l上的射影C，滿(mǎn)足求a的取值范圍講解（1）設(shè)動(dòng)圓P的半徑為r，則PA，PB| = r + ， |PA| PB| = 2 點(diǎn)P的軌跡是以A、B為焦點(diǎn)，焦距為4，實(shí)軸長(zhǎng)為2的雙曲線的右準(zhǔn)線的右支，其方程為 （x 1）若 , 則l的方程為雙曲線的右準(zhǔn)線, 點(diǎn)P到點(diǎn)B的距離與到l的距離之比為雙曲線的離心率e = 2.(2)若直線PQ的斜率存在，設(shè)斜率為k，則直線PQ