高等數(shù)學(xué)多元函數(shù)極值典型問題

1、1設(shè)函數(shù)在處取得極值，試求常數(shù)a，并確定極值的類型2求函數(shù)在區(qū)域上的最大值和最小值3（04研） 設(shè)是由確定的函數(shù)，求的極值點(diǎn)和極值4 求函數(shù)在條件（其中）下的條件極值1設(shè)函數(shù)在處取得極值，試求常數(shù)a，并確定極值的類型分析 這是二元函數(shù)求極值的反問題， 即知道取得極值，只需要根據(jù)可導(dǎo)函數(shù)取得極值的必要條件和充分條件即可求解本題解因?yàn)樵谔幍钠珜?dǎo)數(shù)均存在，因此點(diǎn)必為駐點(diǎn)， 則有 ，因此有，即因?yàn)椋?，所以，函數(shù)在處取得極小值2求函數(shù)在區(qū)域上的最大值和最小值分析這是多元函數(shù)求最值的問題只需要求出函數(shù)在區(qū)域內(nèi)可能的極值點(diǎn)及在區(qū)域邊界上的最大值和最小值點(diǎn)，比較其函數(shù)值即可 解由，解得，且在邊界上，它在上最

2、大值和最小值分別為1和；同理，在邊界上有相同的結(jié)果在邊界上，在上最大值和最小值為1和；同理，在邊界上有相同的結(jié)果 綜上所述，函數(shù)在區(qū)域上的最大值和最小值分別為 ， 注 求多元連續(xù)函數(shù)在有界閉區(qū)域上的最大值和最小值時(shí)，求出可能的極值點(diǎn)后，并不需要判別它是否為極值點(diǎn)另外，求函數(shù)在邊界上的最大值和最小值時(shí)，一般是將問題化為一元函數(shù)的最值問題或用其他方法，比如用條件極值的方法或不等式的技巧 3（04研） 設(shè)是由確定的函數(shù)，求的極值點(diǎn)和極值分析 本題考查由方程確定的隱函數(shù)的極值問題，應(yīng)先求出駐點(diǎn)再求出二階偏導(dǎo)數(shù)，利用充分條件判定是否為極值點(diǎn)解因?yàn)?，所以方程兩邊分別對與求偏導(dǎo)，得令 ，解之得 即 將，代入可得 或 ，即點(diǎn)與點(diǎn)是可能的極值點(diǎn)，下面判定是否為極值點(diǎn)在（1）式兩邊對求偏導(dǎo)，得，在（1）式兩邊對求偏導(dǎo)，得，在（2）式兩邊對求偏導(dǎo)，得，所以故，又，從而點(diǎn)是的極小值點(diǎn)，且極小值為類似地由故，又，所以點(diǎn)是的極大值點(diǎn)，且極大值為綜上所述，點(diǎn)是的極小值點(diǎn)，且極小值為；點(diǎn)是的極大值點(diǎn)，且極大值為4 求函數(shù)在條件（其中）下的條件極值分析條件極值問題可考慮將其轉(zhuǎn)化為無條件極值，或用拉格朗日乘法來求解法1將代入函數(shù)，得，于是由解得，則 ， ， ， 所以，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極大值，且極大值為 解法2令，于是由解得，即為可