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1、湖州師院第二屆高等數學競賽試卷（工科組）競賽時間：2004年11月7日 8:00-11:00下屬學院-專業(yè)-班級-學號-成績-一二三四五六一、計算題1、求的值。（選自廣東省大學生高等數學競賽試題）解：=令 則原式2、計算積分（選自2000年全國碩士研究生入學試題）解：，由定積分的幾何意義知，表示由上半圓與直線所圍成的圖形的面積。故3、 求冪級數的收斂域，并求其和函數。（選自1990年高數一、二碩士研究生入學試題）解： （分別求出數和的和函數） 由可知冪級數的收斂半徑為 收斂區(qū)間為，并且 因此 4、 求積分值（選自高等數學雙博士課堂）解： 因為 故不是瑕點。但此反常積分還是可以這樣處理：而 故

2、二、求曲面和所圍成的體積V和表面積S。解： 由得 故得 解得（舍去），所以投影區(qū)域 因為 三、計算曲線積分 其中是由位于第一象限中的直線段與位于第二象限中的圓弧構成的曲線，方向是由到再到（選自高等數學雙博士課堂）解： 添加輔助線，使成為封閉曲線，故由格林公式，得 +=四、 設函數在上連續(xù)，在內可導，其中且，試證明：在內必有一點。使（選自廣東省大學生高等數學競賽試題）證：關鍵是要構造一個合適的輔助函數，使它符合羅爾定理的三個條件。令， 此函數顯然在上連續(xù)，在內可導，且。由羅爾定理知：在內必有一點，使 即，故得 五、求半徑為的圓的內接三角形中面積最大者。（選自第一屆北京市大學生（非理科）數學競賽試題）解： 設圓心到此內接三角形三個頂點所構成的圓心角分別為，則設所對應的三個三角形的面積分別為 圓內接三角形面積 令得 或當此時圓內接三角形縮為此三角形邊界上的一段直線段，所以當 此時為最大。即圓的內接三角形中面積最大者是內接正三角形。六、求證當時，對且有（選自高等數學雙博士課堂）

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