趨勢時間序列模型

1、引言：引言：前面我們討論的是平穩(wěn)時間序列的建模和預測方法，即所討論的時間序列都是寬平穩(wěn)的。一個寬平穩(wěn)的時間序列的均值和方差均值和方差都是常數(shù)，并且它的協(xié)方差有時間上協(xié)方差有時間上的不變性。 但是許多經(jīng)濟領域產生的時間序列都是非平穩(wěn)的。對協(xié)方差過程，非平穩(wěn)時間序列會出現(xiàn)各種情形，如它們具有非常數(shù)的均值t，或非常數(shù)的二階矩，如非常方差t2，或同時具有這兩種情形的非平穩(wěn)序列。第六章 趨勢時間序列模型第六章 趨勢時間序列模型第一節(jié) 非平穩(wěn)時間序列模型的種類第二節(jié) 非平穩(wěn)性的檢驗第三節(jié) 平穩(wěn)化方法第三節(jié) 求和自回歸滑動平均模型(ARIMA) 在現(xiàn)實世界中的大多數(shù)經(jīng)濟時間序列都表現(xiàn)出趨勢性，即時間序列值隨

2、時間的變化呈現(xiàn)出增加或減少趨勢和方差的不穩(wěn)定性。例如，城鎮(zhèn)居民人均可支配收入數(shù)據(jù)序列就有上升趨勢，并且波動幅度逐年增大，表現(xiàn)出方差的不平穩(wěn)性。因此在對時間序列建立模型之前，必須分析時間序列的平穩(wěn)性和平穩(wěn)化方法，這對于我們進行時間序列的統(tǒng)計分析、預測與控制，都具有十分重要的意義。 趨勢性時間序列是在圖形上表現(xiàn)出一個長期上升或向下的趨勢。一般情況下，通過時間序列觀察值來判斷序列的趨勢性是比較容易，但是有些情況下，就比較困難，這主要原因是從短期看，時間序列具有趨勢變動，但從長期看，它只不過是循環(huán)波動的一部分。時間序列的趨勢性，有確定性和非確定性兩種，前者有線性趨勢和非線性趨勢。具有非確定性趨勢的序列

3、，往往表現(xiàn)為一種慢慢地向上或向下漂移的時間序列.第一節(jié) 非時間序列模型的種類一、均值非平穩(wěn)過程二、方差和自協(xié)方差非平穩(wěn)過程 返回本節(jié)首頁下一頁上一頁一、均值非平穩(wěn)過程 均值非平穩(wěn)過程指隨機過程的均值隨均值函數(shù)的變化而變化。 我們可以引進兩種非常有用的均值非平穩(wěn)過程：確定趨勢模型和隨機趨勢模型。返回本節(jié)首頁下一頁上一頁（一）確定趨勢模型當非平穩(wěn)過程均值函數(shù)可由一個特定的時間趨勢表示時，一個標準的回歸模型曲線可用來描述這種現(xiàn)象。.,:,1010模型來描述前面介紹的可以用程是一個零均值的平穩(wěn)過其中趨勢模型表示如下則原序列可用確定的有服從線性趨勢若均值例如ARMAyytxtttttttttyttxtt

4、22102210:,原序列可用下式表示對二次均值函數(shù)此外，均值函數(shù)還可能是指數(shù)函數(shù)、正弦余弦波函數(shù)等，這些模型都可以通過標準的回歸分析處理。處理方法是先擬合出t的具體形式，然后對殘差序列yt=xt t按平穩(wěn)過程進行分析和建模。（二）隨機趨勢模型隨機趨勢模型又稱齊次非平穩(wěn)ARMA模型。為理解齊次非平穩(wěn)ARMA模型，可先對ARMA模型的性質作一回顧。.1)(1)(:)()(:),(221221為白噪聲序列其中模型如下假設有一個tqqpttaBBBBBBBBaBxBqpARMA.,0)(.0)(:,就是非平穩(wěn)的么那的根不都在單位圓外如果根都在單位圓外的則必須有為滿足平穩(wěn)性txBBttddaBxBBB

5、BBdB)()1)(:)1)()(:,0)(于是原模型可寫為則可令而其它根都在單位圓外個根落在單位圓上恰有現(xiàn)假設.)()()(:,)1 (.,運算后可變?yōu)槠椒€(wěn)序列差分次程經(jīng)過若干次可見一個齊次非平穩(wěn)過則令稱為齊次性的階為齊次非平穩(wěn)過程這時我們就稱daBwBxBwdxtttdtt可見我們所能分析處理的僅是一些特殊的非平穩(wěn)序列，即齊次非平穩(wěn)序列。齊次非平穩(wěn)序列。由于齊次非平穩(wěn)序列模型恰有d個特征根在單位圓上，即有d個單位根，因此齊次非平穩(wěn)序列又稱單位根過程。二、方差和自協(xié)方差非平穩(wěn)過程一個均值平穩(wěn)過程不一定是方差和自協(xié)方差平穩(wěn)過程，同時一個均值非平穩(wěn)過程也可能是方差和自協(xié)方差非平穩(wěn)過程。不是所有的

6、非平穩(wěn)問題都可以用差分方法解決，還有期望平穩(wěn)和方差非平穩(wěn)序列，為了克服這個問題，我們需要適當進行方差平穩(wěn)化變換。返回本節(jié)首頁下一頁上一頁010ln:,)(tttxxx表示如下穩(wěn)一般用冪變換使方差平這個變換最早由BOX和COX于1964年提出，因此稱作BOXCOX變換。其中為變換參數(shù)。第二節(jié) 非平穩(wěn)性的檢驗一、通過時間序列的趨勢圖來判斷二、通過自相關函數(shù)(ACF)判斷三、特征根檢驗法四、用非參數(shù)檢驗方法判斷序列的平穩(wěn)性五、隨機游走的單位根檢驗返回本節(jié)首頁下一頁上一頁一、通過時間序列的趨勢圖來判斷這種方法通過觀察時間序列的趨勢圖來判斷時間序列是否存在趨勢性或周期性。優(yōu)點：簡便、直觀。對于那些明顯為

7、非平穩(wěn)的時間序列，可以采用這種方法。缺點：對于一般的時間序列是否平穩(wěn)，不易用這種方法判斷出來。返回本節(jié)首頁下一頁上一頁二、通過自相關函數(shù)(ACF)判斷平穩(wěn)時間序列的自相關函數(shù)(ACF)要么是截尾的，要么是拖尾的。因此我們可以根據(jù)這個特性來判斷時間序列是否為平穩(wěn)序列。若時間序列具有上升或下降的趨勢若時間序列具有上升或下降的趨勢，那么對于所有短時滯來說，自相關系數(shù)大且為正，而且隨著時滯k的增加而緩慢地下降。返回本節(jié)首頁下一頁上一頁若序列無趨勢若序列無趨勢，但是具有季節(jié)性但是具有季節(jié)性，那末對于按月采集的數(shù)據(jù)，時滯12，24，36的自相關系數(shù)達到最大(如果數(shù)據(jù)是按季度采集，則最大自相關系數(shù)出現(xiàn)在4，

8、8，12， )，并且隨著時滯的增加變得較小。若序列是有趨勢的，且具有季節(jié)性若序列是有趨勢的，且具有季節(jié)性，其自相關函數(shù)特性類似于有趨勢序列，但它們是擺動的，對于按月數(shù)據(jù)，在時滯12，24，36，等處具有峰態(tài)；如果時間序列數(shù)據(jù)是按季節(jié)的，則峰出現(xiàn)在時滯4，8，12， 等處。三、特征根檢驗法（P146）.1;, 1:,:則該序列就是非平穩(wěn)的如果的則可以認為序列是平穩(wěn)即件都滿足平穩(wěn)性條若所有的特征根特征根組成的特征方程的求由該適應模型的參數(shù)然后先擬合序列的適應模型基本思想返回本節(jié)首頁下一頁上一頁根據(jù)擬合出的時序模型參數(shù)檢驗(P146)基本思想：時間序列模型的平穩(wěn)性條件不僅可以用特征根來表示，也可以用

9、模型的表示，因此要檢驗一個序列是否平穩(wěn)，可以先擬合適應的模型，然后再根據(jù)求出的來檢驗序列是否平穩(wěn)。檢驗方法：參見課本146.;,.1:),(111:,), 2(1,), 1 (,.21212211作進一步的判定如果滿足則需要列原序列肯定為非平穩(wěn)序那么即如果上述條件不滿足種便捷的途徑是否平穩(wěn)提供了一這為我們判斷時間序列都有如下必要條件模型要滿足平穩(wěn)性一般的平穩(wěn)性條件為模型平穩(wěn)性條件為模型如例如時間序列模型較為方便歸階數(shù)較低的這種檢驗方法對于自回pqpARMAqARMAqARMA四、用非參數(shù)檢驗方法判斷序列的平穩(wěn)性（一）什么是參數(shù)檢驗和非參數(shù)檢驗？參數(shù)檢驗：參數(shù)檢驗是這樣一種檢驗，它的模型對抽出研

10、究樣本的總體的分布作了限制性假定。如果對總體的分布不知道或了解很少，則參數(shù)檢驗方法就不可靠，甚至會發(fā)生較大偏差。返回本節(jié)首頁下一頁上一頁非參數(shù)檢驗：非參數(shù)檢驗是一種不依賴于總體分布知識的檢驗方法。由于非參數(shù)檢驗不對總體分布加以限制性假定，所以它也稱為自由分布檢驗。非參數(shù)檢驗與參數(shù)檢驗相比有如下優(yōu)點：a.檢驗條件比較寬松，適應性強 。b.參數(shù)檢驗對樣本容量的要求極低。c.檢驗方法靈活，用途更廣泛。非參數(shù)檢驗主要用順序統(tǒng)計量進行檢驗，因此它既可檢驗定距數(shù)據(jù)和定比數(shù)據(jù)，又可以檢驗定類數(shù)據(jù)和定序數(shù)據(jù)；而參數(shù)檢驗只能處理定距數(shù)據(jù)和定比數(shù)據(jù)。因為這些優(yōu)點，非參數(shù)檢驗比參數(shù)檢驗應用更廣泛。d.非參數(shù)檢驗計算

11、相對簡單，易于理解。非參數(shù)檢驗的缺點：如果參數(shù)統(tǒng)計模型的所有假設在數(shù)據(jù)中事實上都能滿足，而且測量達到了所要求的水平(定距數(shù)據(jù)或定比數(shù)據(jù))，那么用非參數(shù)檢驗就浪費了數(shù)據(jù)中的信息。也就是說此時非參數(shù)檢驗的功效不如參數(shù)檢驗高。(二)非參數(shù)檢驗方法在檢驗序列平穩(wěn)性中的應用1.游程檢驗方法(1)什么是游程一個游程定義為一個具有相同符號的連續(xù)串，在它前后相接的是與其不同的符號或完全無符號。例如，觀察的結果用加、減標志表示，得到一組這樣的記錄順序：+-+-+-+這個樣本的觀察結果共有7個游程。（2）用游程檢驗方法檢驗時間序列平穩(wěn)性的基本思想.,程數(shù)并可求出這個序列的游序列這樣就形成了一個符號號的觀察值記為大

12、比號小的觀察值記為對序列中比設其樣本均值為對于一個時間序列xxxxt如果符號序列是隨機的，那么“+”和“-”將隨機出現(xiàn)，因此它的游程數(shù)既不會太多，又不會太少；反過來說如果符號序列的游程總數(shù)太少或太多，我們就可以認為時間序列存在某種趨勢性或周期性。.) 1 , 0()()(:)15() 1() 12(2)(12)(:,212212121212121服布漸近服從有大于或在大樣本情況下的期望和方差分別如下數(shù)游程總明，對于隨機序列可以證總數(shù)為出現(xiàn)的次數(shù)，游程與為記號序列中分別和設序列長度為NrDrErZNNNNNNNNrDNNNNrErrNNNNNN(3)檢驗方法a.小樣本情況零假設： H0：加號和減

13、號以隨機的方式出現(xiàn)檢驗方法：取顯著性水平(一般取0.05),查單樣本游程檢驗表，得出抽樣分布的臨界值rL、rU判定：若rL r rL 或r rU則拒絕零假設，序列是非平穩(wěn)的。b.大樣本情況零假設： H0：加號和減號以隨機的方式出現(xiàn)檢驗方法：給定顯著性水平(一般取0.05)查標準正態(tài)分布表，得出抽樣分布的臨界值-z ,+z 。并計算統(tǒng)計量:)()(rDrErZ判定：若-z z+z ,則不能拒絕零假設，即不能拒絕序列是平穩(wěn)的;否則拒絕零假設，序列是非平穩(wěn)的。（例見P151例6.5）非參數(shù)檢驗可以很方便的通過SPSS軟件進行，游程檢驗可見操作。實例：用游程檢驗S&T數(shù)據(jù)的平穩(wěn)性；步驟如下：1.打開S

14、PSS輸入數(shù)據(jù)2.依次單擊AnalyzeNonparmetric TestsRuns; 打開Runs對話框。3.在源變量對話框中選擇“stpoor”進入“Test Variable list”欄內4.選中“cut point”欄中“mean”選項5.單擊“OK”按紐，開始進行統(tǒng)計分析。288.9746102921944-13.532.000Test ValueaCases = Test ValueTotal CasesNumber of RunsZAsymp. Sig. (2-tailed)STPOORMeana. 輸出結果分析：因為P值（sig.）極小，所以拒絕零假設，故原序列是非平穩(wěn)的。也

15、可以通過其它的非參數(shù)檢驗方法來判斷序列是否平穩(wěn)，如Spearman等級相關系數(shù)，Kendall 相關系數(shù)等。五、隨機游走的單位根檢驗(Unit root test)在第二章我們已經(jīng)講過，隨機游走是一種非平穩(wěn)過程，其實隨機游走一種特殊的齊次非平穩(wěn)過程。 檢驗序列是否為隨機游走，通常利用David Dickey和Wayne Fuller的單位根檢驗。單位根的含義和檢驗原理如下：返回本節(jié)首頁下一頁上一頁., 1:.),(:11間序列序列就叫做隨機游走時一個有位單位根的時間根有一個單位那么就說隨機變量并確實發(fā)現(xiàn)如果我們作如下回歸非平穩(wěn)的情況它是一種的單位根問題這時我們就遇到了所謂無自相關恒定方差點零均

16、值為白噪聲其中可由下式描述假設序列tttttttttyuyyuuyyy)(.)(.,0.;, 0,)1 (:11檢驗由此得名統(tǒng)計量進行檢驗算的計和這時需要根據(jù)分布不服從值并通常計算的下然而要在原假設序列是平穩(wěn)的否則它是非平穩(wěn)的是隨機游走過程則如果檢驗出對上述模型作回歸下等價形式隨機游走模型可寫成如DFtauFullerDickeyttyuyuyytttttt檢驗時：如果所計算的統(tǒng)計量的絕對值(即|)大于DF分布表中臨界值的絕對值，則拒絕=0的假設，原序列是平穩(wěn)的；否則，如果它小于臨界值，則時間序列是非平穩(wěn)的。注：Eviews輸出結果中直接計算出了統(tǒng)計量及其臨界值。（所列出的是麥金農MacKin

17、non對DF分布表擴充后的臨界值）., 0,).(),(int:)3()2() 1 (:,1121111存在一個單位根即原假設都是在上面每一種有形中為趨勢項為常數(shù)項其中檢驗以下形式的回歸作人們常用原因由于理論上和實踐上的trendterceptuytyuyyuyyFullerDickeyttttttttt用Eviews進行單位根檢驗時給出了上述選項。.)().(, 0.,:) 3(,2111121檢驗該檢驗被稱為是非平穩(wěn)的即個單位根有一即時該檢驗的原假設仍是獨立的要做到使上式中少個滯后的差分項模型中要包含多等如分項上式中包含有滯后的差式修改如下就把上述如果誤差項是自相關的FullerDicke

18、yAugmentedADFyyyyyyytytttttttmiititt1.單位根檢驗例可見操作。2.補充利用Eviews對ARMA模型向多期預測內容。見Eviews操作。第三節(jié) 平穩(wěn)化方法一 差分運算的實質二 差分方式的選擇三 過差分一 差分運算的實質差分方法是一種非常簡便、有效的確定性信息提取方法Cramer分解定理在理論上保證了適當階數(shù)的差分一定可以充分提取確定性信息差分運算的實質是使用自回歸的方式提取確定性信息 diitiditdtdxCxBx0) 1()1 (二 差分方式的選擇序列蘊含著顯著的線性趨勢，一階差分就可以實現(xiàn)趨勢平穩(wěn) 序列蘊含著曲線趨勢，通常低階（二階或三階）差分就可以提

19、取出曲線趨勢的影響 對于蘊含著固定周期的序列進行步長為周期長度的差分運算，通?？梢暂^好地提取周期信息 例1 【例1.1】1964年1999年中國紗年產量序列蘊含著一個近似線性的遞增趨勢。對該序列進行一階差分運算 考察差分運算對該序列線性趨勢信息的提取作用 1tttxxx差分前后時序圖原序列時序圖差分后序列時序圖例2嘗試提取1950年1999年北京市民用車輛擁有量序列的確定性信息差分后序列時序圖一階差分二階差分例3差分運算提取1962年1月1975年12月平均每頭奶牛的月產奶量序列中的確定性信息 差分后序列時序圖一階差分1階12步差分三 過差分 足夠多次的差分運算可以充分地提取原序列中的非平穩(wěn)確

20、定性信息但過度的差分會造成有用信息的浪費 例4假設序列如下 考察一階差分后序列和二階差分序列 的平穩(wěn)性與方差 ttatx10比較一階差分平穩(wěn)方差小二階差分（過差分）平穩(wěn)方差大111tttttaaxxx21122ttttttaaaxxx212)()(tttaaVarxVar22126)2()(ttttaaaVarxVar第四節(jié) ARIMA模型一 ARIMA模型結構二 ARIMA模型性質三 ARIMA模型建模四 ARIMA模型預測一 ARIMA模型結構使用場合差分平穩(wěn)序列擬合模型結構tsaExtsaaEaVaraEaBxBtsstattttd, 0, 0)(,)(0)()()(2， BBBqqpp

21、ddBBBB11111式中： 為零均值白噪聲序列。其中，上述模型可簡記：aaXtttdBB注意: 由上式可知,ARIMA模型的實質就是差分運算與ARMA模型的組合.這說明任何非平穩(wěn)時間序列只要通過適當階數(shù)的差分實現(xiàn)差分后平穩(wěn),就可以對差分后序列進行ARMA模型擬合了. XCXitiddidtd 01平均模型。回歸移動模型，所以稱為求和自動平均它又可以擬合自回歸移序列若干值的加權和，的即差分序列等于原序列式中，)(,!ARMAididCidARIMA 模型族d=0ARIMA(p,d,q)=ARMA(p,q)P=0ARIMA(P,d,q)=IMA(d,q)q=0ARIMA(P,d,q)=ARI(p

22、,d)d=1,P=q=0ARIMA(P,d,q)=random walk model隨機游走模型( random walk)模型結構模型產生典故Karl Pearson(1905)在自然雜志上提問：假如有個醉漢醉得非常嚴重，完全喪失方向感，把他放在荒郊野外，一段時間之后再去找他，在什么地方找到他的概率最大呢？tsaExtsaaEaVaraEaxxtsstttttt, 0, 0)(,)(0)(21，二 ARIMA模型的性質1 平穩(wěn)性ARIMA(p,d,q)模型共有p+d個特征根，其中p個在單位圓內，d個在單位圓上。所以當 時ARIMA(p,d,q)模型非平穩(wěn)。例5ARIMA(0,1,0)時序圖0

23、dARIMA模型的方差齊性 時，原序列方差非齊性d階差分后，差分后序列方差齊性0d2110)()()0 , 1 , 0(txVarxVarARIMAttt模型2)()()0 , 1 , 0(ttVarxVarARIMA模型三 ARIMA模型建模步驟獲獲得得觀觀察察值值序序列列平穩(wěn)性平穩(wěn)性檢驗檢驗差分差分運算運算YN白噪聲白噪聲檢驗檢驗Y分分析析結結束束N擬合擬合ARMA模型模型例6對1952年1988年中國農業(yè)實際國民收入指數(shù)序列建模 一階差分序列時序圖一階差分序列自相關圖一階差分后序列白噪聲檢驗延遲階數(shù) 統(tǒng)計量P值615.330.01781218.330.10601824.660.13442

24、擬合ARMA模型偏自相關圖建模定階ARIMA(0,1,1)參數(shù)估計模型檢驗模型顯著參數(shù)顯著ttBxB)70766. 01 (99661. 4)1 (48763.56)(tVar四 ARIMA模型預測原則最小均方誤差預測原理 Green函數(shù)遞推公式jdpjdpjj1122112111預測值)()(111111tltltlltltltx)(let)( lxt22121)1 ()(0)(lttleVarleE例7已知ARIMA(1,1,1)模型為 且求 的95的置信區(qū)間 ttBxBB)6 . 01 ()1)(8 . 01 (5 . 41tx3 . 5tx8 . 0t123tx預測值等價形式計算預測值69. 5) 1 (8 . 0)2(8 . 1) 3(59. 58 . 0) 1 (8 . 1)2(46. 56 . 08 . 08 . 1) 1 (1ttttttttttxxxxxxxxx12126 . 08 . 08 . 1)6 . 01 ()8 . 08 . 11 (tttttttxxxBxBB計算置信區(qū)間Green函數(shù)值方差95置信區(qū)間36. 18 . 08 . 12 . 16 . 08 . 11212896. 4)1 ()3(22221eVar)75. 9 ,63. 1 ()3(96. 1) 3(,)